Investigation of the weak solubility of the fractional Voigt alpha-model

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

This paper is devoted to investigating the weak solubility of the alpha-model for a fractional viscoelastic Voigt medium.The model involves the Voigt rheological relation with a left Riemann–Liouville fractional derivative, whichaccounts for the medium's memory. The memory is considered along the trajectories of fluid particlesdetermined by the velocity field. Since the velocity field is not smooth enough to uniquely determine the trajectoriesfor every initial value, we introduce weak solutions of this problem using regular Lagrangian flows. On the basis ofthe approximation-topological approach to the study of hydrodynamical problems, we prove the existence of weaksolutions of the alpha-model and establish the convergence of solutions of the alpha-model to solutions ofthe original model as the parameter $\alpha$ tends to zero.

About the authors

Andrey Viktorovich Zvyagin

Voronezh State Pedagogical University; Voronezh State University

Email: zvyagin.a@mail.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Associate professor

References

  1. A. A. Kilbas, H. M. Srivastava, J. J. Trujillo, Theory and applications of fractional differential equations, North-Holland Math. Stud., 204, Elsevier Sci. B.V., Amsterdam, 2006, xvi+523 pp.
  2. J. Leray, “Sur le mouvement d'un liquide visqueux emplissant l'espace”, Acta Math., 63:1 (1934), 193–248
  3. D. D. Holm, J. E. Marsden, T. S. Ratiu, “The Euler–Poincare models of ideal fluids with nonlinear dispersion”, Phys. Rev. Lett., 80:19 (1998), 4173–4177
  4. D. D. Holm, J. E. Marsden, T. S. Ratiu, “The Euler–Poincare equations and semidirect products with applications to continuum theories”, Adv. Math., 137:1 (1998), 1–81
  5. Shiyi Chen, C. Foias, D. D. Holm, E. Olson, E. S. Titi, S. Wynne, “Camassa–Holm equations as a closure model for turbulent channel and pipe flow”, Phys. Rev. Lett., 81:24 (1998), 5338–5341
  6. P. G. Lemarie-Rieusset, The Navier–Stokes problem in the 21st century, CRC Press, Boca Raton, FL, 2016, xxii+718 pp.
  7. A. Cheskidov, D. D. Holm, E. Olson, E. S. Titi, “On a Leray-$alpha$ model of turbulence”, Proc. R. Soc. Lond. Ser. A Math. Phys. Eng. Sci., 461:2055 (2005), 629–649
  8. А. В. Звягин, “Разрешимость задачи термовязкоупругости для альфа-модели Лере”, Изв. вузов. Матем., 2016, № 10, 70–75
  9. C. Foias, D. D. Holm, E. S. Titi, “The three dimensional viscous Camassa–Holm equations, and their relation to the Navier–Stokes equations and turbulence theory”, J. Dynam. Differential Equations, 14:1 (2002), 1–35
  10. А. В. Звягин, Д. М. Поляков, “О разрешимости альфа-модели Джеффриса–Олдройда”, Дифференц. уравнения, 52:6 (2016), 782–787
  11. А. В. Звягин, В. Г. Звягин, Д. М. Поляков, “О разрешимости одной альфа-модели движения жидкости с памятью”, Изв. вузов. Матем., 2018, № 6, 78–84
  12. А. В. Звягин, В. Г. Звягин, Д. М. Поляков, “О диссипативной разрешимости альфа-модели движения жидкости с памятью”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 59:7 (2019), 1243–1257
  13. V. Zvyagin, V. Orlov, “Weak solvability of fractional Voigt model of viscoelasticity”, Discrete Contin. Dyn. Syst., 38:12 (2018), 6327–6350
  14. F. Mainardi, G. Spada, “Creep, relaxation and viscosity properties for basic fractional models in rheology”, Eur. Phys. J. Special Topics, 193 (2011), 133–160
  15. M. Caputo, F. Mainardi, “A new dissipation model based on memory mechanism”, Pure Appl. Geophys., 91:1 (1971), 134–147
  16. А. В. Фурсиков, Оптимальное управление распределенными системами. Теория и приложения, Научная книга, Новосибирск, 1999, 352 с.
  17. В. Г. Звягин, М. В. Турбин, Математические вопросы гидродинамики вязкоупругих сред, КРАСАНД УРСС, М., 2012, 416 с.
  18. V. P. Orlov, P. E. Sobolevskii, “On mathematical models of a viscoelasticity with a memory”, Differential Integral Equations, 4:1 (1991), 103–115
  19. В. Г. Звягин, В. Т. Дмитриенко, “О слабых решениях регуляризованной модели вязкоупругой жидкости”, Дифференц. уравнения, 38:12 (2002), 1633–1645
  20. R. J. DiPerna, P. L. Lions, “Ordinary differential equations, transport theory and Sobolev spaces”, Invent. Math., 98:3 (1989), 511–547
  21. G. Crippa, C. de Lellis, “Estimates and regularity results for the DiPerna–Lions flow”, J. Reine Angew. Math., 2008:616 (2008), 15–46
  22. G. Crippa, “The ordinary differential equation with non-Lipschitz vector fields”, Boll. Unione Mat. Ital. (9), 1:2 (2008), 333–348
  23. Р. Темам, Уравнения Навье–Стокса. Теория и численный анализ, Мир, М., 1981, 408 с.
  24. А. В. Звягин, “О слабой разрешимости и сходимости решений дробной альфа-модели Фойгта движения вязкоупругой среды”, УМН, 74:3(447) (2019), 189–190
  25. В. Г. Звягин, “Аппроксимационно-топологический подход к исследованию математических задач гидродинамики”, Труды Шестой Международной конференции по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям (Москва, 14–21 августа, 2011). Часть 2, СМФН, 46, РУДН, М., 2012, 92–119
  26. М. С. Агранович, М. И. Вишик, “Эллиптические задачи с параметром и параболические задачи общего вида”, УМН, 19:3(117) (1964), 53–161
  27. S. Agmon, “On the eigenfunctions and on the eigenvalues of general elliptic boundary value problems”, Comm. Pure Appl. Math., 15 (1962), 119–147
  28. J.-P. Aubin, “Un theorème de compacite”, C. R. Acad. Sci. Paris, 256 (1963), 5042–5044
  29. J. Simon, “Compact sets in the space $L^p(0, T; B)$”, Ann. Mat. Pura Appl. (4), 146 (1987), 65–96
  30. С. Г. Самко, А. А. Килбас, О. И. Маричев, Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения, Наука и техника, Минск, 1987, 688 с.
  31. Б. Н. Садовский, “Предельно компактные и уплотняющие операторы”, УМН, 27:1(163) (1972), 81–146
  32. В. Т. Дмитриенко, В. Г. Звягин, “Гомотопическая классификация одного класса непрерывных отображений”, Матем. заметки, 31:5 (1982), 801–812
  33. Меры некомпактности и уплотняющие операторы, ред. Р. Р. Ахмеров, М. И. Каменский, А. С. Потапов, А. Е. Родкина, Б. Н. Садовский, Наука, Новосибирск, 1986, 266 с.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2021 Звягин А.V.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».