On the critical exponent “instantaneous blow-up” versus “local solubility” in the Cauchy problem for a model equation of Sobolev type

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

We consider the Cauchy problem for a model partial differential equation of order three with a non-linearity of the form$|\nabla u|^q$. We prove that when $q\in(1,3/2]$ the Cauchy problem in $\mathbb{R}^3$ has no local-in-time weak solution for a large class of initial functions, while when $q>3/2$ there is a local weak solution.

About the authors

Maxim Olegovich Korpusov

Faculty of Physics, Lomonosov Moscow State University

Email: korpusov@gmail.com
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

Alexander Anatolyevich Panin

Faculty of Physics, Lomonosov Moscow State University

Email: a-panin@yandex.ru
Candidate of physico-mathematical sciences, no status

Andrey Evgenievich Shishkov

Peoples' Friendship University of Russia

Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

References

  1. H. Brezis, X. Cabre, “Some simple nonlinear PDE's without solutions”, Boll. Unione Mat. Ital. Sez. B Artic. Ric. Mat. (8), 1:2 (1998), 223–262
  2. X. Cabre, Y. Martel, “Existence versus explosion instantanee pour des equations de la chaleur lineaires avec potentiel singulier [Existence versus instantaneous blow-up for linear heat equations with singular potentials]”, C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math., 329:11 (1999), 973–978
  3. F. B. Weissler, “Local existence and nonexistence for semilinear parabolic equations in $L^p$”, Indiana Univ. Math. J., 29:1 (1980), 79–102
  4. Э. Митидиери, С. И. Похожаев, “Априорные оценки и отсутствие решений нелинейных уравнений и неравенств в частных производных”, Тр. МИАН, 234, Наука, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2001, 3–383
  5. V. A. Galaktionov, J.-L. Vazquez, “The problem of blow-up in nonlinear parabolic equations”, Current developments in partial differential equations (Temuco, 1999), Discrete Contin. Dyn. Syst., 8:2 (2002), 399–433
  6. J. A. Goldstein, I. Kombe, “Instantaneous blow up”, Advances in differential equations and mathematical physics (Birmingham, AL, 2002), Contemp. Math., 327, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2003, 141–150
  7. Y. Giga, N. Umeda, “On instant blow-up for semilinear heat equations with growing initial data”, Methods Appl. Anal., 15:2 (2008), 185–195
  8. Е. И. Галахов, “Об отсутствии локальных решений некоторых эволюционных задач”, Матем. заметки, 86:3 (2009), 337–349
  9. Е. И. Галахов, “О мгновенном разрушении решений некоторых квазилинейных эволюционных задач”, Дифференц. уравнения, 46:3 (2010), 326–335
  10. B. D. Coleman, R. J. Duffin, V. J. Mizel, “Instability, uniqueness, and nonexistence theorems for the equation $u_t=u_{xx}-u_{xtx}$ on a strip”, Arch. Rational Mech. Anal., 19:2 (1965), 100–116
  11. Г. А. Свиридюк, “К общей теории полугрупп операторов”, УМН, 49:4(298) (1994), 47–74
  12. A. B. Al'shin, M. O. Korpusov, A. G. Sveshnikov, Blow-up in nonlinear Sobolev type equations, De Gruyter Ser. Nonlinear Anal. Appl., 15, Walter de Gruyter & Co., Berlin, 2011, xii+648 pp.
  13. М. О. Корпусов, “Критические показатели мгновенного разрушения или локальной разрешимости нелинейных уравнений соболевского типа”, Изв. РАН. Сер. матем., 79:5 (2015), 103–162
  14. M. O. Korpusov, A. V. Ovchinnikov, A. A. Panin, “Instantaneous blow-up versus local solvability of solutions to the Cauchy problem for the equation of a semiconductor in a magnetic field”, Math. Methods Appl. Sci., 41:17 (2018), 8070–8099
  15. С. А. Загребина, “Начально-конечная задача для уравнений соболевского типа с сильно $(L,p)$-радиальным оператором”, Матем. заметки СВФУ, 19:2 (2012), 39–48
  16. A. A. Zamyshlyaeva, G. A. Sviridyuk, “Nonclassical equations of mathematical physics. Linear Sobolev type equations of higher order”, Вестн. Южно-Ур. ун-та. Сер. Матем. Мех. Физ., 8:4 (2016), 5–16
  17. Е. А. Альшина, Н. Н. Калиткин, П. В. Корякин, “Диагностика особенностей точного решения при расчетах с контролем точности”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 45:10 (2005), 1837—1847
  18. Н. Н. Калиткин, А. Б. Альшин, Е. А. Альшина, Б. В. Рогов, Вычисления на квазиравномерных сетках, Физматлит, М., 2005, 224 с.
  19. А. Б. Альшин, Е. А. Альшина, “Численная диагностика разрушения решений псевдопараболических уравнений”, Совр. матем. и ее приложения, 40, Дифференциальные уравнения (2006), 139–156
  20. M. O. Korpusov, D. V. Lukyanenko, A. A. Panin, E. V. Yushkov, “Blow-up for one Sobolev problem: theoretical approach and numerical analysis”, J. Math. Anal. Appl., 442:2 (2016), 451–468
  21. M. O. Korpusov, D. V. Lukyanenko, A. A. Panin, E. V. Yushkov, “Blow-up phenomena in the model of a space charge stratification in semiconductors: analytical and numerical analysis”, Math. Methods Appl. Sci., 40:7 (2017), 2336–2346
  22. М. О. Корпусов, Д. В. Лукьяненко, Е. А. Овсянников, А. А. Панин, “Локальная разрешимость и разрушение решения одного уравнения с квадратичной некоэрцитивной нелинейностью”, Вестн. ЮУрГУ. Сер. Матем. моделирование и программирование, 10:2 (2017), 107–123
  23. M. O. Korpusov, D. V. Lukyanenko, A. A. Panin, G. I. Shlyapugin, “On the blow-up phenomena for a 1-dimensional equation of ion sound waves in a plasma: analytical and numerical investigation”, Math. Methods Appl. Sci., 41:8 (2018), 2906–2929
  24. M. O. Korpusov, D. V. Lukyanenko, “Instantaneous blow-up versus local solvability for one problem of propagation of nonlinear waves in semiconductors”, J. Math. Anal. Appl., 459:1 (2018), 159–181
  25. М. О. Корпусов, Д. В. Лукьяненко, А. А. Панин, Е. В. Юшков, “О разрушении решений одного полного нелинейного уравнения ионно-звуковых волн в плазме с некоэрцитивными нелинейностями”, Изв. РАН. Сер. матем., 82:2 (2018), 43–78
  26. В. Л. Бонч-Бруевич, С. Г. Калашников, Физика полупроводников, Наука, М., 1977, 672 с.
  27. Д. Гилбарг, Н. Трудингер, Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка, Наука, М., 1989, 464 с.
  28. А. А. Панин, “О локальной разрешимости и разрушении решения абстрактного нелинейного интегрального уравнения Вольтерра”, Матем. заметки, 97:6 (2015), 884–903
  29. В. С. Владимиров, Уравнения математической физики, 5-е изд., Наука, М., 1988, 512 с.
  30. Дж. Уэрмер, Теория потенциала, Мир, М., 1980, 136 с.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2021 Корпусов М.O., Панин А.A., Шишков А.E.

Согласие на обработку персональных данных

 

Используя сайт https://journals.rcsi.science, я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных») даю согласие на обработку персональных данных на этом сайте (текст Согласия) и на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика» (текст Согласия).