Асимптотика собственных чисел и функций задачи Дирихле на тонкой пространственной сетке с узелками

Обложка

Цитировать

Полный текст

Открытый доступ Открытый доступ
Доступ закрыт Доступ предоставлен
Доступ закрыт Только для подписчиков

Аннотация

Производится осреднение тонкой сетки квантовых волноводов с мелкими узелками-утолщениями (задача Дирихле для оператора Лапласа). В отличие от задачи с краевыми условиями Неймана нижний, но удаленный от начала координат диапазон спектра задачи Дирихле характеризуется локализацией соответствующих собственных функций около зон угловых соединений перемычек или на самих перемычках в зависимости от расположения собственных чисел в (обязательно непустых) дискретных спектрах модельных задач о сочленении полубесконечных цилиндрических квантовых волноводов разных форм. Поведение собственных чисел и функций в среднечастотном диапазоне спектра сетки существенно зависит от явления порогового резонанса в упомянутых сочленениях, а также от отношения между малыми параметрами – периода расположения узелков и их диаметра, сравнимого по порядку, но превосходящего диаметр перемычек. Разобраны конкретные ситуации (прямоугольные и круговые сечения) и сформулированы открытые вопросы.
Библиография: 56 наименований.

Об авторах

Сергей Александрович Назаров

Институт проблем машиноведения Российской академии наук, г. Санкт-Петербург

Email: srgnazarov@yahoo.co.uk; srgnazarov108@gmail.com
ORCID iD: 0000-0002-8552-1264
Scopus Author ID: 35616414800
ResearcherId: N-3503-2015
доктор физико-математических наук, профессор

Список литературы

  1. P. Exner, H. Kovar̆ik, Quantum waveguides, Theoret. Math. Phys., 22, Springer, Cham, 2015, xxii+382 pp.
  2. P. G. Ciarlet, Plates and junctions in elastic multi-structures. An asymptotic analysis, Rech. Math. Appl., 14, Masson, Paris; Springer-Verlag, Berlin, 1990, viii+215 pp.
  3. D. Cioranescu, J. Saint Jean Paulin, Homogenization of reticulated structures, Appl. Math. Sci., 136, Springer-Verlag, New York, 1999, xx+346 pp.
  4. W. G. Mazja, S. A. Nasarow, B. A. Plamenewski, Asymptotische Theorie elliptischer Randwertaufgaben in singulär gestörten Gebieten, v. 1, Math. Lehrbucher und Monogr., 82, Akademie-Verlag, Berlin, 1991, 432 pp.
  5. G. Panasenko, Multi-scale modelling for structures and composites, Springer, Dordrecht, 2005, xiv+398 pp.
  6. O. Post, Spectral analysis on graph-like spaces, Lecture Notes in Math., 2039, Springer, Heidelberg, 2012, xvi+431 pp.
  7. G. P. Panasenko, “Asymptotic analysis of bar systems. I”, Russian J. Math. Phys., 2:3 (1994), 325–352
  8. P. Exner, O. Post, “Convergence of spectra of graph-like thin manifolds”, J. Geom. Phys., 54:1 (2005), 77–115
  9. D. Grieser, “Spectra of graph neighborhoods and scattering”, Proc. Lond. Math. Soc. (3), 97:3 (2008), 718–752
  10. G. Leugering, S. A. Nazarov, A. S. Slutskij, J. Taskinen, “Asymptotic analysis of a bit brace shaped junction of thin rods”, ZAMM Z. Angew. Math. Mech., 100:1 (2020), e201900227, 11 pp.
  11. S. A. Nazarov, “The Navier–Stokes problem in thin or long tubes with periodically varying cross-section”, ZAMM Z. Angew. Math. Mech., 80:9 (2000), 591–612
  12. S. Čanic, A. Mikelic, “Effective equations modeling the flow of a viscous incompressible fluid through a long elastic tube arising in the study of blood flow through small arteries”, SIAM J. Appl. Dyn. Syst., 2:3 (2003), 431–463
  13. G. Panasenko, K. Pileckas, “Asymptotic analysis of the nonsteady viscous flow with a given flow rate in a thin pipe”, Appl. Anal., 91:3 (2012), 559–574
  14. D. S. Jones, “The eigenvalues of $nabla^2u+lambda u=0$ when the boundary conditions are given on semi-infinite domains”, Proc. Cambridge Philos. Soc., 49:4 (1953), 668–684
  15. S. Molchanov, B. Vainberg, “Scattering solutions in networks of thin fibers: small diameter asymptotics”, Comm. Math. Phys., 273:2 (2007), 533–559
  16. K. Pankrashkin, “Eigenvalue inequalities and absence of threshold resonances for waveguide junctions”, J. Math. Anal. Appl., 449:1 (2017), 907–925
  17. D. V. Evans, M. Levitin, D. Vassiliev, “Existence theorems for trapped modes”, J. Fluid Mech., 261 (1994), 21–31
  18. F. Rellich, “Über das asymptotische Verhalten der Lösungen von $Delta u+lambda u=0$ in unendlichen Gebieten”, Jahresber. Dtsch. Math.–Ver., 53:1 (1943), 57–65
  19. P. Exner, P. Šeba, P. Štoviček, “On existence of a bound state in an $L$-shaped waveguide”, Czech J. Phys., 39:11 (1989), 1181–1191
  20. S. A. Nazarov, A. V. Shanin, “Trapped modes in angular joints of 2D waveguides”, Appl. Anal., 93:3 (2014), 572–582
  21. M. Dauge, Y. Lafranche, T. Ourmières-Bonafos, “Dirichlet spectrum of the Fichera layer”, Integral Equations Operator Theory, 90:5 (2018), 60, 41 pp.
  22. M. Vanninathan, “Homogenization of eigenvalue problems in perforated domains”, Proc. Indian Acad. Sci. Math. Sci., 90:3 (1981), 239–271
  23. T. A. Mel'nyk, “Vibrations of a thick periodic junction with concentrated masses”, Math. Models Methods Appl. Sci., 11:6 (2001), 1001–1027
  24. S. A. Nazarov, M. E. Perez, “On multi-scale asymptotic structure of eigenfunctions in a boundary value problem with concentrated masses near the boundary”, Rev. Mat. Complut., 31:1 (2018), 1–62
  25. W. Kirsch, B. Simon, “Comparison theorems for the gap of Schrödinger operators”, J. Funct. Anal., 75:2 (1987), 396–410
  26. E. B. Daners, B. Simon, “Ultracontractivity and the heat kernel for Schrödinger operators and Dirichlet Laplacians”, J. Funct. Anal., 59:2 (1984), 335–395
  27. M. Sh. Birman, T. A. Suslina, “Two-dimensional periodic Pauli operator. The effective masses at the lower edge of the spectrum”, Mathematical results in quantum mechanics (Prague, 1998), Oper. Theory Adv. Appl., 108, Birkhäuser Verlag, Basel, 1999, 13–31

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать

© Назаров С.А., 2025

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».