Открытый доступ
Доступ предоставлен
Только для подписчиков
Том 211, № 3 (2020)
- Год: 2020
- Статей: 6
- URL: https://journals.rcsi.science/0368-8666/issue/view/7463
О наследуемости $\pi$-теоремы Силова подгруппами
Аннотация
Пусть $\pi$ – произвольное множество простых чисел. Скажем, что для конечной группы $G$ выполнена $\pi$-теорема Силова или, по-другому, что $G$ является $\mathscr D_\pi$-группой, если все максимальные $\pi$-подгруппы группы $G$ сопряжены. Очевидно, что $\pi$-теорема Силова влечет существование $\pi$-холловых подгрупп. В статье получено положительное решение проблемы 17.44, (b) из “Коуровской тетради”, а именно доказано, что надгруппа $\pi$-холловой подгруппы в $\mathscr D_\pi$-группе всегда будет $\mathscr D_\pi$-группой.Библиография: 52 названия.
Математический сборник. 2020;211(3):3-31
3-31
Глобальные экстремумы функции Деланжа, оценки цифровых сумм и вогнутые функции
Аннотация
Для всех натуральных $N$ и $q\ge2$ суммы $S_{q}(N)$ задаются равенством $S_{q}(N)=s_q(1)+…+s_q(N-1)$, где $s_q(n)$ есть сумма цифр числа $n$ в записи с основанием $q$. В 1975 г. Ю. Деланж обобщил формулу Троллопа и доказал, что $S_{q}(N)/N-(q-1)/2\cdot\log_q{N}=-1/2\cdot f_q( q^{\{\log_q N\}-1 } )$, где $f_q(x)=(q-1)\log_q x+D_q(x)/x$, а $D_q$ — непрерывная и нигде не дифференцируемая функция Деланжа. Мы нашли глобальные экстремумы функции $f_q$, с помощью чего получили точную оценку разности $S_{q}(N)/N-(q-1)/2\cdot\log_q{N}$. В случае $q=2$ эта оценка превращается в оценку для двоичных сумм, доказанную в 2008 г. М. Круппелем и ранее другими авторами. Нами вычислены также глобальные экстремумы еще нескольких непрерывных, но нигде не дифференцируемых функций. В работе введено понятие естественной вогнутой оболочки функции и доказан критерий, облегчающий ее вычисление. Кроме того, введено понятие крайнего подаргумента функции на выпуклом множестве. Показано, что все точки глобального максимума разности $f-g$, где функция $g$ строго вогнута и выполнены некоторые дополнительные условия, являются крайними подаргументами для $f$. Аналогичный результат получен и для функций вида $v+f/w$. Мы вычислили глобальные экстремумы и нашли крайние подаргументы функции Деланжа на отрезке $[0,1]$. Результаты работы проиллюстрированы графиками и таблицами. Библиография: 16 названий.
Математический сборник. 2020;211(3):32-70
32-70
Многозначные решения гиперболических уравнений Монжа–Ампера: разрешимость, интегрируемость, аппроксимация
Аннотация
Для гиперболических уравнений Монжа–Ампера изучается разрешимость задачи Коши в классе многозначных решений. На решениях этой задачи, являющихся определенными, строится характеристическая униформизация, с помощью которой доказываются существование и единственность максимального решения. Установлено, что характеристики различных семейств, лежащие на максимальном решении и сходящиеся к определенной граничной точке, имеют бесконечные длины. Тем самым построена теория глобальной разрешимости задачи Коши для гиперболических уравнений Монжа–Ампера, аналогичная соответствующей теории для обыкновенных дифференциальных уравнений. Используемая при этом методика позволяет также сконструировать устойчивую явную разностную схему для аппроксимации многозначных решений и проинтегрировать в квадратурах ряд важных для приложений задач. Библиография: 23 наименования.
Математический сборник. 2020;211(3):71-123
71-123
Обобщенная теорема о границах криволинейной три-ткани и ее приложения
Аннотация
Пусть криволинейная три-ткань задана уравнением $F(x, y, z)=0$. Найдено специфическое строение производных функции $F$, которое характеризует регулярные три-ткани. Это позволяет перечислить все регулярные три-ткани, образованные: декартовой сетью и семейством окружностей; декартовой сетью и семейством кривых второго порядка.Библиография: 4 названия.
Математический сборник. 2020;211(3):124-157
124-157
Связное компактное локально чебышёвское множество в конечномерном пространстве является чебышёвским
Аннотация
Пусть $X$ – банахово пространство. Множество $M\subset X$ называется чебышёвским, если для каждой точки $x\in X$ существует единственная ближайшая к $x$ точка в множестве $M$. Множество $M$ называется локально чебышёвским, если для каждой точки $x\in M$ найдется такое чебышёвское множество $F_x\subset M$, что некоторая окрестность $x$ в $M$ лежит в $F_x$. В статье доказывается, что всякое связное компактное локально чебышёвское множество в конечномерном нормированном пространстве является чебышёвским.Библиография: 11 названий.
Математический сборник. 2020;211(3):158-168
158-168
Бирациональные автоморфизмы поверхностей Севери–Брауэра
Аннотация
Доказано, что конечная группа, действующая бирациональными автоморфизмами на нетривиальной поверхности Севери–Брауэранад полем нулевой характеристики, содержит нормальную абелеву подгруппу индекса не больше $3$. Кроме того, найдена явная оценка на порядки таких конечных групп в случае, если поле определения содержит все корни из $1$.Библиография: 25 названий.
Математический сборник. 2020;211(3):169-184
169-184