Email this article Multivalued solutions of hyperbolic Monge-Ampère equations: solvability, integrability, approximation
- Authors: Tunitsky D.V.1
-
Affiliations:
- V. A. Trapeznikov Institute of Control Sciences of Russian Academy of Sciences
- Issue: Vol 211, No 3 (2020)
- Pages: 71-123
- Section: Articles
- URL: https://journals.rcsi.science/0368-8666/article/view/133317
- DOI: https://doi.org/10.4213/sm9171
- ID: 133317
Cite item
Open Access
Access granted
Subscription Access
Abstract
Solvability in the class of multivalued solutions is investigated for Cauchy problems for hyperbolic Monge-Ampère equations. A characteristic uniformization is constructed on definite solutions of this problem, using which the existence and uniqueness of a maximal solution is established. It is shown that the characteristics in the different families that lie on a maximal solution and converge to a definite boundary point have infinite lengths. In this way a theory of global solvability is developed for the Cauchy problem for hyperbolic Monge-Ampère equations, which is analogous to the corresponding theory for ordinary differential equations. Using the same methods, a stable explicit difference scheme for approximating multivalued solutions can be constructed and a number of problems which are important for applications can be integrated by quadratures. Bibliography: 23 titles.
About the authors
Dmitry Vasilievich Tunitsky
V. A. Trapeznikov Institute of Control Sciences of Russian Academy of Sciences
Email: dtunitsky@yahoo.com
Doctor of physico-mathematical sciences, no status
References
- Ф. Хартман, Обыкновенные дифференциальные уравнения, Мир, М., 1970, 720 с.
- P. D. Lax, “Development of singularities of solutions of nonlinear hyperbolic partial differential equations”, J. Math. Phys., 5:5 (1964), 611–613
- N. J. Zabusky, “Exact solution for the vibrations of a nonlinear continuous model string”, J. Math. Phys., 3:5 (1962), 1028–1039
- Б. Л. Рождественский, Н. Н. Яненко, Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике, 2-е изд., Наука, М., 1978, 688 с.
- Д. В. Туницкий, “О глобальной разрешимости гиперболических уравнений Монжа–Ампера”, Изв. РАН. Сер. матем., 61:5 (1997), 177–224
- Р. Курант, Уравнения с частными производными, Мир, М., 1964, 830 с.
- Э. Картан, Внешние дифференциальные системы и их геометрические приложения, МГУ, М., 1962, 240 с.
- М. М. Постников, Гладкие многообразия, Лекции по геометрии. Семестр III, Наука, М., 1987, 479 с.
- В. В. Лычагин, “Контактная геометрия и нелинейные дифференциальные уравнения второго порядка”, УМН, 34:1(205) (1979), 137–165
- A. Kushner, V. Lychagin, V. Rubtsov, Contact geometry and nonlinear differential equations, Encyclopedia Math. Appl., 101, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2007, xxii+496 pp.
- А. М. Виноградов, “Многозначные решения и принцип классификации нелинейных дифференциальных уравнений”, Докл. АН СССР, 210:1 (1973), 11–14
- Ф. Уорнер, Основы теории гладких многообразий и групп Ли, Мир, М., 1987, 304 с.
- Р. А. Александрян, Э. А. Мирзаханян, Общая топология, Высшая школа, М., 1979, 336 с.
- М. Хирш, Дифференциальная топология, Мир, М., 1979, 279 с.
- H. Lewy, “Über das Anfangswertproblem einer hyperbolischen nichtlinearen partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung mit zwei unabhängigen Veränderlichen”, Math. Ann., 98:1 (1928), 179–191
- P. Hartman, A. Wintner, “On hyperbolic partial differential equations”, Amer. J. Math., 74:4 (1952), 834–864
- Общая алгебра, т. 1, ред. Л. А. Скорняков, Наука, М., 1990, 592 с.
- Л. С. Понтрягин, Обыкновенные дифференциальные уравнения, 5-е изд., Наука, М., 1982, 332 с.
- M. E. Taylor, Partial differential equations, v. 1, Appl. Math. Sci., 115, Basic theory, Springer-Verlag, Berlin, 1996, xxi+563 pp.
- Р. Курант, К. Фридрихс, Сверхзвуковое течение и ударные волны, ИЛ, М., 1950, 426 с.
- Г. Г. Черный, Газовая динамика, Наука, М., 1988, 424 с.
- Р. Курант, К. Фридрихс, Г. Леви, “О разностных уравнениях математической физики”, УМН, 1941, № 8, 125–160
- К. Партасарати, Введение в теорию вероятностей и теорию меры, Мир, М., 1983, 344 с.
Supplementary files
