Том 215, № 11 (2024)

Развита теория $n$-значных групп и ее приложений на основе перехода от групп, заданных аксиоматикой, к комбинаторным группам, заданным образующими и соотношениями. На основе групп с циклическим представлением введен широкий класс циклических $n$-значных групп. Наиболее известными группами с циклическим представлением являются группы Фибоначчи, введенные Конвеем. Проблема существования пространства орбит $n$-значных групп связана с проблемой интегрируемости $n$-значных динамик. В работе даны условия существования таких пространств. Построены действия циклических $n$-значных групп на $\mathbb R^3$ с пространством орбит, гомеоморфным $S^3$. Показано, что проекции $\mathbb R^3 \to S^3$ на пространство орбит связаны коммутативными диаграммами с циклически разветвленными вдоль гиперболического узла накрытиями сферы $S^3$ трехмерными компактными гиперболическими многообразиями.Библиография: 54 названия.

Топологической эквивалентности маломерных потоков Морса–Смейла без неподвижных точек (НМС-потоков) в предположениях различной общности посвящен целый ряд работ. Начиная с размерности 4 имеется пока незначительное число классификационных результатов. Однако известно, что существуют четырехмерные неособые потоки с дико вложенными инвариантными седловыми многообразиями. В настоящей статье рассмотрен класс неособых потоков Морса–Смейла, заданных на замкнутых ориентируемых 4-многообразиях и имеющих единственную седловую орбиту, которая является нескрученной. Установлено, что полным инвариантом для них является класс эквивалентности узла, вложенного в многообразие $\mathbb S^2\times\mathbb S^1$. По любому узлу в $\mathbb S^2\times\mathbb S^1$ построен стандартный представитель в классе рассматриваемых потоков. Также доказано, что несущим многообразием всех таких потоков является многообразие $\mathbb S^3\times\mathbb S^1$.Библиография: 24 названия.

Доказано, что уменьшение квантовой относительной энтропии при действии квантовой операции – это полунепрерывная снизу функция пары ее аргументов. Это свойство показывает, в частности, что локальные разрывы квантовой относительной энтропиине увеличиваются при действии квантовых операций. Также оно показывает полунепрерывность снизу модуля совместной выпуклости квантовой относительной энтропии (как функции ансамбля квантовых состояний).Рассмотрены различные следствия и приложения данных результатов.Библиография: 42 названия.