Saddle connections

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

It is shown that vector fields that are close to a fixed field with the same set of connections form a smooth Banach submanifold. A sufficient condition for the birth of saddle connections in a generic family is presented. The following result is proved: in a perturbation of a monodromic hyperbolic polycycle of $n$ connections in a generic family at least $n$ limit cycles can appear.Bibliography: 21 titles.

About the authors

Andrei Valerevich Dukov

Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences

Email: dukov@mi-ras.ru
Scopus Author ID: 57205629756
without scientific degree, no status

References

  1. А. А. Андронов, Е. А. Леонтович, “О рождении предельных циклов из петли сепаратрисы и из сепаратрисы состояния равновесия типа седло-узел”, Матем. сб., 48(90):3 (1959), 335–376
  2. R. Abraham, J. Robbin, Transversal mappings and flows, W. A. Benjamin, Inc., New York–Amsterdam, 1967, x+161 pp.
  3. Л. А. Черкас, “Об устойчивости особых циклов”, Дифференц. уравнения, 4:6 (1968), 1012–1017
  4. А. В. Дуков, Типичные конечно-параметрические семейства векторных полей на двумерной сфере, Дисс. … канд. физ.-матем. наук, МГУ, М., 2023, 84 с.
  5. А. В. Дуков, “Бифуркации полицикла «сердце» в типичных двупараметрических семействах”, Тр. ММО, 79:2 (2018), 247–269, МЦНМО, М.
  6. A. Dukov, Y. Ilyashenko, “Numeric invariants in semilocal bifurcations”, J. Fixed Point Theory Appl., 23:1 (2021), 3, 15 pp.
  7. Yu. Il'yashenko, S. Yakovenko, “Concerning the Hilbert sixteenth problem”, Concerning the Hilbert 16th problem, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 165, Adv. Math. Sci., 23, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1995, 1–19
  8. Yu. Ilyashenko, Yu. Kudryashov, I. Schurov, “Global bifurcations in the two-sphere: a new perspective”, Invent. Math., 213:2 (2018), 461–506
  9. Ю. С. Ильяшенко, С. Ю. Яковенко, “Конечно-гладкие нормальные формы локальных семейств диффеоморфизмов и векторных полей”, УМН, 46:1(277) (1991), 3–39
  10. Yu. Ilyashenko, S. Yakovenko, “Finite cyclicity of elementary polycycles in generic families”, Concerning the Hilbert 16th problem, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 165, Adv. Math. Sci., 23, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1995, 21–95
  11. Yu. Ilyashenko, N. Solodovnikov, “Global bifurcations in generic one-parameter families with a separatrix loop on $S^2$”, Mosc. Math. J., 18:1 (2018), 93–115
  12. Maoan Han, Yuhai Wu, Ping Bi, “Bifurcation of limit cycles near polycycles with $n$ vertices”, Chaos Solitons Fractals, 22:2 (2004), 383–394
  13. V. Kaloshin, “The existential Hilbert 16-th problem and an estimate for cyclicity of elementary polycycles”, Invent. Math., 151:3 (2003), 451–512
  14. Al Kelley, “The stable, center-stable, center, center-unstable, and unstable manifolds”: R. Abraham, J. Robbin, Transversal mappings and flows, W. A. Benjamin, Inc., New York–Amsterdam, 1967, 134–154
  15. П. И. Каледа, И. В. Щуров, “Цикличность элементарных полициклов с фиксированным числом особых точек в типичных $k$-параметрических семействах”, Алгебра и анализ, 22:4 (2010), 57–75
  16. A. Mourtada, “Cyclicite finie des polycycles hyperboliques de champs de vecteurs du plan. Algorithme de finitude”, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 41:3 (1991), 719–753
  17. A. Mourtada, Polycycles hyperboliques generiques à trois ou quatre sommets, These de doctorat, Dijon, 1990
  18. J. W. Reyn, “Generation of limit cycles from separatrix polygons in the phase plane”, Geometrical approaches to differential equations (Scheveningen, 1979), Lecture Notes in Math., 810, Springer, Berlin, 1980, 264–289 pp.
  19. В. Ш. Ройтенберг, Нелокальные двухпараметрические бифуркации на поверхностях, Дисс. … канд. физ.-матем. наук, Ярославский гос. тех. ун-т, Ярославль, 2000, 187 с.
  20. J. Sotomayor, “Generic one-parameter families of vector fields on two-dimensional manifolds”, Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math., 43 (1974), 5–46
  21. С. И. Трифонов, “Цикличность элементарных полициклов типичных гладких векторных полей”, Дифференциальные уравнения с вещественным и комплексным временем, Сборник статей, Труды МИАН, 213, Наука, М., 1997, 152–212

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2024 Дуков А.V.

Согласие на обработку персональных данных

 

Используя сайт https://journals.rcsi.science, я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных») даю согласие на обработку персональных данных на этом сайте (текст Согласия) и на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика» (текст Согласия).