Том 215, № 7 (2024)

В 1987 г. У. Брем и В. Кюнель показали, что всякая триангуляция $d$-мерного многообразия (без края), не гомеоморфного сфере, имеет не меньше $3d/2+3$ вершин. Более того, триангуляции ровно с $3d/2+3$ вершинами могут существовать только для “многообразий, похожих на проективные плоскости”, которые бывают только в размерностях $2$, $4$, $8$ и $16$. Имеются $6$-вершинная триангуляция вещественной проективной плоскости $\mathbb{RP}^2$, $9$-вершинная триангуляция комплексной проективной плоскости $\mathbb{CP}^2$ и $15$-вершинные триангуляции кватернионной проективной плоскости $\mathbb{HP}^2$. Недавно автор построил первые примеры $27$-вершинных триангуляций многообразий, похожих на октавную проективную плоскость $\mathbb{OP}^2$. Четыре наиболее симметричные из них имеют группу симметрий $\mathrm{C}_3^3\rtimes \mathrm{C}_{13}$ порядка $351$. Эти триангуляции были найдены при помощи компьютерной программы после того, как была угадана их группа симметрий. Тем не менее оставалось совершенно непонятным, почему именно эта группа реализуется как группа симметрий и существуют ли $27$-вершинные триангуляции многообразий, похожих на $\mathbb{OP}^2$, с другими (возможно, большими) группами симметрий. В настоящей работе даются сильные ограничения на группы симметрий таких $27$-вершинных триангуляций. А именно, приводится список из $26$ подгрупп симметрической группы $\mathrm{S}_{27}$, содержащий все возможные группы симметрий $27$-вершинных триангуляций многообразий, похожих на октавную проективную плоскость. (Нам не известно, все ли эти подгруппы реализуются как группы симметрий.) Группа $\mathrm{C}_3^3\rtimes \mathrm{C}_{13}$ является самой большой в этом списке, причем порядки всех остальных групп не превосходят $52$. Ключевую роль в нашем подходе играет использование результатов П. Смита и Г. Бредона о топологии множеств неподвижных точек конечных групп преобразований.Библиография: 36 названий.

Рассматривается экстремальная задача, связанная с множеством непрерывных положительно определенных функций на $\mathbb{R}^n$, носитель которых содержится в замкнутом шаре радиуса $r>0$, а значение в нуле фиксировано (класс $\mathfrak{F}_r(\mathbb{R}^n)$).При фиксированном $r>0$ требуется найти точную верхнюю грань функционала специального вида на множестве $\mathfrak{F}_r(\mathbb{R}^n)$.Получено общее решение данной задачи при $n\neq2$. Как следствие получены новые точные неравенства для производных целых функций экспоненциального сферического типа $\leqslant r$.Библиография: 24 названия.

Исследуются аппроксимации на отрезке $[-1,1]$ сингулярных интегралов вида$$\widehat{f}(x)=\int_{-1}^{1}\frac{f(t)}{t-x}\sqrt{1-t^2} dt, \qquad x \in [-1,1], $$двумя рациональными интегральными операторами, в некотором смысле связанными между собой. Первый из них – интегральный оператор Фурье–Чебышёва, ассоциированный с системой рациональных функций Чебышёва–Маркова. Второй оператор является его образом при преобразовании изучаемым сингулярным интегралом. Изучаются аппроксимационные свойства соответствующих полиномиальных аналогов обоих операторов в случае, когда плотность сингулярного интеграла удовлетворяет на отрезке $[-1,1]$ условию Липшица порядка $\alpha \in (0,1]$. Исследуются рациональные аппроксимации на отрезке $[-1,1]$ сингулярного интеграла с плотностью, имеющей степенную особенность. Рассматривается случай, когда аппроксимирующие рациональные функции имеют произвольное фиксированное количество геометрически различных полюсов, и случай, когда параметры аппроксимирующих рациональных функций представляют собой некоторые модификации “ньюменовских” параметров. Библиография: 34 названия.