On a certain family of algebraic number fields with finite 3-class field tower

Abstract

Пусть $\ell=3$, $k=\mathbb Q(\sqrt{-3})$ и $K=k(\sqrt[3]{a})$, где $a$ – натуральное число такое, что $a^2\equiv 1\pmod 9$. В предположении, что в расширении $K_\infty/k_\infty$, где $k_\infty$ и $K_\infty$ – круговые $\mathbb Z_3$-расширения полей $k$ и $K$ соответственно, разветвлены ровно три простые точки, не лежащие над $\ell$, мы изучаем 3-башни полей классов промежуточных полей $K_n$ расширения $K_\infty/K$.Доказано,что для любого $K_n$ 3-башня полей классов поля $K_n$обрывается на первом же шаге, т.е. группа Галуа расширения $\mathbf H_\ell(K_n)/K_n$, где $\mathbf H_\ell(K_n)$ – максимальное неразветвленное $\ell$-расшире-ние поля $K_n$, абелева.Библиография: 7 названий.