Том 63, № 2 (2023)

Предлагается унифицированный анализ методов для такого широкого класса задач, как вариационные неравенства, который в качестве частных случаев включает в себя задачи минимизации и задачи нахождения седловой точки. Предлагаемый анализ развивается на основе экстраградиентного метода, являющегося стандартным для решения вариационных неравенств. Рассматриваются монотонный и сильно монотонный случаи, которые соответствуют выпукло-вогнутым и сильно-выпукло-сильно-вогнутым задачам нахождения седловой точки. Теоретический анализ основан на параметризованных предположениях для итераций экстраградиентного метода. Следовательно, он может служить прочной основой для объединения уже существующих методов различных типов, а также для создания новых алгоритмов. В частности, чтобы показать это, мы разрабатываем некоторые новые надежные методы, в том числе метод с квантизацией, покомпонентный метод, распределенные рандомизированные локальные методы и др. Большинство из упомянутых подходов прежде никогда не рассматривались в общности вариационных неравенств и применялись лишь для задач минимизации. Стабильность новых методов подтверждается предоставляемыми численными экспериментами по обучению моделей GAN. Библ. 35. Фиг. 3. Табл. 1.

Пусть \(A\) и \(B\) – эрмитовы \(n \times n\)-матрицы, причем матрица \(A\) невырожденна. Согласно известной теореме матричного анализа, приведение этих матриц к диагональному виду посредством одной и той же эрмитовой конгруэнции возможно в том и только том случае, если матрица \(C = {{A}^{{ - 1}}}B\) имеет вещественный спектр и диагонализуема подобием. Формулируется и доказывается обобщение этого утверждения на случай одновременного приведения к диагональному виду пары юнитоидных матриц. Библ. 2.

Изучается сингулярная начальная задача для нелинейного неавтономного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка, определенного на полубесконечном интервале и вырождающегося по начальным данным для фазовой переменной. Задача возникает в динамике вязкой несжимаемой жидкости как вспомогательная при изучении автомодельных решений уравнений пограничного слоя для функции тока с нулевым градиентом давления (плоскопараллельное ламинарное течение в слое смешения). Она представляет и самостоятельный математический интерес. С применением полученных ранее результатов по сингулярным нелинейным задачам Коши и параметрическим экспоненциальным рядам Ляпунова даются корректная постановка и полный математический анализ указанной сингулярной начальной задачи. Формулируются ограничения на “параметр автомодельности” для глобального существования решений, приводятся двусторонние оценки решений и результаты расчетов фазовых траекторий решений для различных значений указанного параметра. Библ. 14. Фиг. 4.

Исследовано линейное интегродифференциальное уравнение с особым дифференциальным оператором в главной части. Для его приближенного решения в пространстве обобщенных функций предложены и обоснованы специальные обобщенные варианты методов моментов и подобластей. Установлена оптимальность по порядку точности построенных методов. Библ. 13.

В статье рассматриваются объемный и поверхностный потенциалы, возникающие в задачах Коши для нелинейных уравнений из теории ионно-звуковых и дрейфовых волн в плазме, и изучаются их свойства. Для объемного потенциала выводится некоторая оценка. На ее основе доказываются одна априорная оценка типа Шаудера и оценки типа Шаудера для потенциалов с весом. Библ. 5.

Рассмотрено течение Куэтта газа для цилиндрической геометрии ограничивающих поверхностей, движущихся в продольном направлении относительно их оси симметрии. Для одноатомного газа исследована связь (аналогия Рейнольдса) между напряжением трения и потоком энергии, передаваемым обтекаемой поверхности. В случае течения сплошной среды и в случае свободномолекулярного течения в явном виде получены простые аналитические выражения для коэффициента аналогии Рейнольдса, зависящие только от числа Эккерта и не зависящие от отношения радиусов цилиндров. Для различных значений числа Кнудсена с помощью метода прямого статистического моделирования (DSMC) изучен переходный режим течения. Показано, что в этом случае коэффициент аналогии Рейнольдса при фиксированных значениях отношения радиусов и числа Кнудсена зависит от относительной скорости и температур поверхностей главным образом через число Эккерта. Найдено соотношение ме-жду погонными потоками энергии, передаваемой цилиндрическим поверхностям. Библ. 17. Фиг. 7.

Рассматривается задача Коши для эволюционного уравнения первого порядка с памятью в конечномерном банаховом пространстве с производной по времени интегрального члена типа Вольтера и разностным ядром. Принципиальные трудности приближенного решения таких задач порождены нелокальностью по времени, когда решение на текущий момент зависит от всей предыстории. Используется трансформация интегродифференциального уравнения первого порядка к системе эволюционных локальных уравнений при аппроксимации разностного ядра суммой экспонент. Для слабосвязанной системы локальных уравнений с дополнительными обыкновенными дифференциальными уравнениями получены оценки устойчивости решения по начальным данным и правой части для решения с привлечением понятия логарифмической нормы. Аналогичные оценки установлены для приближенного решения при использовании двухслойных аппроксимаций по времени. Библ. 22.