Open Access
Access granted
Subscription Access
Vol 79, No 4 (2024)
Sergei Petrovich Novikov (1938–2024)
Uspekhi Matematicheskikh Nauk. 2024;79(4):3-3
3-3
Cohomology of Hopf algebras and Massey products
Abstract
Развита теория триградуированной спектральной последовательности Бухштабера $\operatorname{Bss}$ для градуированных алгебр Хопфа. Показано, что ее дифференциалы задают возрастающую исчерпывающую фильтрацию как новую структуру в когомологиях этих алгебр. Для ряда известных алгебр Хопфа введенная структура описана в явном виде. На тензорной алгебре $T(s \operatorname{Ext}^{1,*}_{A}(\mathbb{k},\mathbb{k}))$ надстройки над пространством одномерных когомологий алгебры Хопфа $A$, заданной над полем $\Bbbk$, дана конструкция частичных и многозначных операций $\operatorname{Bss}_p$, $p\geqslant 1$, в терминах которых описаны дифференциалы в спектральной последовательности $\operatorname{Bss}$ и, как следствие, исчерпывающая фильтрация в $\operatorname{Ext}_{A}^{*,*}(\Bbbk,\Bbbk)$. Продемонстрировано, что новая структура является эффективным средством для решения известных задач: 1) реализация в виде произведений Масси классов когомологий алгебр Хопфа; 2) реализация в виде операций Масси дифференциалов в $\operatorname{Bss}$; 3) эффективизация конструкции произведений Масси определенного класса в виде дифференциалов в $\operatorname{Bss}$.Библиография: 74 названия.
Uspekhi Matematicheskikh Nauk. 2024;79(4):5-94
5-94
On Dirac's generalized Hamiltonian dynamics
Abstract
Рассматриваются различные аспекты обобщённой гамильтоновой динамики Дирака. Исходный пункт – это гамильтонова система на симплектическом многообразии, на котором ещё задано распределение многомерных касательных плоскостей. Требуется изменить гамильтоново векторное поле таким образом, чтобы это распределение было инвариантным относительно фазового потока изменённой динамической системы. Эта задача может быть решена различными способами. В самом простом из них гамильтоново векторное поле проектируется на касательные плоскости распределения с помощью симплектической структуры – замкнутой невырожденной 2-формы на симплектическом многообразии (которая задаёт симплектическую геометрию на плоскостях, касательных к фазовому пространству). Если заданное распределение интегрируемо, то такой подход приводит к обобщённой гамильтоновой динамике, развитой Дираком (и другими авторами) для целей квантования систем с вырожденным по скоростям лагранжианом. В применении к механике лагранжевых систем с неинтегрируемыми связями этот подход даёт классические неголономные системы. Другой подход основан на определении движения гамильтоновых систем с дифференциальными связями как экстремалей вариационной задачи со связями, где в качестве функционала берётся действие по Пуанкаре–Гельмгольцу. В случае неинтегрирумых связей получаем динамические системы совершенно другого типа. Если этот подход применить к лагранжевым системам с неинтегрируемыми связями, то получим уравнения движения в так называемой вакономной динамике. В качестве примера рассматривается геометрическая оптика, которая основывается на вариационном принципе Ферма с лагранжианом, однородным по скоростям со степенью 1. Библиография: 34 названия.
Uspekhi Matematicheskikh Nauk. 2024;79(4):95-130
95-130
Hitchin systems: some recent advances
Abstract
We give a survey of some recent advances in parabolic Hitchin systems (parabolic Beauville–Narasimhan–Ramanan correspondence, mirror symmetry for parabolic Hitchin systems), and in exact methods of solving the non-parabolic Hitchin systems. Bibliography: 55 titles.
Uspekhi Matematicheskikh Nauk. 2024;79(4):131-168
131-168
Rigidity of Hirzebruch genera on the Caley plane and Witten genus
Uspekhi Matematicheskikh Nauk. 2024;79(4):169-170
169-170
A model of a discrete kinematic dynamo
Uspekhi Matematicheskikh Nauk. 2024;79(4):171-172
171-172
A property of the multiple Rademacher system and its application to problems of deviation on graphs
Uspekhi Matematicheskikh Nauk. 2024;79(4):173-174
173-174
Third mixed boundary problem for strongly elliptic difference-differential equations
Uspekhi Matematicheskikh Nauk. 2024;79(4):175-176
175-176
On minimax solution of hereditary Hamilton–Jacobi equations for neutral-type systems
Uspekhi Matematicheskikh Nauk. 2024;79(4):177-178
177-178
A condition for weak continuity of representations of topological groups in Frechet spaces
Uspekhi Matematicheskikh Nauk. 2024;79(4):179-180
179-180
Boris Nikolaevich Chetverushkin (on his eightieth birthday)
Uspekhi Matematicheskikh Nauk. 2024;79(4):181-187
181-187
Thirty years of Summer Mathematical Schools in Adygheya
Uspekhi Matematicheskikh Nauk. 2024;79(4):188-190
188-190