On Dirac's generalized Hamiltonian dynamics

Рассматриваются различные аспекты обобщённой гамильтоновой динамики Дирака. Исходный пункт – это гамильтонова система на симплектическом многообразии, на котором ещё задано распределение многомерных касательных плоскостей. Требуется изменить гамильтоново векторное поле таким образом, чтобы это распределение было инвариантным относительно фазового потока изменённой динамической системы. Эта задача может быть решена различными способами. В самом простом из них гамильтоново векторное поле проектируется на касательные плоскости распределения с помощью симплектической структуры – замкнутой невырожденной 2-формы на симплектическом многообразии (которая задаёт симплектическую геометрию на плоскостях, касательных к фазовому пространству). Если заданное распределение интегрируемо, то такой подход приводит к обобщённой гамильтоновой динамике, развитой Дираком (и другими авторами) для целей квантования систем с вырожденным по скоростям лагранжианом. В применении к механике лагранжевых систем с неинтегрируемыми связями этот подход даёт классические неголономные системы. Другой подход основан на определении движения гамильтоновых систем с дифференциальными связями как экстремалей вариационной задачи со связями, где в качестве функционала берётся действие по Пуанкаре–Гельмгольцу. В случае неинтегрирумых связей получаем динамические системы совершенно другого типа. Если этот подход применить к лагранжевым системам с неинтегрируемыми связями, то получим уравнения движения в так называемой вакономной динамике. В качестве примера рассматривается геометрическая оптика, которая основывается на вариационном принципе Ферма с лагранжианом, однородным по скоростям со степенью 1. Библиография: 34 названия.

гамильтонова система, симплектическая структура, симплектическая геометрия, лагранжиан, гамильтониан, первичные связи, вторичные связи, распределения, действие по Пуанкаре–Гельмгольцу, множители Лагранжа, неголономные системы, вакономные системы, неизотропные оптические среды, принцип Ферма