Cohomology of Hopf algebras and Massey products

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

Развита теория триградуированной спектральной последовательности Бухштабера $\operatorname{Bss}$ для градуированных алгебр Хопфа. Показано, что ее дифференциалы задают возрастающую исчерпывающую фильтрацию как новую структуру в когомологиях этих алгебр. Для ряда известных алгебр Хопфа введенная структура описана в явном виде. На тензорной алгебре $T(s \operatorname{Ext}^{1,*}_{A}(\mathbb{k},\mathbb{k}))$ надстройки над пространством одномерных когомологий алгебры Хопфа $A$, заданной над полем $\Bbbk$, дана конструкция частичных и многозначных операций $\operatorname{Bss}_p$, $p\geqslant 1$, в терминах которых описаны дифференциалы в спектральной последовательности $\operatorname{Bss}$ и, как следствие, исчерпывающая фильтрация в $\operatorname{Ext}_{A}^{*,*}(\Bbbk,\Bbbk)$. Продемонстрировано, что новая структура является эффективным средством для решения известных задач: 1) реализация в виде произведений Масси классов когомологий алгебр Хопфа; 2) реализация в виде операций Масси дифференциалов в $\operatorname{Bss}$; 3) эффективизация конструкции произведений Масси определенного класса в виде дифференциалов в $\operatorname{Bss}$.Библиография: 74 названия.

About the authors

Viktor Matveevich Bukhshtaber

Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences

Fedor Yur'evich Popelenskii

Moscow Center for Fundamental and Applied Mathematics; Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics

Candidate of physico-mathematical sciences, no status

References

  1. С. П. Новиков, “О когомологиях алгебры Стинрода”, Докл. АН СССР, 128:5 (1959), 893–895
  2. Дж. П. Мэй, Общий алгебраический подход к операциям Стинрода, : В кн.: Н. Стинрод, Д. Эпстейн, Когомологические операции, Мир, М., 1983, 151–223
  3. J. Milnor, “Construction of universal bundles. I”, Ann. of Math. (2), 63:2 (1956), 272–284
  4. J. Milnor, “Construction of universal bundles. II”, Ann. of Math. (2), 63:3 (1956), 430–436
  5. Дж. Мак-Клири, Путеводитель по спектральным последовательностям, МЦНМО, М., 2008, 664 с.
  6. J. P. May, “The cohomology of restricted Lie algebras and of Hopf algebras”, J. Algebra, 3:2 (1966), 123–146
  7. В. Г. Дринфельд, “Квантовые группы”, Дифференциальная геометрия, группы Ли и механика. VIII, Зап. науч. сем. ЛОМИ, 155, Изд-во “Наука”, Ленинград. отд., Л., 1986, 18–49
  8. К. Кассель, Квантовые группы, Grad. Texts in Math., 155, Фазис, М., 1999, xxi+663 пер. с англ.: с.
  9. А. Ю. Лазарев, М. В. Мовшев, “Деформации алгебр Хопфа”, УМН, 46:1(277) (1991), 211–212
  10. H. Krause, S. Witherspoon, J. Zhang, “Mini-workshop: Cohomology of Hopf algebras and tensor categories”, Oberwolfach Rep., 16:1 (2019), 663–693
  11. W. S. Massey, “Some higher order cohomology operations”, Symposium internacional de topologia algebraica, UNAM and UNESCO, Mexico, 1958, 145–154
  12. H. Uehara, W. S. Massey, “The Jacobi identity for Whitehead products”, Algebraic geometry and topology, A symposium in honor of S. Lefschetz, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 1957, 361–377
  13. J. P. May, “Matric Massey products”, J. Algebra, 12:4 (1969), 533–568
  14. И. К. Бабенко, И. А. Тайманов, “Произведения Масси в симплектических многообразиях”, Матем. сб., 191:8 (2000), 3–44
  15. L. Smith, “Homological algebra and the Eilenberg–Moore spectral sequence”, Trans. Amer. Math. Soc., 129:1 (1967), 58–93
  16. L. Smith, Lectures on the Eilenberg–Moore spectral sequence, Lecture Notes in Math., 134, Springer-Verlag, Berlin-New York, 1970, vii+142 pp.
  17. V. K. A. M. Gugenheim, J. P. May, On the theory and applications of differential torsion products, Mem. Amer. Math. Soc., 142, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1974, ix+94 pp.
  18. L. J. Santharoubane, “Cohomology of Heisenberg Lie algebras”, Proc. Amer. Math. Soc., 87:1 (1983), 23–28
  19. M. A. Alvarez, “The Betti numbers for Heisenberg Lie algebras”, J. Algebraic Combin., 52:4 (2020), 461–467
  20. E. Sköldberg, “The homology of Heisenberg Lie algebras over fields of characteristic two”, Math. Proc. R. Ir. Acad., 105:2 (2005), 47–49
  21. G. Cairns, S. Jambor, “The cohomology of the Heisenberg Lie algebras over fields of finite characteristic”, Proc. Amer. Math. Soc., 136:11 (2008), 3803–3807
  22. R. Howe, “Perspectives on invariant theory: Schur duality, multiplicity-free actions and beyond”, The Schur lectures (1992) (Tel Aviv), Israel Math. Conf. Proc., 8, Bar-Ilan Univ., Ramat Gan, 1995, 1–182
  23. В. В. Жаринов, “О когомологиях алгебры Гейзенберга”, Проблемы современной математической физики, Сборник статей. К 90-летию со дня рождения академика Николая Николаевича Боголюбова, Труды МИАН, 228, Наука, МАИК “Наука/Интерпериодика”, М., 2000, 61–75
  24. Soo Teck Lee, J. A. Packer, “The cohomology of the integer Heisenberg groups”, J. Algebra, 184:1 (1996), 230–250
  25. В. М. Бухштабер, “Характер Чженя–Дольда в кобордизмах. I”, Матем. сб., 83(125):4(12) (1970), 575–595
  26. J. Milnor, “On the cobordism ring $Omega^*$ and a complex analogue. I”, Amer. J. Math., 82:3 (1960), 505–521
  27. С. П. Новиков, “О некоторых задачах топологии многообразий, связанных с теорией пространств Тома”, Докл. АН СССР, 132:5 (1960), 1031–1034
  28. С. П. Новиков, “Гомотопические свойства комплексов Тома”, Матем. сб., 57(99):4 (1962), 407–442
  29. С. П. Новиков, “Методы алгебраической топологии с точки зрения теории кобордизмов”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 31:4 (1967), 855–951
  30. H. Hopf, “Über die Topologie der Gruppen-Mannigfaltigkeiten und Ihre Verallgemeinerungen”, Ann. of Math. (2), 42 (1941), 22–52
  31. С. П. Новиков, “Различные удвоения алгебр Хопфа. Алгебры операторов на квантовых группах, комплексные кобордизмы”, УМН, 47:5(287) (1992), 189–190
  32. В. М. Бухштабер, “Спектральные последовательности, связанные с характером Чженя–Дольда в кобордизмах”, В ст.: “Заседания Московского Математического общества”, УМН, 26:1(157) (1971), 214–215
  33. Н. В. Панов, “Характеристические числа в $U$-теории”, Изв. РАН. Сер. матем., 35:6 (1971), 1356–1376
  34. В. М. Бухштабер, А. В. Шокуров, “Алгебра Ландвебера–Новикова и формальные векторные поля на прямой”, Функц. анализ и его прил., 12:3 (1978), 1–11
  35. А. В. Шокуров, “Топологические приложения аппарата формальных диффеоморфизмов прямой”, УМН, 34:6(210) (1979), 210–215
  36. А. В. Шокуров, “Когомологии кольца операций в теории унитарных кобордизмов и гомотопические инварианты непрерывных отображений”, УМН, 33:3(201) (1978), 195–196
  37. Л. В. Гончарова, “Когомологии алгебр Ли формальных векторных полей на прямой”, Функц. анализ и его прил., 7:2 (1973), 6–14
  38. Л. В. Гончарова, “Когомологии алгебр Ли формальных векторных полей на прямой”, Функц. анализ и его прил., 7:3 (1973), 33–44
  39. I. K. Babenko, I. A. Taimanov, On nonformal simply connected symplectic manifolds, Preprints of the Sfb 288 “Differential Geometry and Quantum Physics”, no. 358, 1998, 21 pp.
  40. В. М. Бухштабер, “Группы полиномиальных преобразований прямой, неформальные симплектические многообразия и алгебра Ландвебера–Новикова”, УМН, 54:4(328) (1999), 161–162
  41. K. Nomizu, “On the cohomology of compact homogeneous spaces of nilpotent Lie groups”, Ann. of Math. (2), 59:3 (1954), 531–538
  42. J. D. Stasheff, “Homotopy associativity of $H$-spaces. II”, Trans. Amer. Math. Soc., 108:2 (1963), 293–312
  43. J. P. May, “The cohomology of principal bundles, homogeneous spaces, and two-stage Postnikov systems”, Bull. Amer. Math. Soc., 74 (1968), 334–339
  44. E. O'Neill, “On Massey products”, Pacific J. Math., 76:1 (1978), 123–127
  45. В. В. Лычагин, “Контактная геометрия и нелинейные дифференциальные уравнения второго порядка”, УМН, 34:1(205) (1979), 137–165
  46. A. Kushner, V. Lychagin, V. Rubtsov, Contact geometry and nonlinear differential equations, Encyclopedia Math. Appl., 101, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2007, xxii+496 pp.
  47. П. Коннер, Э. Флойд, Гладкие периодические отображения, Мир, М., 1969, 340 с.
  48. G. Laures, “On cobordism of manifolds with corners”, Trans. Amer. Math. Soc., 352:12 (2000), 5667–5688
  49. И. М. Гельфанд, Б. Л. Фейгин, Д. Б. Фукс, “Когомологии бесконечномерных алгебр Ли и операторы Лапласа”, Функц. анализ и его прил., 12:4 (1978), 1–5
  50. В. С. Ретах, Б. Л. Фейгин, “О когомологиях некоторых алгебр и супералгебр Ли векторных полей”, УМН, 37:2(224) (1982), 233–234
  51. B. L. Feigin, D. B. Fuchs, “Verma modules over the Virasoro algebra”, Topology (Leningrad, 1982), Lecture Notes in Math., 1060, Springer-Verlag, Berlin, 1984, 230–245
  52. Ф. В. Вайнштейн, “Фильтрующие базисы и когомологии нильпотентных подалгебр алгебры Витта и алгебры петель на $sl_2$”, Функц. анализ и его прил., 44:1 (2010), 4–26
  53. A. Rocha-Caridi, N. R. Wallach, “Characters of irreducible representations of the Lie algebra of vector fields on the circle”, Invent. Math., 72:1 (1983), 57–75
  54. Д. В. Миллионщиков, Когомологии положительно градуированных алгебр Ли и их приложения, Дисс. … докт. физ.-матем. наук, МГУ, М., 2019, 262 с.
  55. B. L. Feigin, D. B. Fuchs, V. S. Retakh, “Massey operations in the cohomology of the infinite-dimensional Lie algebra $L_1$”, Topology and geometry – Rohlin seminar, Lecture Notes in Math., 1346, Springer-Verlag, Berlin, 1988, 13–31
  56. И. В. Артельных, “Произведения Масси и спектральная последовательность Бухштабера”, УМН, 55:3(333) (2000), 165–166
  57. Д. В. Миллионщиков, “Алгебра формальных векторных полей на прямой и гипотеза Бухштабера”, Функц. анализ и его прил., 43:4 (2009), 26–44
  58. Б. М. Левитан, Теория операторов обобщенного сдвига, Наука, М., 1973, 312 с.
  59. В. М. Бухштабер, “Двузначные формальные группы. Алгебраическая теория и приложения к кобордизмам. I”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 39:5 (1975), 1044–1064
  60. В. М. Бухштабер, “Полиномиальная эйлерова характеристика нильмногообразий”, Функц. анализ и его прил., 58:1 (2024), 22–41
  61. И. К. Бабенко, И. А. Тайманов, “О существовании неформальных односвязных симплектических многообразий”, УМН, 53:5(323) (1998), 225–226
  62. И. К. Бабенко, И. А. Тайманов, “О неформальных односвязных симплектических многообразиях”, Сиб. матем. журн., 41:2 (2000), 253–269
  63. С. Маклейн, Гомология, Мир, М., 1966, 544 с.
  64. J. W. Milnor, J. C. Moore, “On the structure of Hopf algebras”, Ann. of Math. (2), 81:2 (1965), 211–264
  65. D. Riley, H. Usefi, “The isomorphism problem for universal enveloping algebras of Lie algebras”, Algebr. Represent. Theory, 10:6 (2007), 517–532
  66. P. S. Landweber, “Cobordism operations and Hopf algebras”, Trans. Amer. Math. Soc., 129:1 (1967), 94–110
  67. V. M. Buchstaber, A. P. Veselov, “Chern–Dold character in complex cobordisms and theta divisors”, Adv. Math., 449 (2024), 109720, 35 pp.
  68. D. Kraines, “Massey higher products”, Trans. Amer. Math. Soc., 124 (1966), 431–449
  69. А. И. Мальцев, “Об одном классе однородных пространств”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 13:1 (1949), 9–32
  70. И. К. Бабенко, “Алгебра, геометрия и топология группы подстановок формальных степенных рядов”, УМН, 68:1(409) (2013), 3–76
  71. Д. В. Миллионщиков, “Когомологии нильмногообразий и теорема Гончаровой”, УМН, 56:4(340) (2001), 153–154
  72. Чжэнь Шэн-Шэнь, Комплексные многообразия, ИЛ, М., 1961, 240 с.
  73. Дж. Хамфриc, Введение в теорию алгебр Ли и их представлений, МЦНМО, М., 2003, 216 с.
  74. A. J. Berrick, A. A. Davydov, “Splitting of Gysin extensions”, Algebr. Geom. Topol., 1 (2001), 743–762

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2024 Бухштабер В.M., Попеленский Ф.Y.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».