Том 87, № 5 (2023)

Исследуется нелинейная задача динамики регулятора Уатта. Предполагается, что он установлен на машине, которая совершает заданные гармонические колебания малой амплитуды вдоль вертикали. Считается, что в шарнирах регулятора возникают силы вязкого трения, которые являются малыми. В основном рабочем режиме регулятора его стержни, несущие массивные грузы, отклонены от нисходящей вертикали на постоянный острый угол. Если пренебречь трением и вертикальными колебаниями машины, то получим приближенную задачу, в которой динамика регулятора будет описываться автономной гамильтоновой системой с одной степенью свободы. На фазовом портрете приближенной задачи рабочему режиму отвечает особая точка типа центр. Траектории, охватывающие эту точку, лежат внутри сепаратрисы, представляющей собой гомоклиническую двоякоасимптотическую траекторию, которая проходит через положение равновесия, отвечающее вертикальному положению стержней с грузами; на фазовом портрете этому положению отвечает седловая особая точка. При помощи метода Мельникова получено условие, при выполнении которого в полной возмущенной задаче (учитывающей диссипацию в шарнирах и вертикальные колебания машины) невозмущенная сепаратриса расщепляется.

Приводится аналитическое решение задачи о движении космического корабля из начальной точки в конечный пункт за определенное время. Вначале используется метод быстрых синус-разложений. Рассматриваемая здесь космическая задача существенно нелинейная, что порождает необходимость в использовании методов тригонометрической интерполяции, которая по точности и простоте превосходит все известные интерполяции. При этом задача вычисления коэффициентов Фурье интегральными формулами заменяется на решение ортогональной интерполяционной системы. В этой связи рассматривается два случая на отрезке \(\left[ {0,a} \right]\): универсальная интерполяция и тригонометрические синус- и косинус-интерполяции. Доказана теорема о быстром убывании коэффициентов разложений, получена компактная формула для вычисления коэффициентов интерполяции. Дается общая теория быстрых разложений. Показано, что в таком случае коэффициенты Фурье с ростом порядкового номера убывают значительно быстрее по сравнению с коэффициентами Фурье в классическом случае. Это свойство позволяет существенно сократить число учитываемых членов в ряде Фурье, существенно увеличить точность расчетов и уменьшить объем вычислений на ЭВМ. Проведен анализ полученных решений задачи движения космического корабля и предложено их сравнение с точным решением тестовой задачи. Приближенное решение по методу быстрых разложений вполне можно принимать за точное, так как используемые из справочников входные данные задачи имеют более высокую погрешность.

Исследована колебательная система с механизмом возбуждения как в осцилляторе Релея, но с нелинейной (кубической) возвращающей силой. С помощью метода ускоренной сходимости и процедуры продолжения по параметру построены предельные циклы и вычислены амплитуды и периоды автоколебаний. Это сделано для широкого диапазона значений коэффициента обратной связи, в котором этот коэффициент не является асимптотически малым или большим. Предложенная итерационная процедура позволяет достичь заданной точности вычислений. Проведен анализ особенностей предельного цикла, вызванных увеличением коэффициента самовозбуждения. Полученные результаты сопоставлены с автоколебаниями классического осциллятора Релея с линейной возвращающей силой.

Рассматривается движение тяжелого твердого тела с неподвижной точкой в однородном поле тяжести. Предполагается, что главные моменты инерции тела для неподвижной точки удовлетворяют условию Д.Н. Горячева–С.А. Чаплыгина, т.е. находятся в отношении 1 : 4 : 1, при этом никаких дополнительных ограничений на положение центра масс тела не накладывается. Исследуется задача об орбитальной устойчивости маятниковых периодических движений тела. В окрестности периодических движений введены локальные переменные и получены уравнения возмущенного движения. На основании линейного анализа устойчивости сделан вывод об орбитальной неустойчивости маятниковых вращений при всех значениях параметров. Установлено, что маятниковые колебания в зависимости от значений параметров могут быть как орбитально неустойчивы, так и устойчивы в линейном приближении. Для маятниковых колебаний, устойчивых в линейном приближении, на основании методов КАМ теории выполнен нелинейный анализ и получены строгие выводы об орбитальной устойчивости.

В работе рассматривается задача о гашении колебаний мембраны и пластины с помощью сил, распределенных по всей площади мембраны и пластины. Предлагаемый метод позволяет рассматривать ограничения не только на абсолютную величину управления, но и на абсолютную величину производных от функций, задающих управление. Приводятся достаточные условия на начальные условия, при которых задача приведения системы в покой за конечное время разрешима, оценивается время приведения в покой.

Построены качественно новые математические модели лежащей капли и поджатого пузырька, учитывающие размерную зависимость поверхностного натяжения. Хорошо известная модель Башфорта–Адамса является частным случаем построенных моделей, если длину Толмена устремить к нулю. Проведены численные расчеты краевых углов при различных значениях равновесного объема. Показано, что размерная зависимость поверхностного натяжения приводит к нарушению условия согласованности краевых углов капли и пузырька, находящихся во внешнем силовом поле.

В работе приведено замкнутое аналитическое решение задачи плоской деформации о релаксации напряжений в пластине, вязкие свойства которой различаются при растяжении и сжатии. Обратимые и необратимые деформации полагаются конечными. Используется линейно-вязкая модель на основе эквивалентного напряжения, которое является кусочно-линейной функцией главных напряжений с параметром разносопротивляемости. Обсуждаются характерные для этой модели особенности решения.