Уравнение ветвления для дифференциального уравнения первого порядка в банаховом пространстве c квадратичными возмущениями малого параметра
- Авторы: Усков В.И.1
-
Учреждения:
- Воронежский государственный лесотехнический университет им. Г. Ф. Морозова
- Выпуск: Том 233 (2024)
- Страницы: 99-106
- Раздел: Статьи
- URL: https://journals.rcsi.science/2782-4438/article/view/257157
- ID: 257157
Цитировать
Полный текст
Аннотация
Статья посвящена исследованию поведения решения при задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка в банаховом пространстве с квадратичными операторными пучками при производной от искомой функции. Получено уравнение ветвления; для его решения применяется диаграмма Ньютона. Выявлены условия, при которых возникает погранслой вблизи начальной точки, и определяется вид функций погранслоя.
Полный текст
1. Введение и необходимые сведения
Рассмотрим задачу Коши
(1)
(2)
где , , , , , "— замкнутые линейные операторы , , "— банаховы пространства , — голоморфная в окрестности точки функция; ,
Оператор полагается фредгольмовым с нулевым индексом (далее "— фредгольмов), имеющим одномерное ядро. Рассматривается частный случай конечной -кордановой цепочки оператора .
Под решением задачи (1), (2) подразумевается функция , дифференцируемая по при каждом и удовлетворяющая (1), (2) в .
Уравнениями вида (1) описываются экономические процессы (динамическая модель Леонтьева межотраслевого баланса; см. [5], явления в электрических и гидравлических цепях (см. [10]), быстрых бимолекулярных реакций (см. [6]), процессы фильтрации, влагопереноса и т. д.
Задача Коши для уравнения
(3)
с необратимым оператором изучена в разных работах. Для фредгольмова оператора случай одномерного ядра изучен в [12], где исследовались качественные свойства решения, и в [4], где для нее построено асимптотическое разложение решения; для оператора , обладающего свойством иметь нуль нормальным собственным числом (0-Н.С.Ч.), в случае многомерного ядра в [11] изучено явление погранслоя. В [8] изучена задача Коши с правой частью уравнения (3), содержащей квадратичный операторный пучок перед , с 0-Н.С.Ч. оператором , имеющим двумерное ядро.
В настоящей работе задача обобщается наличием квадратичного пучка перед производной. Цель работы: выявление условий, при которых имеет место явление пограничного слоя (далее погранслоя). Такие условия называются условиями регулярности вырождения. Для этого выводится уравнение ветвления. Это уравнение решается с применением диаграммы Ньютона (см. [9]).
Приведем необходимые сведения.
Определение 1 (см.~) Ограниченная функция , определенная на , называется функцией погранслоя вблизи точки , если на при каждом и по норме в банаховом пространстве на при .
Рассмотрим предельную задачу для (1), (2):
(4)
Определение 2 (см.~) В задаче (1), (2) имеет место явление погранслоя, если
где "— функция погранслоя вблизи точки .
Фредгольмов оператор вполне определяется следующим свойством (см. [7]):
(5)
где "— ядро оператора , "— прямое дополнение к нему, "— образ, "— дефект; ; сужение оператора на имеет ограниченный обратный .
Введем проектор на , полуобратный оператор
Зафиксируем элементы , , . В введем скалярное произведение так, что .
Лемма 1 (см.~) Уравнение , , , равносильно системе
Определение 3 Последовательность таких элементов , что
назовем -жордановой цепочкой присоединенных элементов оператора , отвечающих нулевому собственному значению.
Лемма 2 (см.~) "=Жорданова цепочка имеет конечную длину тогда и только тогда, когда существует такое число , что
В настоящей работе будем рассматривать случай .
Наложим следующее условие.
Условие 1 Операторы , , , , , , , , , ограничены.
Приведем решение задачи (4).
Теорема 1 (см.~) Пусть выполнено условие 1. Пусть выполнена лемма 2. Тогда решение задачи (4) существует при выполнении условий
Оно единственно и равно
в обозначении
Далее нам понадобятся следующие утверждения.
Пусть , , "— линейные операторы, действующие в одном пространстве. Обозначим через сумму по всевозможным перестановкам из элементов . Также введем следующие обозначения:
Утверждение 1 Пусть для любого выполнено равенство
(6)
Тогда для любых справедлива следующая формула:
(7)
Доказательство. Зафиксируем и докажем утверждение методом математической индукции по . Пусть оно верно для . Покажем, что оно верно и для .
Имеем:
В каждой i-й сумме извлечем слагаемое по набору , :
.
Сделаем в них замену внесем под одну сумму и воспользуемся равенством (6):
что и требовалось доказать.
2. Уравнение ветвления
Выведем уравнение ветвления. Подставив
(8)
где "— равномерно ограниченная в функция, в (1), получим спектральное уравнение
(9)
В силу леммы 1 оно равносильно системе
(10)
(11)
Наложим следующее условие.
Условие 2 Числа , отличные от нуля и достаточно малые по модулю, таковы, что при каждом выполнено неравенство
При выполнении условий 1, 2 уравнение (10) разрешимо:
(12)
Подставив (12) в (11), получим искомое уравнение ветвления:
(13)
где
3. Выявление условий регулярности вырождения в частном случае
Выявим условия регулярности вырождения в задаче (1), (2), для чего рассмотрим уравнение (13).
Пусть выполнено равенство (6) для , , , , . Преобразуем выражение по формуле Неймана, применив утверждение 1:
Тогда выражение можно записать в виде
где
Запишем выражение (14) в виде
и введем обозначение .
Решим уравнение (13) при выполнении следующего условия.
Условие 3 Существует такое число , что
В силу леммы 2 конечность "=жордановой цепочки оператора влечет
Построим диаграмму Ньютона (см. рис. 1). Уравнение ветвления имеет вид
где вмещает в себя нормы ограниченных, в силу условия 1, операторов. Оно имеет решение
(15)
Рис. 1: Диаграмма Ньютона
Подстановка (15) в (8) приводит к следующему результату.
Теорема 2 Пусть выполнены условия 1, 2, 3, лемма 2 и неравенство
(16)
Тогда в задаче (1), (2) наблюдается явление погранслоя, и функции погранслоя имеют переменную .
Неравенство (16) является условием регулярности вырождения.
4. О фредгольмовости одного оператора
Рассмотрим оператор , задаваемый числовой матрицей
где , отношения попарно различны, , .
Утверждение 2 Оператор фредгольмов.
Доказательство. Возьмем элементы , (здесь "— знак транспонирования). Решив уравнение , построим ядро оператора :
где
.
Разложив элемент в сумму элементов из и соответственно, построим :
Приравнивая , находим ; значит, имеет место разложение
Образ оператора равен
Разложив элемент в сумму , построим :
Приравнивая , находим ; значит, имеет место разложение
Нетрудно видеть, что .
Проектор на
является идемпотентным.
Решение уравнения влечет взаимно однозначное соответствие между и , и
ограничен. Тем самым, фредгольмовость оператора доказана.
5. Пример
Рассмотрим задачу (1), (2) со следующими операторами
,
где , , "— параметры. В силу утверждения 2 оператор фредгольмов. Возьмем
Так как , то , ,
При имеем , что влечет равномерную сходимость решения задачи (1), (2) к решению задачи (4), поскольку диаграмма Ньютона вырождается в точку .
Применим результаты теоремы 2. Пусть ; тогда , . При выполнении условия , т.е. , функции погранслоя имеют переменную .
Если , т.е. , то при , т.е. и , функции погранслоя имеют переменную .
Об авторах
В. И. Усков
Воронежский государственный лесотехнический университет им. Г. Ф. Морозова
Автор, ответственный за переписку.
Email: vum1@yandex.ru
Россия, Воронеж
Список литературы
- But Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений М. Наука 1973
- Zub1973 Зубова С. П. Сингулярное возмущение линейных дифференциальных уравнений, неразрешенных относительно производной Дисс. на соиск. уч. степ. канд. физ.-мат. наук. Воронеж 1973
- Zub2014 Зубова С. П. О роли возмущений в задаче Коши для уравнения с фредгольмовым оператором при производной Докл. Акад. наук. 454 4 2014 383–386
- ZubUsk2018 Зубова С. П., Усков В. И. Асимптотическое решение задачи Коши для уравнения первого порядка с малым параметром в банаховом пространстве. Регулярный случай Мат. заметки. 2018 103 3 392–403
- Kuz Кузнецова А. В. Экономико-математические методы и модели Минск БГЭУ 2000
- Nef Нефедов Н. Н. Развитие методов асимптотического анализа переходных слоев в уравнениях реакция-диффузия-адвеция: теория и применение Ж. вычисл. мат. мат. физ. 2021 61 12 2074–2094
- Nik Никольский С. М. Линейные уравнения в линейных нормированных пространствах Изв. АН СССР. Сер. мат. 1943 7 3 147–166
- Usk2021 Усков В. И. Исследование жесткости алгебро-дифференциальной системы первого порядка с возмущением в правой части Вестн. росс. ун-тов. Мат. 2021 26 134 172–181
- Cheb Чеботарев Н. Г. Теория алгебраических функций М. Либроком 2009
- ChrLomMut Christiansen P. L., Lomdahl P. S., Muto V. On a Toda lattice model with a transversal degree of freedom Nonlinearity. 1991 4 2 477–501
- Usk2020 Uskov V. I. Boundary layer phenomenon for a first order descriptor equation with small parameter on the right-hand side J. Math. Sci. 2020 250 1 175–181
- ZubRae2015 Zubova S. P., Raetskaya E. V. A study of the rigidity of descriptor dynamical systems in a Banach space J. Math. Sci. 2015 208 1 119–124