Branching equation for a first-order differential equation in a Banach space with quadratic perturbations of a small parameter
- Authors: Uskov V.I.1
-
Affiliations:
- Воронежский государственный лесотехнический университет им. Г. Ф. Морозова
- Issue: Vol 233 (2024)
- Pages: 99-106
- Section: Статьи
- URL: https://journals.rcsi.science/2782-4438/article/view/257157
- ID: 257157
Cite item
Full Text
Abstract
This paper is devoted to the study of the behavior as of solutions of the Cauchy problem for a first-order differential equation in a Banach space with quadratic operator pencils with the derivative of the unknown function. The branching equation is obtained and analyzed by using the Newton diagram. The conditions of the appearing of a boundary layer near the initial point are identified and the structure of boundary-layer functions is determined.
Full Text
1. Введение и необходимые сведения
Рассмотрим задачу Коши
(1)
(2)
где , , , , , "— замкнутые линейные операторы , , "— банаховы пространства , — голоморфная в окрестности точки функция; ,
Оператор полагается фредгольмовым с нулевым индексом (далее "— фредгольмов), имеющим одномерное ядро. Рассматривается частный случай конечной -кордановой цепочки оператора .
Под решением задачи (1), (2) подразумевается функция , дифференцируемая по при каждом и удовлетворяющая (1), (2) в .
Уравнениями вида (1) описываются экономические процессы (динамическая модель Леонтьева межотраслевого баланса; см. [5], явления в электрических и гидравлических цепях (см. [10]), быстрых бимолекулярных реакций (см. [6]), процессы фильтрации, влагопереноса и т. д.
Задача Коши для уравнения
(3)
с необратимым оператором изучена в разных работах. Для фредгольмова оператора случай одномерного ядра изучен в [12], где исследовались качественные свойства решения, и в [4], где для нее построено асимптотическое разложение решения; для оператора , обладающего свойством иметь нуль нормальным собственным числом (0-Н.С.Ч.), в случае многомерного ядра в [11] изучено явление погранслоя. В [8] изучена задача Коши с правой частью уравнения (3), содержащей квадратичный операторный пучок перед , с 0-Н.С.Ч. оператором , имеющим двумерное ядро.
В настоящей работе задача обобщается наличием квадратичного пучка перед производной. Цель работы: выявление условий, при которых имеет место явление пограничного слоя (далее погранслоя). Такие условия называются условиями регулярности вырождения. Для этого выводится уравнение ветвления. Это уравнение решается с применением диаграммы Ньютона (см. [9]).
Приведем необходимые сведения.
Определение 1 (см.~) Ограниченная функция , определенная на , называется функцией погранслоя вблизи точки , если на при каждом и по норме в банаховом пространстве на при .
Рассмотрим предельную задачу для (1), (2):
(4)
Определение 2 (см.~) В задаче (1), (2) имеет место явление погранслоя, если
где "— функция погранслоя вблизи точки .
Фредгольмов оператор вполне определяется следующим свойством (см. [7]):
(5)
где "— ядро оператора , "— прямое дополнение к нему, "— образ, "— дефект; ; сужение оператора на имеет ограниченный обратный .
Введем проектор на , полуобратный оператор
Зафиксируем элементы , , . В введем скалярное произведение так, что .
Лемма 1 (см.~) Уравнение , , , равносильно системе
Определение 3 Последовательность таких элементов , что
назовем -жордановой цепочкой присоединенных элементов оператора , отвечающих нулевому собственному значению.
Лемма 2 (см.~) "=Жорданова цепочка имеет конечную длину тогда и только тогда, когда существует такое число , что
В настоящей работе будем рассматривать случай .
Наложим следующее условие.
Условие 1 Операторы , , , , , , , , , ограничены.
Приведем решение задачи (4).
Теорема 1 (см.~) Пусть выполнено условие 1. Пусть выполнена лемма 2. Тогда решение задачи (4) существует при выполнении условий
Оно единственно и равно
в обозначении
Далее нам понадобятся следующие утверждения.
Пусть , , "— линейные операторы, действующие в одном пространстве. Обозначим через сумму по всевозможным перестановкам из элементов . Также введем следующие обозначения:
Утверждение 1 Пусть для любого выполнено равенство
(6)
Тогда для любых справедлива следующая формула:
(7)
Доказательство. Зафиксируем и докажем утверждение методом математической индукции по . Пусть оно верно для . Покажем, что оно верно и для .
Имеем:
В каждой i-й сумме извлечем слагаемое по набору , :
.
Сделаем в них замену внесем под одну сумму и воспользуемся равенством (6):
что и требовалось доказать.
2. Уравнение ветвления
Выведем уравнение ветвления. Подставив
(8)
где "— равномерно ограниченная в функция, в (1), получим спектральное уравнение
(9)
В силу леммы 1 оно равносильно системе
(10)
(11)
Наложим следующее условие.
Условие 2 Числа , отличные от нуля и достаточно малые по модулю, таковы, что при каждом выполнено неравенство
При выполнении условий 1, 2 уравнение (10) разрешимо:
(12)
Подставив (12) в (11), получим искомое уравнение ветвления:
(13)
где
3. Выявление условий регулярности вырождения в частном случае
Выявим условия регулярности вырождения в задаче (1), (2), для чего рассмотрим уравнение (13).
Пусть выполнено равенство (6) для , , , , . Преобразуем выражение по формуле Неймана, применив утверждение 1:
Тогда выражение можно записать в виде
где
Запишем выражение (14) в виде
и введем обозначение .
Решим уравнение (13) при выполнении следующего условия.
Условие 3 Существует такое число , что
В силу леммы 2 конечность "=жордановой цепочки оператора влечет
Построим диаграмму Ньютона (см. рис. 1). Уравнение ветвления имеет вид
где вмещает в себя нормы ограниченных, в силу условия 1, операторов. Оно имеет решение
(15)
Рис. 1: Диаграмма Ньютона
Подстановка (15) в (8) приводит к следующему результату.
Теорема 2 Пусть выполнены условия 1, 2, 3, лемма 2 и неравенство
(16)
Тогда в задаче (1), (2) наблюдается явление погранслоя, и функции погранслоя имеют переменную .
Неравенство (16) является условием регулярности вырождения.
4. О фредгольмовости одного оператора
Рассмотрим оператор , задаваемый числовой матрицей
где , отношения попарно различны, , .
Утверждение 2 Оператор фредгольмов.
Доказательство. Возьмем элементы , (здесь "— знак транспонирования). Решив уравнение , построим ядро оператора :
где
.
Разложив элемент в сумму элементов из и соответственно, построим :
Приравнивая , находим ; значит, имеет место разложение
Образ оператора равен
Разложив элемент в сумму , построим :
Приравнивая , находим ; значит, имеет место разложение
Нетрудно видеть, что .
Проектор на
является идемпотентным.
Решение уравнения влечет взаимно однозначное соответствие между и , и
ограничен. Тем самым, фредгольмовость оператора доказана.
5. Пример
Рассмотрим задачу (1), (2) со следующими операторами
,
где , , "— параметры. В силу утверждения 2 оператор фредгольмов. Возьмем
Так как , то , ,
При имеем , что влечет равномерную сходимость решения задачи (1), (2) к решению задачи (4), поскольку диаграмма Ньютона вырождается в точку .
Применим результаты теоремы 2. Пусть ; тогда , . При выполнении условия , т.е. , функции погранслоя имеют переменную .
Если , т.е. , то при , т.е. и , функции погранслоя имеют переменную .
About the authors
V. I. Uskov
Воронежский государственный лесотехнический университет им. Г. Ф. Морозова
Author for correspondence.
Email: vum1@yandex.ru
Russian Federation, Воронеж
References
- But Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений М. Наука 1973
- Zub1973 Зубова С. П. Сингулярное возмущение линейных дифференциальных уравнений, неразрешенных относительно производной Дисс. на соиск. уч. степ. канд. физ.-мат. наук. Воронеж 1973
- Zub2014 Зубова С. П. О роли возмущений в задаче Коши для уравнения с фредгольмовым оператором при производной Докл. Акад. наук. 454 4 2014 383–386
- ZubUsk2018 Зубова С. П., Усков В. И. Асимптотическое решение задачи Коши для уравнения первого порядка с малым параметром в банаховом пространстве. Регулярный случай Мат. заметки. 2018 103 3 392–403
- Kuz Кузнецова А. В. Экономико-математические методы и модели Минск БГЭУ 2000
- Nef Нефедов Н. Н. Развитие методов асимптотического анализа переходных слоев в уравнениях реакция-диффузия-адвеция: теория и применение Ж. вычисл. мат. мат. физ. 2021 61 12 2074–2094
- Nik Никольский С. М. Линейные уравнения в линейных нормированных пространствах Изв. АН СССР. Сер. мат. 1943 7 3 147–166
- Usk2021 Усков В. И. Исследование жесткости алгебро-дифференциальной системы первого порядка с возмущением в правой части Вестн. росс. ун-тов. Мат. 2021 26 134 172–181
- Cheb Чеботарев Н. Г. Теория алгебраических функций М. Либроком 2009
- ChrLomMut Christiansen P. L., Lomdahl P. S., Muto V. On a Toda lattice model with a transversal degree of freedom Nonlinearity. 1991 4 2 477–501
- Usk2020 Uskov V. I. Boundary layer phenomenon for a first order descriptor equation with small parameter on the right-hand side J. Math. Sci. 2020 250 1 175–181
- ZubRae2015 Zubova S. P., Raetskaya E. V. A study of the rigidity of descriptor dynamical systems in a Banach space J. Math. Sci. 2015 208 1 119–124