Branching equation for a first-order differential equation in a Banach space with quadratic perturbations of a small parameter

Full Text

1. Введение и необходимые сведения

Рассмотрим задачу Коши

$(A-\epsilon B-{\epsilon }^{2}C)\frac{du}{dt}=(D+\epsilon E+{\epsilon }^{2}F)u(t,\epsilon ),$ (1)

$u(t_0,\epsilon )=u^0\left(\epsilon \right)\in X_1,$ (2)

где $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$ "— замкнутые линейные операторы $X_1\to X_2$, $X_1$, $X_2$ "— банаховы пространства $\overline{dom }A=\overline{dom} B = \overline{dom} C = \overline{dom} D =\overline{dom} E = \overline{dom} F = X_1$, $u^0\left(\epsilon \right)$ — голоморфная в окрестности точки $\epsilon =0$ функция; $t\in \mathfrak{T}=[t_0;t_{m}ax]$, $\epsilon \in \mathfrak{E}=(0;{\epsilon }_0).$

Оператор $A$ полагается фредгольмовым с нулевым индексом (далее "— фредгольмов), имеющим одномерное ядро. Рассматривается частный случай конечной $D$-кордановой цепочки оператора $A$.

Под решением задачи (1), (2) подразумевается функция $u(t,\epsilon )$, дифференцируемая по $t\in \mathfrak{T}$ при каждом $\epsilon \in \mathfrak{E}$ и удовлетворяющая (1), (2) в $\mathfrak{T}\times \mathfrak{E}$.

Уравнениями вида (1) описываются экономические процессы (динамическая модель Леонтьева межотраслевого баланса; см. [5], явления в электрических и гидравлических цепях (см. [10]), быстрых бимолекулярных реакций (см. [6]), процессы фильтрации, влагопереноса и т. д.

Задача Коши для уравнения

$A\frac{du}{dt}=(B+\epsilon C)u(t,\epsilon )$ (3)

с необратимым оператором $A$ изучена в разных работах. Для фредгольмова оператора $A$ случай одномерного ядра изучен в [12], где исследовались качественные свойства решения, и в [4], где для нее построено асимптотическое разложение решения; для оператора , обладающего свойством иметь нуль нормальным собственным числом (0-Н.С.Ч.), в случае многомерного ядра в [11] изучено явление погранслоя. В [8] изучена задача Коши с правой частью уравнения (3), содержащей квадратичный операторный пучок $B+\epsilon C+{\epsilon }^{2}D$ перед , с 0-Н.С.Ч. оператором , имеющим двумерное ядро.

В настоящей работе задача обобщается наличием квадратичного пучка перед производной. Цель работы: выявление условий, при которых имеет место явление пограничного слоя (далее погранслоя). Такие условия называются условиями регулярности вырождения. Для этого выводится уравнение ветвления. Это уравнение решается с применением диаграммы Ньютона (см. [9]).

Приведем необходимые сведения.

Определение 1 (см.~) Ограниченная функция $v(t,\epsilon )$, определенная на $\mathfrak{T}$, называется функцией погранслоя вблизи точки $t=t_0$, если $v(t,\epsilon )\Rightarrow 0$ на $[t\text{'};t_{m}ax]$ при каждом $t\text{'}\in (t_0;t_{m}ax)$ и $v(t,\epsilon )\nRightarrow 0$ по норме в банаховом пространстве $X_1$ на $\mathfrak{T}$ при $\epsilon \to 0$.

Рассмотрим предельную задачу для (1), (2):

$A\frac{\overline{du} }{dt}=D\overline{u}\left(t\right),\overline{u}\left(t_0\right)={\overline{u}}^0.$ (4)

Определение 2 (см.~) В задаче (1), (2) имеет место явление погранслоя, если

$u(t,\epsilon )=u ̅\left(t\right)+v(t,\epsilon ),$

где $v(t,\epsilon )$ "— функция погранслоя вблизи точки $t=t_0$.

Фредгольмов оператор $A:X_1\to X_2$ вполне определяется следующим свойством (см. [7]): 

$X_1=KerA\oplus CoimA,X_2=ImA\oplus CokerA,$ (5)

где $KerA$ "— ядро оператора $A$, $CoimA$ "— прямое дополнение к нему, $\mathrm{ImA}$ "— образ, $CokerA$ "— дефект; $dimKerA=dimCokerA<\infty$; сужение $\overline{A}$ оператора $A$ на $CoimA\cap$$domA$ имеет ограниченный обратный $\widetilde{A(}-1)$.

Введем проектор $Q$ на $CokerA$, полуобратный оператор 

$A^{-}={\tilde{A}}^{-1}(I-Q):ImA\to CoimA\cap domA.$

Зафиксируем элементы $e\in KerA$, $e\ne 0$, $\phi \in CokerA$. В $CokerA$ введем скалярное произведение $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ так, что $⟨\phi ,\phi ⟩=1$.

Лемма 1 (см.~) Уравнение $A\xi =\eta$, $\xi \in X_1\cap domA$, $\eta \in X_2$, равносильно системе $\xi =A^{-}\eta +ce\forall c\in \mathrm{ℂ},⟨Q\eta ,\phi ⟩=0.$

Определение 3 Последовательность таких элементов ${\xi }_0,{\xi }_1,{\xi }_2,\dots$, что ${\xi }_0=e,A{\xi }_i=D{\xi }_{i-1},i=1,2,\dots ,$

назовем $\mathrm{D}$-жордановой цепочкой присоединенных элементов оператора $A$, отвечающих нулевому собственному значению.

Лемма 2 (см.~) $D$"=Жорданова цепочка имеет конечную длину тогда и только тогда, когда существует такое число $p<\infty$, что

$⟨QD(A^{-}D{)}^{i}e,\phi ⟩=0,i=0,1,\dots ,p-1,⟨QD(A^{-}D{)}^{p}e,\phi ⟩\ne 0.$

В настоящей работе будем рассматривать случай $p\ge 1$.

Наложим следующее условие.

Условие 1 Операторы $QB$, $QC$, $QD$, $QE$, $QF$, $A^{-}B$, $A^{-}C$, $A^{-}D$, $A^{-}E$, $A^{-}F$ ограничены.            

Приведем решение задачи (4).

Теорема 1 (см.~) Пусть выполнено условие 1. Пусть выполнена лемма 2. Тогда решение задачи (4) существует при выполнении условий

$⟨QD(A^{-}D{)}^i{\overline{u}}^0,\phi ⟩=0,i=0,1,\dots ,p.$

Оно единственно и равно

$\overline{u}\left(t\right)=e^{tTp}{\overline{u}}^0$

 в обозначении

$T_p(\cdot )=A^{-}D(\cdot )-\frac{⟨QD{\left(A^{-}D\right)}^{p+1}(\cdot ),\phi ⟩}{⟨QD(A^{-}D{)}^{p}e,\phi ⟩}e.$

Далее нам понадобятся следующие утверждения.

Пусть $K_j$, $j=1,2,\dots ,r$, "— линейные операторы, действующие в одном пространстве. Обозначим через $S_{i_1,i_2,\dots ,i_r}^{K_1,K_2,\dots ,K_r}$ сумму по всевозможным перестановкам из $i_j$ элементов $K_j$. Также введем следующие обозначения: 

${\Gamma }_r^m=\{(i_1;i_2;\dots ;i_r)|i_j\in N\cup 0,j=1,2,\dots ,r,i_1+i_2+\cdots +i_r=m\};$

${\Gamma }_{r,l}^{\mu }={\Gamma }_r^{\mu }\backslash \left\{\right(0;\dots ;0;\underset{\underset{1}{⏟}}{\mu }; 0;\dots ;0\left)\right\}.$

Утверждение 1 Пусть для любого  выполнено равенство

$S_{i_1,i_2,\dots ,i_r}^{K_1,K_2,\dots ,K_r}=K_1{S}_{i_1-1,i_2,\dots ,i_r}^{K_1,K_2,\dots ,K_r}+K_2{S}_{i_1,i_2-1,\dots ,i_r}^{K_1,K_2,\dots ,K_r}+\cdots +K_r{S}_{i_1,i_2,\dots ,i_r-1}^{K_1,K_2,\dots ,K_r}.$ (6)

Тогда для любых $m,r\in \mathrm{\mathbb{N}}$ справедлива следующая формула:

$(K_1+K_2+\cdots +K_r{)}^m={\sum }_{{Г}_r^m} S_{i_1,i_2,\dots ,i_r}^{K_1,K_2,\dots ,K_r}$ (7)

Доказательство. Зафиксируем  и докажем утверждение методом математической индукции по $m$. Пусть оно верно для $m=\mu$. Покажем, что оно верно и для $m=\mu +1$.

Имеем:

${(K_1+K_2+\cdots +K_r)}^{\mu +1}=$

$=(K_1+K_2+\cdots +K_r)(K_1+K_2+\cdots +K_r{)}^{\mu }=(K_1+K_2+\cdots +K_r) {\sum }_{{\Gamma }_r^{\mu }}{S}_{i_1,i_2,\dots ,i_r}^{K_1,K_2,\dots ,K_r}=$

$=K_1 {\sum }_{{Г}_r^{\mu }}‍S_{i_1,i_2,\dots ,i_r}^{K_1,K_2,\dots ,K_r}+K_2{\sum }_{{Г}_r^{\mu }}{S}_{i_1,i_2,\dots ,i_r}^{K_1,K_2,\dots ,K_r}+\cdots +K_r{\sum }_{{Г}_r^{\mu }}{S}_{i_1,i_2,\dots ,i_r}^{K_1,K_2,\dots ,K_r}.$

 В каждой i-й сумме извлечем слагаемое по набору $(0;0;\dots ;\mu ;\dots ;0)$, $l=1,2,\dots ,r$:

$K_1{S}_{\mu ,0,\dots ,0}^{K_1,K_2,\dots ,K_r}+K_1 {\sum }_{{Г}_{r,1}^{\mu }}{S}_{i_1,i_2,\dots ,i_r}^{K_1,K_2,\dots ,K_r}+\cdots +K_l{S}_{0,0,\dots ,\mu ,\dots ,0}^{K_1,K_2,\dots ,K_l,\dots ,K_r}+$

$+K_l {\sum }_{{Г}_{r,l}^{\mu }} S_{i_1,i_2,\dots ,i_r}^{K_1,K_2,\dots ,K_r}+\cdots +K_r{S}_{0,0,\dots ,\mu }^{K_1,K_2,\dots ,K_r}+K_r{\sum }_{{Г}_{r,r}^{\mu }}{S}_{i_1,i_2,\dots ,i_r}^{K_1,K_2,\dots ,K_r}$ .

Сделаем в них замену $i_l\to i_l-1,$ внесем под одну сумму и воспользуемся равенством (6):

$S_{\mu +1,0,\dots ,0}^{K_1,K_2,\dots ,K_r}+S_{K_1,K_2,\dots ,K_r}^{K_1,K_2,\dots ,K_r}+\cdots +S_{K_1,K_2,\dots ,K_r}^{K_1,K_2,\dots ,K_r}+$

$+ {\sum }_{{\upsilon }_{l=1}^r} {\Gamma }_{r,l}^{\mu +1}{K}_1{S}_{i_1-1,i_2,\dots ,i_r}^{K_1,K_2,\dots ,K_r}+K_2{S}_{i_1,i_2-1,\dots ,i_r}^{K_1,K_2,\dots ,K_r}+\cdots +K_r{S}_{i_1,i_2,\dots ,i_r-1}^{K_1,K_2,\dots ,K_r}+$

$=S_{K_1,K_2,\dots ,K_r}^{K_1,K_2,\dots ,K_r}+S_{0,\mu +1,0,\dots ,0}^{K_1,K_2,\dots ,K_r}+\cdots +S_{0,0,\dots ,\mu +1}^{K_1,K_2,\dots ,K_r}+{\sum }_{{\upsilon }_{l=1}^r} {\Gamma }_{r,l}^{\mu +1}{S}_{i_1,i_2,\dots ,i_r}^{K_1,K_2,\dots ,K_r}={\sum }_{{Г}_r^{\mu +1}}{S}_{i_1,i_2,\dots ,i_r}^{K_1,K_2,\dots ,K_r}$

что и требовалось доказать.

2. Уравнение ветвления

Выведем уравнение ветвления. Подставив

$u(t,\epsilon )=exp\left(\frac{t-t_0}{\lambda \left(\epsilon \right)}\right)v\left(\epsilon \right),$ (8)

где $v\left(\epsilon \right)$ "— равномерно ограниченная в $\mathfrak{E}$ функция, $v\left(\epsilon \right)\ne 0$ в (1), получим спектральное уравнение

$Av\left(\epsilon \right)=[\epsilon B+{\epsilon }^{2}C+\lambda (D+\epsilon E+{\epsilon }^{2}F\left)\right]v\left(\epsilon \right).$ (9)

 В силу леммы 1 оно равносильно системе

$(I-A^{-}[\epsilon B+{\epsilon }^{2}C+\lambda (D+\epsilon E+{\epsilon }^{2}F)\left]\right)v\left(\epsilon \right)=e,$ (10)

$⟨Q[\epsilon B+{\epsilon }^{2}C+\lambda (D+\epsilon E+{\epsilon }^{2}F\left)\right]v\left(\epsilon \right),\phi ⟩=0.$ (11)

Наложим следующее условие.

Условие 2 Числа $\lambda =\lambda \left(\epsilon \right)\in \mathrm{ℂ}$, отличные от нуля и достаточно малые по модулю, таковы, что при каждом $\epsilon \in \mathfrak{E}$ выполнено неравенство

$0<\parallel A^{-}[\epsilon B+{\epsilon }^{2}C+\lambda (D+\epsilon E+{\epsilon }^{2}F\left)\right]\parallel <1.$

При выполнении условий 1, 2 уравнение (10) разрешимо:

$v\left(\epsilon \right)=(I-A^{-}[\epsilon B+{\epsilon }^{2}C+\lambda (D+\epsilon E+{\epsilon }^{2}F)]{\left)}^{\right(}-1)e.$ (12)

Подставив (12) в (11), получим искомое уравнение ветвления:

$R(\lambda ,\epsilon )e=0,$ (13)

где

$R(\lambda ,\epsilon )(\cdot )=⟨Q[\epsilon B+{\epsilon }^{2}C+\lambda (D+\epsilon E+{\epsilon }^{2}F\left)\right](I-A^{-}[\epsilon B+{\epsilon }^{2}C+\lambda (D+\epsilon E+{\epsilon }^{2}F)]{\left)}^{\right(}-1)(\cdot ),\phi ⟩.$

3. Выявление условий регулярности вырождения в частном случае

Выявим условия регулярности вырождения в задаче (1), (2), для чего рассмотрим уравнение (13).

Пусть выполнено равенство (6) для $K_1=A^{-}B$, $K_2=A^{-}C$, $K_3=A^{-}D$, $K_4=A^{-}E$, $K_4=A^{-}E$. Преобразуем выражение $(I-A^{-}[\epsilon B+{\epsilon }^{2}C+\lambda {(D+\epsilon E+{\epsilon }^{2}F)\left]\right)}^{-1}$ по формуле Неймана, применив утверждение 1:

$(I-A^{-}[\epsilon B+{\epsilon }^{2}C+\lambda {(D+\epsilon E+{\epsilon }^{2}F)\left]\right)}^{-1}=$

$=I+{\sum }_{m=1}^{\infty }\left(A^{-}\right[\epsilon B+{\epsilon }^{2}C+\lambda (D+\epsilon E+{\epsilon }^{2}F)]{)}^m=$

$=I+{\sum }_{m=1}^{\infty }‍{\sum }_{{Г}_5^m}{\lambda }^{i_3+i_4+i_5}{\epsilon }^{i_1+2i_2+i_4+2i_5+2}{S}_{A^{-}B,A^{-}C,A^{-}D,A^{-}E,A^{-}F}^{A^{-}B,A^{-}C,A^{-}D,A^{-}E,A^{-}F}.$

Тогда выражение $R(\lambda ,\epsilon )(\cdot )$ можно записать в виде

$(\lambda ,\epsilon )(\cdot )=\epsilon ⟨QBe,\phi ⟩+{\epsilon }^2⟨QCe,\phi ⟩+\lambda ⟨QDe,\phi ⟩+\lambda \epsilon ⟨QEe,\phi ⟩+\lambda {\epsilon }^2⟨QFe,\phi ⟩+$

$+{\sum }_{m=1}^{\infty }‍\left[R_m^B\right(\lambda ,\epsilon )+R_m^C(\lambda ,\epsilon )+R_m^D(\lambda ,\epsilon )+R_m^E(\lambda ,\epsilon )+R_m^F(\lambda ,\epsilon \left)\right](\cdot )$

где

$R_m^B(\lambda ,\epsilon )(\cdot )={\sum }_{{Г}_5^m}{\lambda }^{i_3+i_4+i_5}{\epsilon }^{i_1+2i_2+i_4+2i_5+3}⟨QB{S}_{i_1,i_2,i_3,i_4,i_5}^{A^{-}B,A^{-}C,A^{-}D,A^{-}E,A^{-}F}\left)\right(\cdot ),\phi ⟩,$

$R_m^C(\lambda ,\epsilon )(\cdot )={\sum }_{{Г}_5^m}{\lambda }^{i_3+i_4+i_5}{\epsilon }^{i_1+2i_2+i_4+2i_5+4}⟨QC{S}_{i_1,i_2,i_3,i_4,i_5}^{A^{-}B,A^{-}C,A^{-}D,A^{-}E,A^{-}F}(\cdot ),\phi ⟩,$

$R_m^D(\lambda ,\epsilon )(\cdot )={\sum }_{{Г}_5^m}{\lambda }^{i_3+i_4+i_5+1}{\epsilon }^{i_1+2i_2+i_4+2i_5+3}⟨QD{S}_{i_1,i_2,i_3,i_4,i_5}^{A^{-}B,A^{-}C,A^{-}D,A^{-}E,A^{-}F}(\cdot ),\phi ⟩,$

$R_m^E(\lambda ,\epsilon )(\cdot )={\sum }_{{Г}_5^m}{\lambda }^{i_3+i_4+i_5+1}{\epsilon }^{i_1+2i_2+i_4+2i_5+4}⟨QE{S}_{i_1,i_2,i_3,i_4,i_5}^{A^{-}B,A^{-}C,A^{-}D,A^{-}E,A^{-}F}(\cdot ),\phi ⟩,$

$R_m^F(\lambda ,\epsilon )(\cdot )={\sum }_{{Г}_5^m}{\lambda }^{i_3+i_4+i_5+1}{\epsilon }^{i_1+2i_2+i_4+2i_5+5}⟨QF{S}_{i_1,i_2,i_3,i_4,i_5}^{A^{-}B,A^{-}C,A^{-}D,A^{-}E,A^{-}F}(\cdot ),\phi ⟩.$

Запишем выражение (14) в виде

$R(\lambda ,\epsilon )={\sum }_{i,j=0}^{\infty }{\lambda }^i{\epsilon }^j{H}_{ij}, H_{00}=0,$

 и введем обозначение $h_{ij}=H_{ij}e$.

Решим уравнение (13) при выполнении следующего условия.

Условие 3 Существует такое число $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$, что

$$\begin{gathered} h_{i}j=0, i=0,1,2,\dots ,p-1, j=1,2,\dots , \\ {h}_{p}j=0, j=0,1,2,\dots ,n-1, h_{p}n\ne 0. \end{gathered}$$

В силу леммы 2 конечность $D$"=жордановой цепочки оператора $A$ влечет $h_{p+1,0}\ne 0.$

Построим диаграмму Ньютона (см. рис. 1). Уравнение ветвления имеет вид

${\lambda }^p{\epsilon }^n{h}_{pn}+{\lambda }^{p+1}{h}_{p+1,0}+o\left({\lambda }^{p+1}\right)=0,$

где $o\left({\lambda }^{p+1}\right)$ вмещает в себя нормы ограниченных, в силу условия 1, операторов. Оно имеет решение

$\lambda =-\frac{h_{pn}}{h_{p+1,0}}{\epsilon }^n.$ (15)

Рис. 1: Диаграмма Ньютона

Подстановка (15) в (8) приводит к следующему результату.

Теорема 2 Пусть выполнены условия 1, 2, 3, лемма 2 и неравенство

$Re\frac{h_{pn}}{h_{p+1,0}}>0.$  (16)

Тогда в задаче (1), (2) наблюдается явление погранслоя, и функции погранслоя имеют переменную $\tau =(t-t_0)/{\epsilon }^n$.

Неравенство (16) является условием регулярности вырождения.

4. О фредгольмовости одного оператора

Рассмотрим оператор ${\rm A}:{\mathrm{ℝ}}^3\to {\mathrm{ℝ}}^3$, задаваемый числовой матрицей

$A=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a{a}_{11}+\beta a_{21}& a{a}_{12}+\beta a_{22}& a{a}_{13}+\beta a_{23}\end{array}\right),$

где $a_{ij}\ne 0$, отношения $a_{2j}/a_{1j}$попарно различны, $i=1,2$, $j=1,2,3$.

Утверждение 2 Оператор $A$ фредгольмов.

Доказательство. Возьмем элементы $\xi =({\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3{)}^T$, $\eta =({\eta }_1,{\eta }_2,{\eta }_3{)}^T\in {\mathrm{ℝ}}^3$ (здесь  ${}^T$"— знак транспонирования). Решив уравнение $A\xi =0$, построим ядро оператора $A$:

$KerA=\left\{{(\frac{{\Delta }_1}{\Delta }{\xi }_3, \frac{{\Delta }_2}{\Delta }{\xi }_3, {\xi }_3)}^T\right\}, {\xi }_3\ne 0,$

где

${\Delta }_1=det \left(\begin{array}{cc}{a}_{12}& a_{13}\\ a_{22}& a_{23}\end{array}\right), {\Delta }_2=-det \left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{13}\\ a_{21}& a_{23}\end{array}\right), \Delta =det \left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right)$.

Разложив элемент $\xi \in X_1={\mathrm{ℝ}}^3$ в сумму ${\xi }_{KerA}+{\xi }_{CoimA}$ элементов из $KerA$ и $CoimA$ соответственно, построим $CoimA$:

$CoimA=\left\{{({\xi }_1-\frac{{\Delta }_1}{\Delta }{\xi }_3, {\xi }_2+\frac{{\Delta }_2}{\Delta }{\xi }_3,0)}^T\right\}.$

Приравнивая ${\xi }_{KerA}={\xi }_{CoimA}$, находим ${\xi }_1={\xi }_2={\xi }_3=0$; значит, имеет место разложение $X_1={\mathrm{ℝ}}^3=KerA\oplus CoimA.$

Образ оператора $A$ равен

$ImA=\left\{\right({\eta }_1,{\eta }_2,\alpha {\eta }_1+\beta {\eta }_2{)}^T\}.$

Разложив элемент $\eta \in X_2={\mathrm{ℝ}}^3$в сумму ${\eta }_{ImA}+{\eta }_{CokerA}$, построим $CoimA$:

$CoimA=\left\{\right(0,0,-\alpha {\eta }_1-\beta {\eta }_2+{\eta }_3{)}^T\}.$

Приравнивая ${\eta }_{ImA}={\eta }_{CokerA}$, находим ${\eta }_1={\eta }_2={\eta }_3=0$; значит, имеет место разложение $X_2={\mathrm{ℝ}}^3=ImA\oplus CokerA.$

 Нетрудно видеть, что $dimKerA=dimCokerA=1$.

Проектор на $CokerA$

$Q\left(A\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ -a& -\beta & 1\end{array}\right)$

является идемпотентным.

Решение уравнения $A{\xi }_{CoimA}={\eta }_{ImA}$влечет взаимно однозначное соответствие между $CoimA$ и $ImA$, и

$A^{-}=\frac{1}{\Delta }\left(\begin{array}{ccc}{a}_{22}& -a_{12}& 0\\ -a_{21}& a_{11}& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$

ограничен. Тем самым, фредгольмовость оператора $A$ доказана.

5. Пример

Рассмотрим задачу (1), (2) со следующими операторами $A,B,C,D,E,F:{\mathrm{ℝ}}^3\to {\mathrm{ℝ}}^3$

$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 4\\ 3& 4& 5\\ 7& 10& 13\end{array}\right)$,  $B=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 0\\ 1& 3& 4\\ 3& 1& 4\end{array}\right),$  $C=\left(\begin{array}{ccc}3& 0& -2\\ -6& 5& 1\\ 0& 5& -3\end{array}\right)$

$D=\left(\begin{array}{ccc}3& d& 5\\ -10& 0& 0\\ 0& -5& 0\end{array}\right),$ $E=\left(\begin{array}{ccc}{g}_1& 8& g_2\\ -10& 0& -6\\ 0& -4& 9\end{array}\right),$  $F=\left(\begin{array}{ccc}-45& 80& 0\\ 0& 50& 0\\ 0& 0& 40\end{array}\right)$

где $d$, $g_1$, $g_2$ "— параметры. В силу утверждения 2 оператор $A$ фредгольмов. Возьмем 

$e={(\mathrm{1,} -\mathrm{2,} 1)}^T\in KerA, \phi ={(\mathrm{0,} \mathrm{0,} 1)}^T\in CokerA.$

Так как $QB=QC=0$, то $h_{0j}=0$, $j=\mathrm{1,2,}\dots$,

$\begin{array}{ll}& h_{10}=⟨QDe,\phi ⟩=4d+\mathrm{4,}\\ & h_{11}=⟨QD{A}^{-}Be,\phi ⟩+⟨QEe,\phi ⟩=-2g_1-2g_2-22d-\mathrm{50,}\\ & h_{12}=⟨QE{A}^{-}Be,\phi ⟩+⟨QFe,\phi ⟩=30g_1+\mathrm{180,}\\ & h_{20}=⟨QD{A}^{-}De,\phi ⟩=12d^2-26d-468.\end{array}$

При $d\ne -1$ имеем $h_{10}\ne 0$, что влечет равномерную сходимость решения задачи (1), (2) к решению задачи (4), поскольку диаграмма Ньютона вырождается в точку $\left(1;0\right)$.

Применим результаты теоремы 2. Пусть $d=-1$; тогда $h_{11}=-2g_1-2g_2-28$, $h_{20}=-430$. При выполнении условия $h_{11}<0$, т.е. $g_1+g_2>-14$, функции погранслоя имеют переменную $\tau =\left(t-t_0\right)/\epsilon$.

Если $h_{11}=0$, т.е. $g_1+g_2=-14$, то при $30g_1+180<0$, т.е. $g_1<-6$ и $g_2>-8$, функции погранслоя имеют переменную $\tau =\left(t-t_0\right)/{\epsilon }^2$.

About the authors

V. I. Uskov

Author for correspondence.
Email: vum1@yandex.ru
Russian Federation, Воронеж

References

Supplementary files

Supplementary Files

Action

1. JATS XML

Download

2. Fig. 1: Newton diagram

Download (115KB)

Indexing metadata