Equations for covariance functions of the state vector of a linear system of stochastic differential equations with finite concentrated and distributed delays
- Authors: Poloskov I.E.1
-
Affiliations:
- Пермский государственный национальный исследовательский университет
- Issue: Vol 233 (2024)
- Pages: 46-55
- Section: Статьи
- URL: https://journals.rcsi.science/2782-4438/article/view/256989
- DOI: https://doi.org/10.36535/2782-4438-2024-233-46-55
- ID: 256989
Cite item
Full Text
Abstract
In this paper, we present a step-by-step method for the approximate analytical calculation of the matrix of covariance functions for a system of linear stochastic ordinary integro-differential equations with finite concentrated and distributed delays perturbed by additive fluctuations in the form of a vector standard Wiener process with independent components. The method proposed is a combination of the classical method of steps and the expansion of the state space and consists of several stages that make it possible to pass from a non-Markov system of stochastic equations to a chain of Markov systems without delay. Based on these systems, we construct sequences of systems of auxiliary linear ordinary differential equations for elements of vectors of mathematical expectations and covariance matrices of extended state vectors, and then obtaib the required equations for covariance functions.
Full Text
1. Введение
Динамические системы с наличием запаздывания (или последействия) используются для описания поведения широкого круга объектов и явлений в технике, природе и обществе. Одним из основных математических инструментов описания поведения таких объектов и явлений являются системы дифференциальных уравнений, которые в зависимости от типов уравнений, форм последействия и наличия возмущений могут быть линейными или нелинейными, детерминированными или стохастическими, обыкновенными или в частных производных, дифференциальными (сосредоточенные запаздывания) или интегро-дифференциальными (распределенные запаздывания) уравнениями, в том числе нейтрального типа, или смешанными.
Можно заметить, что в последние десятилетия интерес к изучению поведения и созданию удобных инструментов количественного анализа таких систем неуклонно растет. Современный этап развития теории дифференциальных уравнений с запаздыванием — учет влияния случайных возмущений, а как следствие, более широкое обращение к соответствующим моделям (см. [9, 14, 15]). К их числу относится семейство стохастических обыкновенных (интегро-)дифференциальных уравнений (СОИДУ, СОДУ) с конечными сосредоточенными и распределенными запаздываниями и случайными возмущениями.
Методы приближенного решения детерминированных аналогов систем уравнений рассматриваемого типа включают:
- -метод (см. [12]) для модели
- метод спектральных элементов [13] для
- метод Рунге – Кутты [18] для системы уравнений
- метод Рунге – Кутты – Пуазе (см. [19]) для уравнения
- метод коллокаций со сплайнами [8] для модели
и др.
Для анализа систем уравнений рассматриваемого типа применяются стохастические аналоги перечисленных методов, а также методы Эйлера – Маруямы [11], -Маруямы [5], Мильштейна [4], полунеявный метод Эйлера [7] и др., причем, как правило, эти схемы предназначены для расчета отдельных приближенных траекторий соответствующих случайных процессов.
Целью представленного в данной работе метода является вычисление статистических характеристик решений линейных СОИДУ. Для построения необходимых для этого обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) без запаздывания, как и в ряде наших предыдущих работ [2, 16, 17], используется схема, сочетающая расширение пространства состояний и идеологию классического метода шагов. При этом для получения искомых характеристик в модификацию схемы определения последовательности пространств состояний увеличивающейся размерности и соответствующих векторов состояния, кроме распространения на новый класс моделей, включена процедура построения объединенной системы ОДУ без запаздывания для компонент последовательности векторов функций математического ожидания , матриц функций ковариации и матриц ковариационных функций расширенных векторов состояния.
2. Постановка задачи
Рассмотрим линейную систему СОИДУ с конечными сосредоточенными и распределенными запаздываниями и случайными возмущениями следующего вида:
(1)
где t — время; — постоянное запаздывание; — вектор состояния; — вектор независимых случайных стандартных винеровских процессов; ; T — символ транспонирования векторов и матриц.
Предположим, что на полуинтервале случайный вектор состояния удовлетворяет системе стохастических обыкновенных дифференциальных уравнений (СОДУ) Ито без запаздывания:
(2)
причем в системах уравнений (1) и (2) , , , , , и , — известные непрерывные матричные и векторные функции. Кроме того, предположим, что известны все необходимые числовые характеристики случайного вектора . В частности, пусть в начальный момент времени для вектора заданы вектор математических ожиданий и матрица ковариаций .
Уравнения в форме (1) применяются при анализе динамики управляемых объектов (см. [1, 6]), плюрипотентных гемопоэтических стволовых клеток (см. [3]), рекламной деятельности (см. [10]) и др.
Основная задача состоит в построении системы ОДУ без запаздывания для компонент матрицы ковариационных функций стохастического вектора состояния при любом .
Отметим, что входящие в системы (1) и (2) шумы аддитивные, а следовательно, СОДУ Ито и Стратоновича имеют одну и ту же форму.
3. Построение расширенной системы СОДУ без запаздывания
Прежде, чем представить детали схемы, для компактности изложения перепишем уравнения (1) и (2) в менее строгой, но более удобной следующей форме:
(3)
(4)
где — вектор независимых стандартных белых шумов: , ; — оператор математического ожидания; — символ Кронекера; — дельта-функция Дирака.
Введем равномерную временную сетку , q = 0, 1, 2,..., N, (); новую временную переменную . Введем также следующие обозначения:
где , = 1, 2,..., , а равенства случайных векторов почти наверное на границах отрезков следуют из стохастической непрерывности рассматриваемых случайных процессов.
Рассмотрим последовательность полуинтервалов (сегментов) .
0◦. На сегменте систему СОДУ для векторного случайного процесса , и начальные условия представим так:
где — нулевой вектор размерности n.
1◦. Построим расширенный вектор , где , . Этот вектор, определенный на полуинтервалах и , будет удовлетворять системе СОДУ (5), к которой добавлены уравнения
(5)
В этих уравнениях учтено, что для
N◦. Продолжая подобным образом, заключаем, что вектор , включающий вектор и представляющий поведение вектора состояния на сегментах , ,..., , будет единственным решением системы СОДУ, которую можно получить добавлением к уравнениям для вектора уравнений следующего вида:
(6)
В результате первого этапа получена искомая цепочка систем линейных СОДУ (5)–(6) для расширенных векторов состояния , ,..., увеличивающейся размерности и подобной структуры без запаздывания, которая используется на следующем этапе для построения моментных уравнений.
4. Построение систем ОДУ для функций математического ожидания и ковариации
Воспользуемся построенной последовательностью для получения ОДУ для первых моментов векторов , ,..., . Рассмотрим k-й шаг () и введем расширенные матрицы , и векторы , которые имеют блочную структуру и формируются следующим образом (l = 1, 2,..., k):
где — нулевая -матрица, — единичная матрица n-го порядка. Тогда система СОДУ для вектора будет иметь вид:
(7)
Несложно увидеть, что вследствие линейности уравнений (7) для любого , k = 0, 1,..., N, структуры ОДУ для последовательности векторов функций математического ожидания и матриц функций ковариации будут иметь вид:
(8)
(9)
где
Теперь определим вид начальных условий для построенных ОДУ:
Вследствие того, что вектор функций математического ожидания и матрицу функций ковариации на промежутке можно собрать из соответствующих блоков векторной функции и матричной функции , достаточно вычислить последние, а затем выбрать из них необходимые элементы.
5. Формирование систем ОДУ для ковариационных функций
Обратимся к главной цели исследования — построению системы ОДУ для расчета компонент матрицы ковариационных функций
случайного вектора состояния (). В процессе этого построения будут использоваться те же системы СОДУ (5)–(6), (7)–(9).
0-0◦. Рассмотрим нижнюю правую часть области (рис. 1): (, , ). В этой части — подвектор вектора , а следовательно, с учетом уравнений (7), (8) будем иметь:
или
(10)
с начальными условиями .
Рис. 1
1-0◦. Теперь рассмотрим область (рис. 1): , . В этой области получим следующие уравнения:
или
(11)
Для полноты расчетных соотношений к этим уравнениям нужно добавить по очереди системы ОДУ
(12)
(верхняя левая часть области ) и
(13)
(нижняя правая часть области ).
k-0◦. Продолжая подобным образом, для области : (, можно построить уравнения вида
(14)
с начальными условиями . Эта система уравнений должна быть пополнена системами ОДУ, построенными для областей , ,..., .
1-1◦. Передвинемся на следующий временный слой и рассмотрим нижнюю правую нижнюю часть области : (, , ). В этой части — подвектор вектора , а следовательно, для матрицы ковариационных функций будем иметь:
или
(15)
с начальными условиями . К этим уравнениям и условиям нужно добавить необходимые инструменты расчета в нижней правой части области с учетом свойств ковариационных функций.
Замечание Последовательное численное решение ОДУ для функций математического ожидания и ковариации не вызывает проблем, причем группы уравнений для этих функций являются независимыми. Расчет же поведения ковариационных функций более сложен. Алгоритм такого расчета включает следующие шаги: [(1)]
- дробление запаздывания на целое число частей;
- построение сетки на плоскости переменных , в узлах которой и будут вычисляться значения ковариационных функций (это необходимо для их расчета на участках при различных на основе формирования начальных условий в точках с помощью уже найденных значений в точках ;
- движение через узлы по прямым, параллельным оси .
На рис. 2 показаны промежутки интегрирования этих уравнений на отрезке для случаев (рис. 2) и (рис. 2).
Рис. 2
6. Модельный пример
Воспользуемся изложенной схемой для анализа переходного процесса, описываемого модельным уравнением вида
где — неслучайная величина; , , , , , — постоянные; .
Ниже на рисунках показаны графики функций математического ожидания и среднеквадратичного отклонения (рис. 3) и ковариационной функции в областях , ,..., (рис. 4), построенные на основе результатов расчетов при следующих значениях параметров задачи:
где — дисперсия.
Рис. 3
Рис. 4
About the authors
I. E. Poloskov
Пермский государственный национальный исследовательский университет
Author for correspondence.
Email: poloskov@psu.ru
Russian Federation, Пермь
References
- Колмановский В. Б., Майзенберг Т. Л. Оптимальное управление стохастическими системами с последействием Автомат. телемех. 1973 1 47–61
- Полосков И. Е. Расширение фазового пространства в задачах анализа дифференциально-разностных систем со случайным входом Автомат. телемех. 2002 9 58–73
- Adimy M., Crauste F., Halanay A. et al. Stability of limit cycles in a pluripotent stem cell dynamics model Chaos Solit. Fract. 2006 27 4 1091–1107
- Buckwar E. Euler–Maruyama and Milstein approximations for stochastic functional differential equations with distributed memory term Discussion Papers of Interdisciplinary Research Project 373: Quantification and Simulation of Economic Processes Berlin Humboldt University 2003 2023,16
- Buckwar E. The -Maruyama scheme for stochastic functional differential equations with distributed memory term Monte Carlo Meth. Appl. 2004 10 3 235–244
- Chang M. H., Pang T., Pemy M. Optimal control of stochastic functional differential equations with a bounded memory Int. J. Probab. Stochast. Processes. 2008 80 1 69–96
- Ding X., Wu K., Liu M. Convergence and stability of the semi-implicit Euler method for linear stochastic delay integro-differential equations Int. J. Comput. Math. 2006 83 10 753–763
- El-Hawary H. M., El-Shami K. A. Numerical solution of Volterra delay-integro-differential equations via spline/spectral methods Int. J. Differ. Equations Appl. 2013 12 3 149–157
- Geffert P. M. Stochastic Non-Excitable Systems with Time Delay: Modulation of Noise Effects by Time-Delayed Feedback Wiesbaden Springer 2015
- Gozzi F., Marinelli C., Savin S. On controlled linear diffusions with delay in a model of optimal advertising under uncertainty with memory effects J. Optim. Theory Appl. 2009 142 2 291–321
- Hu P., Huang Ch. Stability of Euler–Maruyama method for linear stochastic delay integro-differential equations Math. Num. Sinica. 2010 32 1 105–112
- Koto T. Stability of -methods for delay integro-dfferential equations J. Comput. Appl. Math. 2003 161 2 393–404
- Khasawneh F. A., Mann B. P. Stability of delay integro-differential equations using a spectral element method Math. Comput. Model. 2011 54 9–10 2493–2503
- Kushner H. J. Numerical Methods for Controlled Stochastic Delay Systems Boston Birkhäuser 2008
- Mao X. Stochastic Differential Equations and Applications Cambridge, UK Woodhead Publishing 2011
- Poloskov I. E. Numerical and analytical methods of study of stochastic systems with delay J. Math. Sci. 2018 230 5 746–750
- Poloskov I. E. New scheme for estimation of the first and senior moment functions for the response of linear delay differential system excited by additive and multiplicative noises J. Math. Sci. 2020 246 4 525–539
- Shakourifar M., Enright W. H. Reliable approximate solution of systems of Volterra integro-differential equations with time-dependent delays SIAM J. Sci. Comput. 2011 33 3 1134–1158
- Zhang Ch. A class of new Pouzet–Runge–Kutta type methods for nonlinear functional integrodifferential equations Abstr. Appl. Anal. 2012 21