Equations for covariance functions of the state vector of a linear system of stochastic differential equations with finite concentrated and distributed delays

Full Text

1. Введение

Динамические системы с наличием запаздывания (или последействия) используются для описания поведения широкого круга объектов и явлений в технике, природе и обществе. Одним из основных математических инструментов описания поведения таких объектов и явлений являются системы дифференциальных уравнений, которые в зависимости от типов уравнений, форм последействия и наличия возмущений могут быть линейными или нелинейными, детерминированными или стохастическими, обыкновенными или в частных производных, дифференциальными (сосредоточенные запаздывания) или интегро-дифференциальными (распределенные запаздывания) уравнениями, в том числе нейтрального типа, или смешанными.

Можно заметить, что в последние десятилетия интерес к изучению поведения и созданию удобных инструментов количественного анализа таких систем неуклонно растет. Современный этап развития теории дифференциальных уравнений с запаздыванием — учет влияния случайных возмущений, а как следствие, более широкое обращение к соответствующим моделям (см. [9, 14, 15]). К их числу относится семейство стохастических обыкновенных (интегро-)дифференциальных уравнений (СОИДУ, СОДУ) с конечными сосредоточенными и распределенными запаздываниями и случайными возмущениями.

Методы приближенного решения детерминированных аналогов систем уравнений рассматриваемого типа включают:

• $\theta$-метод (см. [12]) для модели

$\frac{dx}{dt}=\lambda x\left(t\right)+\mu x\left(t-\tau \right)+\underset{t-\tau }{\overset{t}{\int }}x\left(s\right) ds;$                                  

• метод спектральных элементов [13] для

$\frac{dx}{dt}=f\left(t,x\left(t\right),\underset{0}{\overset{\tau }{}}K\left(t,s\right) x\left(t-s\right) ds\right);$                                   

• метод Рунге – Кутты [18] для системы уравнений

 $x_{1\text{'}}\left(t\right)=x_1\left(t\right) \left[{ϵ}_1-{\gamma }_1 x_2\left(t\right)-\underset{t-\tau }{\overset{t}{{\int }_{}}}{F}_1\left(t-s\right) x_2\left(s\right) ds\right],$                    

$x_{2\text{'}}\left(t\right)=x_2\left(t\right) \left[-{ϵ}_2+{\gamma }_1 x_1\left(t\right)+\underset{t-\tau }{\overset{t}{{\int }_{}}}{F}_2\left(t-s\right) x_1\left(s\right) ds\right];$                   

• метод Рунге – Кутты – Пуазе (см. [19]) для уравнения

$\frac{d}{dt}\left[x\left(t\right)-\underset{t-\tau }{\overset{t}{{\int }_{}}}g\left(t,s,x\left(s\right)\right) ds\right]=f\left(t,x\left(t\right),x\left(t-\tau \right)\right);$                       

• метод коллокаций со сплайнами [8] для модели

$\frac{dx}{dt}=f\left(t,x\left(t\right),x\left(t-\tau \right),\underset{t-\tau }{\overset{t}{{\int }_{}}}g\left(t,s x\left(s\right)\right) ds\right)$                              

и др.

Для анализа систем уравнений рассматриваемого типа применяются стохастические аналоги перечисленных методов, а также методы Эйлера – Маруямы [11], $\theta$-Маруямы [5], Мильштейна [4], полунеявный метод Эйлера [7] и др., причем, как правило, эти схемы предназначены для расчета отдельных приближенных траекторий соответствующих случайных процессов.

Целью представленного в данной работе метода является вычисление статистических характеристик решений линейных СОИДУ. Для построения необходимых для этого обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) без запаздывания, как и в ряде наших предыдущих работ [2, 16, 17], используется схема, сочетающая расширение пространства состояний и идеологию классического метода шагов. При этом для получения искомых характеристик в модификацию схемы определения последовательности пространств состояний увеличивающейся размерности и соответствующих векторов состояния, кроме распространения на новый класс моделей, включена процедура построения объединенной системы ОДУ без запаздывания для компонент последовательности векторов функций математического ожидания $m_X\left(\underset{\_}{t}\right)$, матриц функций ковариации ${\mathcal{K}}_{XX}\left(\underset{\_}{t}\right)$ и матриц ковариационных функций ${\mathcal{C}}_{XX}\left(\underset{\_}{t},\underset{\_}{s}\right)$ расширенных векторов состояния.

2. Постановка задачи

Рассмотрим линейную систему СОИДУ с конечными сосредоточенными и распределенными запаздываниями и случайными возмущениями следующего вида:

$dX\left(t\right)=\left[\mathcal{A}\left(t\right) X\left(t\right)+\mathcal{R}\left(t\right) X\left(t-\tau \right)+\underset{t-\tau }{\overset{t}{}}\mathcal{Q}\left(\theta \right) X\left(\theta \right) d\theta +c\left(t\right)\right] dt+\mathcal{H}\left(t\right) dW\left(t\right),$ (1)

$t_1<t\le T<\infty ,$                                                      

где t  — время; $0<\tau <\infty$  — постоянное запаздывание; $X={\{X_1,X_2,\dots ,X_n\}}^{⊺}\in {ℝ}^n$  — вектор состояния; $W={\{W_1,W_2,\dots ,W_m\}}^{⊺}\in {ℝ}^m$  — вектор независимых случайных стандартных винеровских процессов; $n,m\in \mathbb{N}$; T  — символ транспонирования векторов и матриц.

Предположим, что на полуинтервале $\left(t_0,t_1\right]$ случайный вектор состояния $X\left(t\right)$ удовлетворяет системе стохастических обыкновенных дифференциальных уравнений (СОДУ) Ито без запаздывания:

$dX\left(t\right)=\left[{\mathcal{A}}_0\left(t\right) X\left(t\right)+c_0\left(t\right)\right] dt+{\mathcal{H}}_0\left(t\right) dW\left(t\right), X\left(t_0\right)=X^0,$ (2)

причем в системах уравнений (1) и (2) $\mathcal{A}\left(t\right)$, $\mathcal{R}\left(t\right)$, $\mathcal{Q}\left(t\right)$, $\mathcal{H}\left(t\right)$, ${\mathcal{A}}_0\left(t\right)$, ${\mathcal{H}}_0\left(t\right)$ и $c\left(t\right)$, $c_0\left(t\right)$  — известные непрерывные матричные и векторные функции. Кроме того, предположим, что известны все необходимые числовые характеристики случайного вектора $X^0$. В частности, пусть в начальный момент времени $t_0$ для вектора $X\left(t\right)$ заданы вектор математических ожиданий $m_X^0$ и матрица ковариаций ${\mathcal{K}}_{XX}^0$.

Уравнения в форме (1) применяются при анализе динамики управляемых объектов (см. [1, 6]), плюрипотентных гемопоэтических стволовых клеток (см. [3]), рекламной деятельности (см. [10]) и др.

Основная задача состоит в построении системы ОДУ без запаздывания для компонент матрицы ковариационных функций ${\mathcal{C}}_{XX}\left(\underset{\_}{t},\underset{\_}{s}\right)$ стохастического вектора состояния $X\left(t\right)$ при любом $t>t_0$.

Отметим, что входящие в системы (1) и (2) шумы аддитивные, а следовательно, СОДУ Ито и Стратоновича имеют одну и ту же форму.

3. Построение расширенной системы СОДУ без запаздывания

Прежде, чем представить детали схемы, для компактности изложения перепишем уравнения (1) и (2) в менее строгой, но более удобной следующей форме:

$\dot{X}\left(t\right)=\mathcal{A}\left(t\right) X\left(t\right)+\mathcal{R}\left(t\right) X\left(t-\tau \right)+\underset{t-\tau }{\overset{t}{{\int }_{}}}\mathcal{Q}\left(\theta \right) X\left(\theta \right) d\theta +c\left(t\right)+\mathcal{H}\left(t\right) V\left(t\right), t>t_1,$ (3)

$\dot{X}\left(t\right)={\mathcal{A}}_0\left(t\right) X\left(t\right)+c_0\left(t\right)+{\mathcal{H}}_0\left(t\right) V\left(t\right), t\in \left(t_0,t_1\right], X\left(t_0\right)=X^0,$ (4)

где $V={\{V_1,V_2,\dots ,V_m\}}^{⊺}\in {ℝ}^m$  — вектор независимых стандартных белых шумов: $\mathbb{E}\left[V_k\left(\underset{\_}{t}\right)\right]=0$, $\mathbb{E}\left[V_k\left(\underset{\_}{t}\right) V_{\mathcal{l}}\left(\underset{\_}{s}\right)\right]=2 \pi {\delta }_{k\mathcal{l}} \delta \left(\underset{\_}{t}-\underset{\_}{s}\right)$; $\mathbb{E}\left[\cdot \right]$  — оператор математического ожидания; ${\delta }_{k\mathcal{l}}$  — символ Кронекера; $\delta \left(\cdot \right)$  — дельта-функция Дирака.

Введем равномерную временную сетку $t_q=t_0+q\cdot \tau$ , q = 0, 1, 2,..., N, $N+1$ ($t_{N+1}\ge T$); новую временную переменную $s\in \left[\mathrm{0,}\tau \right]$. Введем также следующие обозначения:

$s_q=s+t_q, {\text{Δ}}_q=\left(t_q,t_{q+1}\right], X_q\left(s\right)=X\left(s_q\right), X_q\left(0\right)=X_{q-1}\left(\tau \right),$              

$V_q\left(s\right)=V\left(s_q\right), V_q\left(0\right)=V_{q-1}\left(\tau \right), U_q\left(s\right)=\underset{0}{\overset{s}{{\int }_{}}}\mathcal{Q}\left({\theta }_q\right) X_q\left(\theta \right) d\theta ,$              

${\theta }_q=\theta +t_q, {{\rm Y}}_q\left(s\right)\equiv {{\rm Y}}_q=U_{q-1}\left(\tau \right), q>\mathrm{0,} Y\left(s\right)\equiv Y=X^0,$                

${\mathcal{A}}_0\left(s_0\right)={\mathcal{A}}_0\left(s+t_0\right), {\mathcal{H}}_0\left(s_0\right)={\mathcal{H}}_0\left(s+t_0\right), c_0\left(s_0\right)=c_0\left(s+t_0\right),$           

$\mathcal{A}\left(s_q\right)=\mathcal{A}\left(s+t_q\right), \mathcal{R}\left(s_q\right)=\mathcal{R}\left(s+t_q\right), \mathcal{Q}\left(s_q\right)=\mathcal{Q}\left(s+t_q\right),$                

$\mathcal{H}\left(s_q\right)=\mathcal{H}\left(s+t_q\right), c\left(s_q\right)=c\left(s+t_q\right),$                                  

$col\left(b_1,b_2,\dots ,b_k\right)={(b_{11},\dots ,b_{1n}, b_{21},\dots ,b_{2n}, \dots , b_{k1},\dots ,b_{kn})}^{⊺},$                

где $b_{\mathcal{l}}\in {ℝ}^n$, $\mathcal{l}$ = 1, 2,..., $k$, а равенства случайных векторов почти наверное на границах отрезков ${\overline{∆}}_q$ следуют из стохастической непрерывности рассматриваемых случайных процессов.

Рассмотрим последовательность полуинтервалов (сегментов) ${\text{Δ}}_q$.

0◦. На сегменте ${\text{Δ}}_0$ систему СОДУ для векторного случайного процесса $Z_0^{+}\left(s\right)\equiv Z_0\left(s\right)=col(Y\left(s\right),X_0\left(s\right)$, $U_0\left(s\right))$ и начальные условия представим так:

$\begin{array}{llll}& \dot{Y}\left(s\right)=O_n,& & Y\left(0\right)=X^0,\\ & {\dot{X}}_0\left(s\right)={\mathcal{A}}_0\left(s_0\right) X_0\left(s\right)+c_0\left(s_0\right)+{\mathcal{H}}_0\left(s_0\right) V_0\left(s\right),& & X_0\left(0\right)=X^0,\\ & {\dot{U}}_0\left(s\right)=\mathcal{Q}\left(s_0\right) X_0\left(s\right),& & U_0\left(0\right)=O_n,\end{array}$      

где $O_n$  — нулевой вектор размерности n.

1◦. Построим расширенный вектор $Z_1^{+}\left(s\right)=col\left(Z_0\left(s\right),Z_1\left(s\right)\right)$, где $Z_1\left(s\right)=col({{\rm Y}}_1\left(s\right),X_1\left(s\right)$, $U_1\left(s\right))$. Этот вектор, определенный на полуинтервалах ${\text{Δ}}_0$ и ${\text{Δ}}_1$, будет удовлетворять системе СОДУ (5), к которой добавлены уравнения

$\begin{array}{llll}& {\dot{{\rm Y}}}_1\left(s\right)=O_n,& & {{\rm Y}}_1\left(0\right)=U_0\left(\tau \right),\\ & {\dot{X}}_1\left(s\right)=\mathcal{A}\left(s_1\right) X_1\left(s\right)+\mathcal{R}\left(s_1\right) X_0\left(s\right)+{{\rm Y}}_1\left(s\right)-U_0\left(s\right)+& & \\ & +U_1\left(s\right)+c\left(s_1\right)+\mathcal{H}\left(s_1\right) V_1\left(s\right),& & X_1\left(0\right)=X_0\left(\tau \right),\\ & {\dot{U}}_1\left(s\right)=\mathcal{Q}\left(s_1\right) X_1\left(s\right),& & U_1\left(0\right)=O_n.\end{array}$ (5)

В этих уравнениях учтено, что для $t\in \left(t_1,t_2\right]$ 

$\underset{t-\tau }{\overset{t}{{\int }_{}}}\mathcal{Q}\left(\theta \right) X\left(\theta \right) d\theta =\underset{t-\tau }{\overset{t_1}{{\int }_{}}}\mathcal{Q}\left(\theta \right) X\left(\theta \right) d\theta +\underset{t_1}{\overset{t}{{\int }_{}}}\mathcal{Q}\left(\theta \right) X\left(\theta \right) d\theta =$            

$=\underset{t_0}{\overset{t_1}{{\int }_{}}}\mathcal{Q}\left(\theta \right) X\left(\theta \right) d\theta -\underset{t_0}{\overset{t-\tau }{{\int }_{}}}\mathcal{Q}\left(\theta \right) X\left(\theta \right) d\theta +\underset{t_1}{\overset{t}{{\int }_{}}}\mathcal{Q}\left(\theta \right) X\left(\theta \right) d\theta =$             

$=U_0\left(\tau \right)-\underset{0}{\overset{s}{{\int }_{}}}\mathcal{Q}\left({\theta }_0\right) X_0\left(\theta \right) d\theta +\underset{0}{\overset{s}{{\int }_{}}}\mathcal{Q}\left({\theta }_1\right) X_1\left(\theta \right) d\theta ={{\rm Y}}_1\left(s\right)-U_0\left(s\right)+U_1\left(s\right).$

N◦. Продолжая подобным образом, заключаем, что вектор $Z_N^{+}\left(s\right)=col\left(Z_0\left(s\right),Z_1\left(s\right),\dots ,Z_N\left(s\right)\right)$, включающий вектор $Z_N\left(s\right)=col\left({{\rm Y}}_N\left(s\right),X_N\left(s\right),U_N\left(s\right)\right)$ и представляющий поведение вектора состояния $X\left(t\right)$ на сегментах ${\text{Δ}}_0$, ${\text{Δ}}_1$,..., ${\text{Δ}}_N$, будет единственным решением системы СОДУ, которую можно получить добавлением к уравнениям для вектора $Z_{N-1}^{+}\left(s\right)$ уравнений следующего вида:

$\begin{array}{llll}& {\dot{{\rm Y}}}_N\left(s\right)=O_n,& & {{\rm Y}}_N\left(0\right)=U_{N-1}\left(\tau \right),\\ & {\dot{X}}_N\left(s\right)=\mathcal{A}\left(s_N\right) X_N\left(s\right)+\mathcal{R}\left(s_N\right) X_{N-1}\left(s\right)+{{\rm Y}}_N\left(s\right)-& & \\ & -U_{N-1}\left(s\right)+U_N\left(s\right)+c\left(s_N\right)+\mathcal{H}\left(s_N\right) V_N\left(s\right),& & X_N\left(0\right)=X_{N-1}\left(\tau \right),\\ & {\dot{U}}_N\left(s\right)=\mathcal{Q}\left(s_N\right) X_N\left(s\right),& & U_N\left(0\right)=O_n.\end{array}$ (6)

В результате первого этапа получена искомая цепочка систем линейных СОДУ (5)–(6) для расширенных векторов состояния $Z_0^{+}$, $Z_1^{+}$,..., $Z_N^{+}$ увеличивающейся размерности и подобной структуры без запаздывания, которая используется на следующем этапе для построения моментных уравнений.

4. Построение систем ОДУ для функций математического ожидания и ковариации

Воспользуемся построенной последовательностью для получения ОДУ для первых моментов векторов $Z_0^{+}$, $Z_1^{+}$,..., $Z_N^{+}$. Рассмотрим k-й шаг ($0\le k\le N$) и введем расширенные матрицы ${\mathcal{A}}_k^{+}\left(s\right)$, ${\mathcal{H}}_k^{+}\left(s\right)$ и векторы $c_k^{+}\left(s\right)$, которые имеют блочную структуру и формируются следующим образом (l = 1, 2,..., k):

${\underset{\_}{\mathcal{A}}}_0\left(s\right)=\left[\begin{array}{lll}{\mathcal{O}}_{n\times n}& {\mathcal{O}}_{n\times n}& {\mathcal{O}}_{n\times n}\\ {\mathcal{O}}_{n\times n}& {\mathcal{A}}_0\left(s_0\right)& {\mathcal{O}}_{n\times n}\\ {\mathcal{O}}_{n\times n}& \mathcal{Q}\left(s_0\right)& {\mathcal{O}}_{n\times n}\end{array}\right]\text{}; {\underset{\_}{\mathcal{A}}}_{\mathcal{l}}\left(s\right)=\left[\begin{array}{lll}{\mathcal{O}}_{n\times n}& {\mathcal{O}}_{n\times n}& {\mathcal{O}}_{n\times n}\\ {\mathcal{I}}_n& \mathcal{A}\left(s_{\mathcal{l}}\right)& {\mathcal{I}}_n\\ {\mathcal{O}}_{n\times n}& \mathcal{Q}\left(s_{\mathcal{l}}\right)& {\mathcal{O}}_{n\times n}\end{array}\right]\text{}; {\underset{\_}{c}}_0\left(s\right)=\left[\begin{array}{l}{O}_n\\ c_0\left(s_0\right)\\ O_n\end{array}\right]\text{};$

${\underset{\_}{c}}_{\mathcal{l}}\left(s\right)=\left[\begin{array}{l}{O}_n\\ c\left(s_{\mathcal{l}}\right)\\ O_n\end{array}\right]\text{}; {\underset{\_}{\mathcal{H}}}_0\left(s\right)=\left[\begin{array}{l}{\mathcal{O}}_{n\times m}\\ {\mathcal{H}}_0\left(s_0\right)\\ {\mathcal{O}}_{n\times m}\end{array}\right]\text{}; {\underset{\_}{\mathcal{H}}}_{\mathcal{l}}\left(s\right)=\left[\begin{array}{l}{\mathcal{O}}_{n\times m}\\ \mathcal{H}\left(s_{\mathcal{l}}\right)\\ {\mathcal{O}}_{n\times m}\end{array}\right]\text{}; {\underset{\_}{\mathcal{B}}}_{\mathcal{l}}\left(s\right)=\left[\begin{array}{lll}{\mathcal{O}}_{n\times n}& {\mathcal{O}}_{n\times n}& {\mathcal{O}}_{n\times n}\\ {\mathcal{O}}_{n\times n}& \mathcal{R}\left(s_{\mathcal{l}}\right)& -{\mathcal{I}}_n\\ {\mathcal{O}}_{n\times n}& {\mathcal{O}}_{n\times n}& {\mathcal{O}}_{n\times n}\end{array}\right]\text{};$

${\mathcal{A}}_0^{+}\left(s\right)={\underset{\_}{\mathcal{A}}}_0\left(s\right); {\mathcal{A}}_1^{+}\left(s\right)=\left[\begin{array}{ll}{\underset{\_}{\mathcal{A}}}_0\left(s\right)& {\mathcal{O}}_{3n\times 3n}\\ {\underset{\_}{\mathcal{B}}}_1\left(s\right)& {\underset{\_}{\mathcal{A}}}_1\left(s\right)\end{array}\right]\text{}; {\mathcal{A}}_{\mathcal{l}}^{+}\left(s\right)=\left[\begin{array}{ll}{\mathcal{A}}_{\mathcal{l}-1}^{+}\left(s\right)& {\mathcal{O}}_{3n\mathcal{l}\times 3n}\\ {\mathcal{B}}_{\mathcal{l}}^{+}\left(s\right)& {\underset{\_}{\mathcal{A}}}_{\mathcal{l}}\left(s\right)\end{array}\right]\text{}; c_0^{+}\left(s\right)={\underset{\_}{c}}_0\left(s\right);$

$c_1^{+}\left(s\right)=\left[\begin{array}{l}{\underset{\_}{c}}_0\left(s\right)\\ {\underset{\_}{c}}_1\left(s\right)\end{array}\right]\text{}; c_{\mathcal{l}}^{+}\left(s\right)=\left[\begin{array}{l}{c}_{\mathcal{l}-1}^{+}\left(s\right)\\ {\underset{\_}{c}}_{\mathcal{l}}(s\end{array}\right]\text{}; {\mathcal{B}}_1^{+}\left(s\right)={\underset{\_}{\mathcal{B}}}_1\left(s\right); {\mathcal{B}}_{\mathcal{l}}^{+}\left(s\right)=\left[\begin{array}{ll}{\mathcal{O}}_{3n\times 3n\left(\mathcal{l}-1\right)}& {\underset{\_}{\mathcal{B}}}_{\mathcal{l}}\left(s\right)\end{array}\right]\text{};$

${\mathcal{H}}_0^{+}\left(s\right)={\underset{\_}{\mathcal{H}}}_0\left(s\right); {\mathcal{H}}_1^{+}\left(s\right)=\left[\begin{array}{ll}{\underset{\_}{\mathcal{H}}}_0\left(s\right)& {\mathcal{O}}_{3n\times m}\\ {\mathcal{O}}_{3n\times m}& {\underset{\_}{\mathcal{H}}}_1\left(s\right)\end{array}\right]\text{}; \dots {\mathcal{H}}_{\mathcal{l}}^{+}\left(s\right)=\left[\begin{array}{ll}{\mathcal{H}}_{\mathcal{l}-1}^{+}\left(s\right)& {\mathcal{O}}_{3n\mathcal{l}\times m}\\ {\mathcal{O}}_{3n\times m\mathcal{l}}& {\underset{\_}{\mathcal{H}}}_{\mathcal{l}}\left(s\right)\end{array}\right]\text{};$  

$V_0^{+}\left(s\right)=V_0\left(s\right); V_1^{+}\left(s\right)=\left[\begin{array}{l}{V}_0\left(s\right)\\ V_1\left(s\right)\end{array}\right]\text{}; \dots V_{\mathcal{l}}^{+}\left(s\right)\left[\begin{array}{l}{V}_{\mathcal{l}-1}^{+}\left(s\right)\\ V_{\mathcal{l}}\left(s\right)\end{array}\right]\text{},$                     

где ${\mathcal{O}}_{n\times m}$  — нулевая $n\times m$-матрица, ${\mathcal{I}}_n$  — единичная матрица n-го порядка. Тогда система СОДУ для вектора $Z_k$ будет иметь вид:

${\dot{Z}}_k^{+}\left(s\right)={\mathcal{A}}_k^{+}\left(s\right) Z_k^{+}\left(s\right)+c_k^{+}\left(s\right)+{\mathcal{H}}_k^{+}\left(s\right) V_k^{+}\left(s\right), Z_k^{+}\left(0\right)=Z_k^{+0}.$ (7)

Несложно увидеть, что вследствие линейности уравнений (7) для любого $Z_k^{+}$, k = 0, 1,..., N, структуры ОДУ для последовательности векторов функций математического ожидания $m_{Z_k^{+}}\left(s\right)$ и матриц функций ковариации ${\mathcal{K}}_{Z_k^{+}{Z}_k^{+}}\left(s\right)$ будут иметь вид:

${\dot{m}}_{Z_k^{+}}\left(s\right)={\mathcal{A}}_k^{+}\left(s\right) m_{Z_k^{+}}\left(s\right)+c_k^{+}\left(s\right),$ (8)

${\dot{\mathcal{K}}}_{Z_k^{+}{Z}_k^{+}}\left(s\right)={\mathcal{A}}_k^{+}\left(s\right) {\mathcal{K}}_{Z_k^{+}{Z}_k^{+}}\left(s\right)+{[{\mathcal{A}}_k^{+}\left(s\right) {\mathcal{K}}_{Z_k^{+}{Z}_k^{+}}\left(s\right)]}^{⊺}+2 \pi {\mathcal{H}}_k^{+}\left(s\right) {\mathcal{H}}_k^{+⊺}\left(s\right),$ (9)

 где

$m_{Z_k^{+}}\left(s\right)=\mathbb{E}\left[Z_k^{+}\left(s\right)\right], {\mathcal{K}}_{Z_k^{+}{Z}_k^{+}}\left(s\right)=\mathbb{E}\left[\left\{Z_k^{+}\left(s\right)-m_{Z_k^{+}}\left(s\right)\right\}{\{Z_k^{+}\left(s\right)-m_{Z_k^{+}}\left(s\right)\}}^{⊺}\right].$   

Теперь определим вид начальных условий для построенных ОДУ:

$m_{Z_0}\left(0\right)=\left[\begin{array}{l}{m}_X^0\\ m_X^0\\ O_n\end{array}\right]\text{}, m_{Z_1}\left(0\right)=\left[\begin{array}{l}{m}_{U_0}\left(\tau \right)\\ m_{X_0}\left(\tau \right)\\ O_n\end{array}\right]\text{}, \dots m_{Z_k}\left(0\right)=\left[\begin{array}{l}{m}_{U_{k-1}}\left(\tau \right)\\ m_{X_{k-1}}\left(\tau \right)\\ O_n\end{array}\right]\text{};$               

${\mathcal{K}}_{Z_0{Z}_0}\left(0\right)=\left[\begin{array}{lll}{\mathcal{K}}_{XX}^0& {\mathcal{K}}_{XX}^0& {\mathcal{O}}_{n\times n}\\ {\mathcal{K}}_{XX}^0& {\mathcal{K}}_{XX}^0& {\mathcal{O}}_{n\times n}\\ {\mathcal{O}}_{n\times n}& {\mathcal{O}}_{n\times n}& {\mathcal{O}}_{n\times n}\end{array}\right]\text{}; {\mathcal{K}}_{Z_0{Z}_1}\left(0\right)={\mathcal{K}}_{Z_1{Z}_0}^{⊺}\left(0\right)=\left[\begin{array}{lll}{\mathcal{K}}_{Y{U}_0}\left(\tau \right)& {\mathcal{K}}_{Y{X}_0}\left(\tau \right)& {\mathcal{O}}_{n\times n}\\ {\mathcal{K}}_{Y{U}_0}\left(\tau \right)& {\mathcal{K}}_{Y{X}_0}\left(\tau \right)& {\mathcal{O}}_{n\times n}\\ {\mathcal{O}}_{n\times n}& {\mathcal{O}}_{n\times n}& {\mathcal{O}}_{n\times n}\end{array}\right]\text{};$

${\mathcal{K}}_{Z_1{Z}_1}\left(0\right)=\left[\begin{array}{lll}{\mathcal{K}}_{U_0{U}_0}\left(\tau \right)& {\mathcal{K}}_{U_0{X}_0}\left(\tau \right)& {\mathcal{O}}_{n\times n}\\ {\mathcal{K}}_{X_0{U}_0}\left(\tau \right)& {\mathcal{K}}_{X_0{X}_0}\left(\tau \right)& {\mathcal{O}}_{n\times n}\\ {\mathcal{O}}_{n\times n}& {\mathcal{O}}_{n\times n}& {\mathcal{O}}_{n\times n}\end{array}\right]\text{};$                                  

${\mathcal{K}}_{Z_0{Z}_k}\left(0\right)={\mathcal{K}}_{Z_k{Z}_0}^{⊺}\left(0\right)=\left[\begin{array}{lll}{\mathcal{K}}_{Y{U}_{k-1}}\left(\tau \right)& {\mathcal{K}}_{Y{X}_{k-1}}\left(\tau \right)& {\mathcal{O}}_{n\times n}\\ {\mathcal{K}}_{Y{U}_{k-1}}\left(\tau \right)& {\mathcal{K}}_{Y{X}_{k-1}}\left(\tau \right)& {\mathcal{O}}_{n\times n}\\ {\mathcal{O}}_{n\times n}& {\mathcal{O}}_{n\times n}& {\mathcal{O}}_{n\times n}\\ & & \end{array}\right]\text{};$                                            

${\mathcal{K}}_{Z_{\mathcal{l}}{Z}_k}\left(0\right)={\mathcal{K}}_{Z_k{Z}_{\mathcal{l}}}^{⊺}\left(0\right)=\left[\begin{array}{lll}{\mathcal{K}}_{U_{\mathcal{l}-1}{U}_{k-1}}\left(\tau \right)& {\mathcal{K}}_{U_{\mathcal{l}-1}{X}_{k-1}}\left(\tau \right)& {\mathcal{O}}_{n\times n}\\ {\mathcal{K}}_{X_{\mathcal{l}-1}{U}_{k-1}}\left(\tau \right)& {\mathcal{K}}_{X_{\mathcal{l}-1}{X}_{k-1}}\left(\tau \right)& {\mathcal{O}}_{n\times n}\\ {\mathcal{O}}_{n\times n}& {\mathcal{O}}_{n\times n}& {\mathcal{O}}_{n\times n}\end{array}\right]\text{}, 1\le \mathcal{l}\le k-1;$                         

${\mathcal{K}}_{Z_k{Z}_k}\left(0\right)=\left[\begin{array}{lll}{\mathcal{K}}_{U_{k-1}{U}_{k-1}}\left(\tau \right)& {\mathcal{K}}_{U_{k-1}{X}_{k-1}}\left(\tau \right)& {\mathcal{O}}_{n\times n}\\ {\mathcal{K}}_{X_{k-1}{U}_{k-1}}\left(\tau \right)& {\mathcal{K}}_{X_{k-1}{X}_{k-1}}\left(\tau \right)& {\mathcal{O}}_{n\times n}\\ {\mathcal{O}}_{n\times n}& {\mathcal{O}}_{n\times n}& {\mathcal{O}}_{n\times n}\end{array}\right]\text{}.$           

Вследствие того, что вектор функций математического ожидания $m_X\left(t\right)$ и матрицу функций ковариации ${\mathcal{K}}_{XX}\left(t\right)$ на промежутке $t_0\le t\le t_{N+1}$ можно собрать из соответствующих блоков векторной функции $m_{Z_N}\left(s\right)$ и матричной функции ${\mathcal{K}}_{Z_N{Z}_N}\left(s\right)$, достаточно вычислить последние, а затем выбрать из них необходимые элементы.

5. Формирование систем ОДУ для ковариационных функций

Обратимся к главной цели исследования  — построению системы ОДУ для расчета компонент матрицы ковариационных функций

${\mathcal{C}}_{XX}\left(\overline{t},\overline{s}\right)=\mathbb{E}\left[\left\{X\left(\overline{t}\right)-m\left(\overline{t}\right)\right\}{\{X\left(\overline{s}\right)-m\left(\overline{s}\right)\}}^{⊺}\right]$                           

случайного вектора состояния $X\left(\cdot \right)$ ($t_0\le \overline{s}\le \overline{t}\le T$). В процессе этого построения будут использоваться те же системы СОДУ (5)–(6), (7)–(9).

0-0◦. Рассмотрим нижнюю правую часть области ${\mathbb{D}}_{00}$ (рис. 1): $t_0\le \overline{s}\le \overline{t}\le t_1$ ($\overline{t}=\underset{\_}{t}+t_0$, $\overline{s}=\underset{\_}{s}+t_0$, $0\le \underset{\_}{s}\le \underset{\_}{t}\le \tau$). В этой части $X\left(\overline{t}\right)$  — подвектор вектора $Z_0\left(\overline{t}\right)$, а следовательно, с учетом уравнений (7), (8) будем иметь:

$\frac{\partial {\mathcal{C}}_{Z_0{Z}_0}\left(\underset{\_}{t},\underset{\_}{s}\right)}{\partial \underset{\_}{t}}\equiv \frac{\partial \mathbb{E}\left[\left\{Z_0\left(\underset{\_}{t}\right)-m_{Z_0}\left(\underset{\_}{t}\right)\right\}{\{Z_0\left(\underset{\_}{s}\right)-m_{Z_0}\left(\underset{\_}{s}\right)\}}^{⊺}\right]}{\partial \underset{\_}{t}}=$            

$=\mathbb{E}\left[\frac{\partial \left\{Z_0\left(\underset{\_}{t}\right)-m_{Z_0}\left(\underset{\_}{t}\right)\right\}}{\partial \underset{\_}{t}} {\{Z_0\left(\underset{\_}{s}\right)-m_{Z_0}\left(\underset{\_}{s}\right)\}}^{⊺}\right]=$                            

$=\mathbb{E}\left[\left\{{\underset{\_}{\mathcal{A}}}_0\left(\underset{\_}{t}\right) \left[Z_0\left(\underset{\_}{t}\right)-m_{Z_0}\left(\underset{\_}{t}\right)\right]+{\underset{\_}{\mathcal{H}}}_0\left(\underset{\_}{t}\right) V_0\left(\underset{\_}{t}\right)\right\} {\{Z_0\left(\underset{\_}{s}\right)-m_{Z_0}\left(\underset{\_}{s}\right)\}}^{⊺}\right],$           

 или

$\frac{\partial {\mathcal{C}}_{Z_0{Z}_0}\left(\underset{\_}{t},\underset{\_}{s}\right)}{\partial \underset{\_}{t}}={\underset{\_}{\mathcal{A}}}_0\left(\underset{\_}{t}\right) {\mathcal{C}}_{Z_0{Z}_0}\left(\underset{\_}{t},\underset{\_}{s}\right), \underset{\_}{s}<\underset{\_}{t},$ (10)

 с начальными условиями ${\mathcal{C}}_{Z_0{Z}_0}\left(\underset{\_}{s},\underset{\_}{s}\right)={\mathcal{K}}_{Z_0{Z}_0}\left(\underset{\_}{s}\right)$.

Рис. 1

1-0◦. Теперь рассмотрим область ${\mathbb{D}}_{10}$ (рис. 1): $t_1<\overline{t}\le t_2$, $t_0\le \overline{s}\le t_1$. В этой области получим следующие уравнения:

$\frac{\partial {\mathcal{C}}_{Z_1{Z}_0}\left(\underset{\_}{t},\underset{\_}{s}\right)}{\partial \underset{\_}{t}}\equiv \frac{\partial \mathbb{E}\left[\left\{Z_1\left(\underset{\_}{t}\right)-m_{Z_1}\left(\underset{\_}{t}\right)\right\}{\{Z_0\left(\underset{\_}{s}\right)-m_{Z_0}\left(\underset{\_}{s}\right)\}}^{⊺}\right]}{\partial \underset{\_}{t}}=$            

$=\mathbb{E}\left[\frac{\partial \left\{Z_1\left(\underset{\_}{t}\right)-m_{Z_1}\left(\underset{\_}{t}\right)\right\}}{\partial \underset{\_}{t}} {\{Z_0\left(\underset{\_}{s}\right)-m_{Z_0}\left(\underset{\_}{s}\right)\}}^{⊺}\right]=$                            

$=\mathbb{E}\left[\left\{{\underset{\_}{\mathcal{B}}}_1\left(\underset{\_}{t}\right) \left[Z_0\left(\underset{\_}{t}\right)-m_{Z_0}\left(\underset{\_}{t}\right)\right]+{\underset{\_}{\mathcal{A}}}_1\left(\underset{\_}{t}\right) \left[Z_1\left(\underset{\_}{t}\right)-m_{Z_1}\left(\underset{\_}{t}\right)\right]+{\underset{\_}{\mathcal{H}}}_1\left(\underset{\_}{t}\right) V_1\left(\underset{\_}{t}\right)\right\} {\{Z_0\left(\underset{\_}{s}\right)-m_{Z_0}\left(\underset{\_}{s}\right)\}}^{⊺}\right],$

или

$\frac{\partial {\mathcal{C}}_{Z_1{Z}_0}\left(\underset{\_}{t},\underset{\_}{s}\right)}{\partial \underset{\_}{t}}={\underset{\_}{\mathcal{B}}}_1\left(\underset{\_}{t}\right) {\mathcal{C}}_{Z_0{Z}_0}\left(\underset{\_}{t},\underset{\_}{s}\right)+{\underset{\_}{\mathcal{A}}}_1\left(\underset{\_}{t}\right) {\mathcal{C}}_{Z_1{Z}_0}\left(\underset{\_}{t},\underset{\_}{s}\right), {\mathcal{C}}_{Z_1{Z}_0}\left(\mathrm{0,}\underset{\_}{s}\right)={\mathcal{C}}_{Z_0{Z}_0}\left(\tau ,\underset{\_}{s}\right).$ (11)

Для полноты расчетных соотношений к этим уравнениям нужно добавить по очереди системы ОДУ

$\frac{\partial {\mathcal{C}}_{Z_0{Z}_0}\left(\underset{\_}{t},\underset{\_}{s}\right)}{\partial \underset{\_}{t}}={\underset{\_}{\mathcal{A}}}_0\left(\underset{\_}{t}\right) {\mathcal{C}}_{Z_0{Z}_0}\left(\underset{\_}{t},\underset{\_}{s}\right), 0<\underset{\_}{t}<\underset{\_}{s}\le \tau , {\mathcal{C}}_{Z_0{Z}_0}\left(\mathrm{0,}\underset{\_}{s}\right)={\mathcal{C}}_{Z_0{Z}_0}^{⊺}\left(\underset{\_}{s}\mathrm{,0}\right)$ (12)

(верхняя левая часть области ${\mathbb{D}}_{00}$) и

$\frac{\partial {\mathcal{C}}_{Z_0{Z}_0}\left(\underset{\_}{t},\underset{\_}{s}\right)}{\partial \underset{\_}{t}}={\underset{\_}{\mathcal{A}}}_0\left(\underset{\_}{t}\right) {\mathcal{C}}_{Z_0{Z}_0}\left(\underset{\_}{t},\underset{\_}{s}\right), 0<\underset{\_}{s}<\underset{\_}{t}\le \tau , {\mathcal{C}}_{Z_0{Z}_0}\left(\underset{\_}{s},\underset{\_}{s}\right)={\mathcal{K}}_{Z_0{Z}_0}\left(\underset{\_}{s}\right)$ (13)

(нижняя правая часть области ${\mathbb{D}}_{00}$).

k-0◦. Продолжая подобным образом, для области ${\mathbb{D}}_{k0}$: $t_k\le \overline{t}\le t_{k+1}$ ($k>1)$, $t_0\le \overline{s}\le t_1$ можно построить уравнения вида

$\frac{\partial {\mathcal{C}}_{Z_k{Z}_0}\left(\underset{\_}{t},\underset{\_}{s}\right)}{\partial \underset{\_}{t}}={\underset{\_}{\mathcal{B}}}_k\left(\underset{\_}{t}\right) {\mathcal{C}}_{Z_{k-1}{Z}_0}\left(\underset{\_}{t},\underset{\_}{s}\right)+{\underset{\_}{\mathcal{A}}}_k\left(\underset{\_}{t}\right) {\mathcal{C}}_{Z_k{Z}_0}\left(\underset{\_}{t},\underset{\_}{s}\right)$ (14)

с начальными условиями ${\mathcal{C}}_{Z_k{Z}_0}\left(\mathrm{0,}\underset{\_}{s}\right)={\mathcal{C}}_{Z_{k-1}{Z}_0}\left(\tau ,\underset{\_}{s}\right)$. Эта система уравнений должна быть пополнена системами ОДУ, построенными для областей ${\mathbb{D}}_{00}$, ${\mathbb{D}}_{10}$,..., ${\mathbb{D}}_{k-\mathrm{1,0}}$.

1-1◦. Передвинемся на следующий временный слой и рассмотрим нижнюю правую нижнюю часть области ${\mathbb{D}}_{11}$: $t_1\le \overline{s}\le \overline{t}\le t_2$ ($\overline{t}=\underset{\_}{t}+t_1$, $\overline{s}=\underset{\_}{s}+t_1$, $0\le \underset{\_}{s}\le \underset{\_}{t}\le \tau$). В этой части $X\left(\overline{t}\right)$  — подвектор вектора $Z_1\left(\overline{t}\right)$, а следовательно, для матрицы ковариационных функций будем иметь:

$\frac{\partial {\mathcal{C}}_{Z_1{Z}_1}\left(\underset{\_}{t},\underset{\_}{s}\right)}{\partial \underset{\_}{t}}\equiv \frac{\partial \mathbb{E}\left[\left\{Z_1\left(\underset{\_}{t}\right)-m_{Z_1}\left(\underset{\_}{t}\right)\right\}{\{Z_1\left(\underset{\_}{s}\right)-m_{Z_1}\left(\underset{\_}{s}\right)\}}^{⊺}\right]}{\partial \underset{\_}{t}}=$            

$=\mathbb{E}\left[\frac{\partial \left\{Z_1\left(\underset{\_}{t}\right)-m_{Z_1}\left(\underset{\_}{t}\right)\right\}}{\partial \underset{\_}{t}} {\{Z_1\left(\underset{\_}{s}\right)-m_{Z_1}\left(\underset{\_}{s}\right)\}}^{⊺}\right]=$                             

$=\mathbb{E}\left[\left\{{\underset{\_}{\mathcal{B}}}_1\left(\underset{\_}{t}\right) \left[Z_0\left(\underset{\_}{t}\right)-m_{Z_0}\left(\underset{\_}{t}\right)\right]+{\underset{\_}{\mathcal{A}}}_1\left(\underset{\_}{t}\right) \left[Z_1\left(\underset{\_}{t}\right)-m_{Z_1}\left(\underset{\_}{t}\right)\right]+{\underset{\_}{\mathcal{H}}}_1\left(\underset{\_}{t}\right) V_1\left(\underset{\_}{t}\right)\right\} {\{Z_1\left(\underset{\_}{s}\right)-m_{Z_1}\left(\underset{\_}{s}\right)\}}^{⊺}\right],$

или

$\frac{\partial {\mathcal{C}}_{Z_1{Z}_1}\left(\underset{\_}{t},\underset{\_}{s}\right)}{\partial \underset{\_}{t}}={\underset{\_}{\mathcal{B}}}_1\left(\underset{\_}{t}\right) {\mathcal{C}}_{Z_0{Z}_1}\left(\underset{\_}{t},\underset{\_}{s}\right)+{\underset{\_}{\mathcal{A}}}_1\left(\underset{\_}{t}\right) {\mathcal{C}}_{Z_1{Z}_1}\left(\underset{\_}{t},\underset{\_}{s}\right), \underset{\_}{s}<\underset{\_}{t},$ (15)

с начальными условиями ${\mathcal{C}}_{Z_1{Z}_1}\left(\underset{\_}{s},\underset{\_}{s}\right)={\mathcal{K}}_{Z_1{Z}_1}\left(\underset{\_}{s}\right)$. К этим уравнениям и условиям нужно добавить необходимые инструменты расчета ${\mathcal{C}}_{Z_0{Z}_1}\left(\underset{\_}{t},\underset{\_}{s}\right)$ в нижней правой части области ${\mathbb{D}}_{10}$ с учетом свойств ковариационных функций.

Замечание Последовательное численное решение ОДУ для функций математического ожидания и ковариации не вызывает проблем, причем группы уравнений для этих функций являются независимыми. Расчет же поведения ковариационных функций более сложен. Алгоритм такого расчета включает следующие шаги: [(1)]

1. дробление запаздывания на целое число частей;
2. построение сетки на плоскости переменных $\left(\underset{\_}{t},\underset{\_}{s}\right)$, в узлах которой и будут вычисляться значения ковариационных функций (это необходимо для их расчета на участках $\left[t_0,\overline{s}\right)$ при различных $\overline{s}$ на основе формирования начальных условий в точках $\left\{t_0,\overline{s}\right\}$ с помощью уже найденных значений в точках $\left\{\overline{s},t_0\right\}$;
3. движение через узлы по прямым, параллельным оси $\underset{\_}{t}$.

 На рис. 2 показаны промежутки интегрирования этих уравнений на отрезке $\left[\underset{\_}{s},\underset{\_}{t}\right]$ для случаев $\underset{\_}{t}-\tau \ge \underset{\_}{s}$ (рис. 2) и $\underset{\_}{t}-\tau <\underset{\_}{s}$ (рис. 2).

Рис. 2

6. Модельный пример

Воспользуемся изложенной схемой для анализа переходного процесса, описываемого модельным уравнением вида

$\dot{X}\left(t\right)+\alpha X\left(t\right)=\beta \left[X\left(t\right)-X\left(t-\tau \right)\right]+\underset{t-\tau }{\overset{t}{{\int }_{}}}q\left(\theta \right) X\left(\theta \right) d\theta +{\sigma }_0 V\left(t\right), t>\mathrm{0,}$        

$\dot{X}\left(t\right)+{\alpha }_0 X\left(t\right)={\sigma }_0 V\left(t\right), -\tau <t\le \mathrm{0,} X\left(-\tau \right)=X^0~\mathcal{N}\left(m_0,D_0\right),$            

где $X^0$  — неслучайная величина; $\alpha >0$, $\beta$, ${\sigma }_0$, ${\alpha }_0>0$, $m_0$, $D^0>0$  — постоянные; $q\left(\theta \right)\ge 0$.

Ниже на рисунках показаны графики функций математического ожидания и среднеквадратичного отклонения ${\sigma }_X\left(t\right)=\sqrt{{\mathcal{D}}_X\left(t\right)}$ (рис. 3) и ковариационной функции в областях ${\mathbb{D}}_{00}$, ${\mathbb{D}}_{10}$,..., ${\mathbb{D}}_{\mathrm{10,0}}$ (рис. 4), построенные на основе результатов расчетов при следующих значениях параметров задачи:

$\tau =1; \alpha =\frac{1}{2}; \beta =\frac{1}{10}; {\sigma }_0=\frac{1}{10};m_0=1; {\mathcal{D}}_0=\frac{1}{16}; q=\frac{1}{20\tau },$                

где $\mathcal{D}$  — дисперсия.

Рис. 3

Рис. 4

About the authors

I. E. Poloskov

Author for correspondence.
Email: poloskov@psu.ru
Russian Federation, Пермь

References

Supplementary files

Supplementary Files

Action

1. JATS XML

Download

2. Fig. 1

Download (171KB)

Indexing metadata

3. Fig. 2

Download (115KB)

Indexing metadata

4. Fig. 3

Download (111KB)

Indexing metadata

5. Fig. 4

Download (164KB)

Indexing metadata