Boussinesq integro-differential equation with integral conditions and a small coefficient of mixed derivatives

Full Text

1. Постановка задачи. Математическое моделирование многих процессов, происходящих в реальном мире, приводит к изучению смешанных и краевых задач для уравнений в частных производных. Поэтому теория смешанных задач в настоящее время является одним из важнейших разделов теории дифференциальных уравнений. Изучение многих задач газовой динамики, теории упругости, теории пластин и оболочек приводит к рассмотрению дифференциальных уравнений в частных производных высоких порядков. Исследованию краевых задач для дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений в частных производных посвящено большое количество публикаций (см. [1–4, 8, 15, 17]). В случаях, когда граница области протекания физического процесса недоступна для измерений, в качестве дополнительной информации, достаточной для однозначной разрешимости задачи, могут служить нелокальные условия в интегральной форме. Такие нелокальные задачи рассматривались в работах многих авторов (см. [6, 9, 18, 19]). При исследовании дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений в частных производных часто применяется метод разделения переменных (см. [10–14, 16, 20, 22, 23]). Отметим, что интегро-дифференциальные уравнения в частных производных с вырожденным ядром рассматривались в работах многих авторов (см. [5, 7, 24, 25, 27–30]).

В данной работе при помощи метода вырожденного ядра доказана однозначная разрешимость нелокальной краевой задачи для трехмерного линейного интегро-дифференциального уравнения Буссинеска высокого порядка с вырожденным ядром и общими интегральными условиями в трехмерной области $\Omega =\left\{\right(t,x,y):0<t<\beta ,0<x,y<l\}$. С помощью метода рядов Фурье, основанного на разделении переменных, получена счетная система линейных интегральных уравнений Фредгольма.

Рассмотрим интегро-дифференциальное уравнение вида

$\left[\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}-\left(\epsilon \frac{{\partial }^{2k+2}}{\partial t^2\partial x^{2k}}+\epsilon \frac{{\partial }^{2k+2}}{\partial t^2\partial y^{2k}}+\frac{{\partial }^{2k}}{\partial x^{2k}}+\frac{{\partial }^{2k}}{\partial y^{2k}}\right)\right]U(t,x,y)=$

$=\nu \underset{0}{\overset{\beta }{\int }}K(t,s)U(s,x,y)ds+f\left(t\right)\underset{0}{\overset{\beta }{\int }}U(\theta ,x,y)d\theta ,$ (1)

где $k\in \mathbb{N}$, $\beta$ и $l$ — заданные положительные действительные числа, $\nu$ — действительный параметр, отличный от нуля, $\epsilon$ — малый положительный параметр, $f\left(t\right)\in C[0;\beta ]$,

$0\ne K(t,s)=\sum _{i=1}^k{a}_i\left(t\right)b_i\left(s\right),$

$a_i\left(t\right),b_i\left(s\right)\in C[0;\beta ]$. Здесь предполагается, что система функций ${\left\{a_i\right(t\left)\right\}}_{i=1}^k$ и система функций ${\left\{b_i\right(s\left)\right\}}_{i=1}^k$ являются линейно независимыми в совокупности.

Интегро-дифференциальное уравнение (1) будем рассматривать при нелокальных интегральных условиях

$U(\mathrm{0,}x,y)+\underset{0}{\overset{\beta }{\int }}U(t,x,y)dt=\phi (x,y),0\le x,y\le l,$ (2)

$U_t(\mathrm{0,}x,y)+\underset{0}{\overset{\beta }{\int }}{U}_t(t,x,y)dt=\psi (x,y),0\le x,y\le l$ (3)

и граничных условиях типа Бенара

$U(t,x,y){|}_{x=0}=U(t,x,y){|}_{x=l}=U(t,x,y){|}_{y=0}=U(t,x,y){|}_{y=l}=$

$=\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}U(t,x,y){|}_{x=0}=\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}U(t,x,y){|}_{x=l}=\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}U(t,x,y){|}_{y=0}=$

$=\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}U(t,x,y){|}_{y=l}=\dots =\frac{{\partial }^{2k-2}}{\partial x^{2k-2}}U(t,x,y){|}_{x=0}=\frac{{\partial }^{2k-2}}{\partial x^{2k-2}}U(t,x,y){|}_{x=l}=$

$=\frac{{\partial }^{2k-2}}{\partial y^{2k-2}}U(t,x,y){|}_{y=0}=\frac{{\partial }^{2k-2}}{\partial y^{2k-2}}U(t,x,y){|}_{y=l}=\mathrm{0,}0\le t\le \beta ,$ (4)

 где $\phi (x,y)$, $\psi (x,y)$ — заданные достаточно гладкие функции,

$\phi (x,y){|}_{x=0}=\phi (x,y){|}_{x=l}=\phi (x,y){|}_{y=0}=\phi (x,y){|}_{y=l}=$

$=\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}\phi (x,y){|}_{x=0}=\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}\phi (x,y){|}_{x=l}=\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}\phi (x,y){|}_{y=0}=\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}\phi (x,y){|}_{y=l}=\dots =$

$=\frac{{\partial }^{2k-2}}{\partial x^{2k-2}}\phi (x,y){|}_{x=0}=\frac{{\partial }^{2k-2}}{\partial x^{2k-2}}\phi (x,y){|}_{x=l}=\frac{{\partial }^{2k-2}}{\partial y^{2k-2}}\phi (x,y){|}_{y=0}=\frac{{\partial }^{2k-2}}{\partial y^{2k-2}}\phi (x,y){|}_{y=l}=$

$=\psi (x,y){|}_{x=0}=\psi (x,y){|}_{x=l}=\psi (x,y){|}_{y=0}=\psi (x,y){|}_{y=l}=$

$=\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}\psi (x,y){|}_{x=0}=\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}\psi (x,y){|}_{x=l}=\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}\psi (x,y){|}_{y=0}=\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}\psi (x,y){|}_{y=l}=\dots =$

$=\frac{{\partial }^{2k-2}}{\partial x^{2k-2}}\psi (x,y){|}_{x=0}=\frac{{\partial }^{2k-2}}{\partial x^{2k-2}}\psi (x,y){|}_{x=l}=\frac{{\partial }^{2k-2}}{\partial y^{2k-2}}\psi (x,y){|}_{y=0}=\frac{{\partial }^{2k-2}}{\partial y^{2k-2}}\psi (x,y){|}_{y=l}=0.$ (5)

Задача. Найти в области $\Omega$ неизвестную функцию $U(t,x,y)$, удовлетворяющую уравнению (1) и заданным условиям (2)–(4), а также следующим условиям:

$U(t,x,y)\in C\left(\overline{\Omega }\right)\cap C^{\mathrm{2,2}k\mathrm{,2}k}\left(\Omega \right)\cap C_{t,x,y}^{2+2k+0}\cap C_{t,x,y}^{2+0+2k},$ (6)

 где $\overline{\Omega }=\left\{\right(t,x,y):0\le t\le T,0\le x,y\le l\}$.

2. Разложение формального решения задачи в ряд Фурье. Будем искать нетривиальные решения задачи в виде ряда Фурье

$U(t,x,y)=\frac{2}{l}\sum _{n,m=1}^{\infty }{u}_{n,m}\left(t\right){\vartheta }_{n,m}(x,y),$ (7)

где

$u_{n,m}\left(t\right)=\frac{2}{l}\underset{0}{\overset{l}{\int }}\underset{0}{\overset{l}{\int }}U(t,x,y){\vartheta }_{n,m}(x,y)dxdy,n,m=\mathrm{1,2,3,}\dots ,$

${\vartheta }_{n,m}(x,y)=\sin \left(\frac{n\pi }{l}x\right)\sin \left(\frac{m\pi }{l}y\right).$

Подставляя ряд (7) в интегро-дифференциальное уравнение (1), получаем следующую счетную систему интегро-дифференциальных уравнений:

${{u^{\text{'}}}^{\text{'}}}_{n,m}\left(t\right)+{\lambda }_{n,m}^2\left(\epsilon \right)u_{n,m}\left(t\right)=\frac{\nu }{1+\epsilon {\mu }_{n,m}^{2k}}\underset{0}{\overset{\beta }{\int }}\sum _{i=1}^k{a}_i\left(t\right)b_i\left(s\right)u_{n,m}\left(s\right)ds+\frac{\nu }{1+\epsilon {\mu }_{n,m}^{2k}}f\left(t\right)\underset{0}{\overset{\beta }{\int }}{u}_{n,m}\left(\theta \right)d\theta ,$ (8)

 где

${\lambda }_{n,m}^2\left(\epsilon \right)=\frac{{\mu }_{n,m}^{2k}}{1+\epsilon {\mu }_{n,m}^{2k}},{\mu }_{n,m}^{2k}={\left(\frac{\pi }{l}\right)}^{2k}(n^{2k}+m^{2k}).$

Вводя обозначения

${\tau }_{i,n,m}=\underset{0}{\overset{\beta }{\int }}{b}_i\left(s\right)u_{n,m}\left(s\right)ds,$ (9)

перепишем систему (8) в виде

${{u^{\text{'}}}^{\text{'}}}_{n,m}\left(t\right)+{\lambda }_{n,m}^2\left(\epsilon \right)u_{n,m}\left(t\right)=\frac{\nu }{1+\epsilon {\mu }_{n,m}^{2k}}\sum _{i=1}^k{a}_i\left(t\right){\tau }_{i,n,m}+\frac{\nu }{1+\epsilon {\mu }_{n,m}^{2k}}f\left(t\right)\underset{0}{\overset{\beta }{\int }}{u}_{n,m}\left(\theta \right)d\theta .$ (10)

Систему дифференциальных уравнений (10) будем решать методом вариации произвольных постоянных:

$u_{n,m}\left(t\right)=c_{n,m}\cos \left({\lambda }_{n,m}\right(\epsilon \left)\right)+d_{n,m}\sin \left({\lambda }_{n,m}\right(\epsilon \left)\right)+$

$+\frac{\nu }{{\lambda }_{n,m}\left(\epsilon \right)(1+\epsilon {\mu }_{n,m}^{2k})}\sum _{i=1}^k{\tau }_{i,n,m}\underset{0}{\overset{t}{\int }}\sin \left({\lambda }_{n,m}\right(\epsilon \left)\right(t-s\left)\right)a_i\left(s\right)ds+$

$+\frac{\nu }{{\lambda }_{n,m}\left(\epsilon \right)(1+\epsilon {\mu }_{n,m}^{2k})}\underset{0}{\overset{\beta }{\int }}{u}_{n,m}\left(\theta \right)d\theta \underset{0}{\overset{t}{\int }}\sin \left({\lambda }_{n,m}\right(\epsilon \left)\right(t-s\left)\right)f\left(s\right)ds.$ (11)

Интегральные условия (2) и (3) запишем в виде

 $u_{n,m}\left(0\right)+\underset{0}{\overset{\beta }{\int }}{u}_{n,m}\left(t\right)dt=\frac{2}{l}\underset{0}{\overset{l}{\int }}\underset{0}{\overset{l}{\int }}\left[U(\mathrm{0,}x,y)+\underset{0}{\overset{\beta }{\int }}U(t,x,y)dt\right]{\vartheta }_{n,m}(x,y)dxdy=$

$=\frac{2}{l}\underset{0}{\overset{l}{\int }}\underset{0}{\overset{l}{\int }}\phi (x,y){\vartheta }_{n,m}(x,y)dxdy={\phi }_{n,m},$ (12)

${u^{\text{'}}}_{n,m}\left(0\right)+\underset{0}{\overset{\beta }{\int }}{u^{\text{'}}}_{n,m}\left(t\right)dt=\frac{2}{l}\underset{0}{\overset{l}{\int }}\underset{0}{\overset{l}{\int }}\left[U_t(\mathrm{0,}x,y)+\underset{0}{\overset{\beta }{\int }}{U}_t(t,x,y)dt\right]{\vartheta }_{n,m}(x,y)dxdy=$

$=\frac{2}{l}\underset{0}{\overset{l}{\int }}\underset{0}{\overset{l}{\int }}\psi (x,y){\vartheta }_{n,m}(x,y)dxdy={\psi }_{n,m}.$ (13)

Для нахождения коэффициентов $c_{n,m}$ и $d_{n,m}$ в (11) воспользуемся условиями (12) и (13):

${\phi }_{n,m}=u_{n,m}\left(0\right)+\underset{0}{\overset{\beta }{\int }}{u}_{n,m}\left(t\right)dt=c_{n,m}\left(1+\frac{1}{{\lambda }_{n,m}\left(\epsilon \right)}\sin \left({\lambda }_{n,m}\right(\epsilon \left)\beta \right)\right)+$

$+\frac{d_{n,m}}{{\lambda }_{n,m}\left(\epsilon \right)}(1-\cos ({\lambda }_{n,m}\left(\epsilon \right)\beta \left)\right)+{\gamma }_{1n,m}+{\gamma }_{2n,m},$

${\psi }_{n,m}={u^{\text{'}}}_{n,m}\left(0\right)+\underset{0}{\overset{\beta }{\int }}{u^{\text{'}}}_{n,m}\left(t\right)dt=\frac{c_{n,m}}{{\lambda }_{n,m}^2\left(\epsilon \right)}\left(\cos \right({\lambda }_{n,m}\left(\epsilon \right)\beta )-1)+$

$+\frac{d_{n,m}}{{\lambda }_{n,m}\left(\epsilon \right)}\left(1+\frac{1}{{\lambda }_{n,m}\left(\epsilon \right)}\sin \left({\lambda }_{n,m}\right(\epsilon \left)\beta \right)\right)+{\eta }_{1n,m}\left(\beta \right)+{\eta }_{2n,m}\left(\beta \right),$

где

${\gamma }_{in,m}=\underset{0}{\overset{\beta }{\int }}{\eta }_{in,m}\left(t\right)dt,{\eta }_{1n,m}\left(t\right)=\nu \sum _{i=1}^k{\tau }_{i,n,m}{\xi }_{i,n,m}\left(t\right),{\eta }_{2n,m}\left(t\right)={\chi }_{n,m}\left(t\right)\underset{0}{\overset{\beta }{\int }}{u}_{n,m}\left(\theta \right)d\theta ,$

${\xi }_{i,n,m}\left(t\right)=\frac{1}{{\lambda }_{n,m}\left(\epsilon \right)(1+\epsilon {\mu }_{n,m}^{2k})}\underset{0}{\overset{t}{\int }}\sin \left({\lambda }_{n,m}\right(\epsilon \left)\right(t-s\left)\right)a_i\left(s\right)ds,$

${\chi }_{n,m}\left(t\right)=\frac{\nu }{{\lambda }_{n,m}\left(\epsilon \right)(1+\epsilon {\mu }_{n,m}^{2k})}\underset{0}{\overset{t}{\int }}\sin \left({\lambda }_{n,m}\right(\epsilon \left)\right(t-s\left)\right)f\left(s\right)ds.$

Отсюда получаем следующую систему, состоящую из счетных систем алгебраических уравнений для определения коэффициентов $c_{n,m}$ и $d_{n,m}$:

$\left\{\begin{array}{ll}& c_{n,m}\left({\lambda }_{n,m}\right(\epsilon )+\sin ({\lambda }_{n,m}\left(\epsilon \right)\beta \left)\right)+d_{n,m}(1-\cos ({\lambda }_{n,m}\left(\epsilon \right)\beta \left)\right)=\\ & ={\lambda }_{n,m}\left(\epsilon \right)({\phi }_{1n,m}-{\gamma }_{1n,m}-{\gamma }_{2n,m}),\\ & c_{n,m}\left(\cos \right({\lambda }_{n,m}\left(\epsilon \right)\beta )-1)+d_{n,m}\left({\lambda }_{n,m}\right(\epsilon )+\sin ({\lambda }_{n,m}\left(\epsilon \right)\beta \left)\right)=\\ & ={\lambda }_{n,m}^2\left(\epsilon \right)({\phi }_{2n,m}-{\eta }_{1n,m}(\beta )-{\eta }_{2n,m}(\beta \left)\right).\end{array}\right.$ (14)

Для однозначной разрешимости системы (14) требуется выполнение следующего условия:

$A_{n,m}={\left({\lambda }_{n,m}\right(\epsilon )+\sin ({\lambda }_{n,m}\left(\epsilon \right)\beta \left)\right)}^2+{(1-\cos ({\lambda }_{n,m}\left(\epsilon \right)\beta \left)\right)}^2=$

$={\lambda }_{n,m}^2\left(\epsilon \right)+2(1+{\lambda }_{n,m}(\epsilon \left)\sin \right({\lambda }_{n,m}\left(\epsilon \right)\beta )-\cos ({\lambda }_{n,m}\left(\epsilon \right)\beta \left)\right)\ne 0.$ (15)

Рассуждая от противного, покажем, что условие (15) выполняется при любых натуральных $n$, $m$. Предположим, что условие (15) нарушего. Тогда справедливо равенство

$A_{n,m}={\lambda }_{n,m}^2\left(\epsilon \right)+2(1+{\lambda }_{n,m}(\epsilon \left)\sin \right({\lambda }_{n,m}\left(\epsilon \right)\beta )-\cos ({\lambda }_{n,m}\left(\epsilon \right)\beta \left)\right)=0.$

Это условие эквивалентно тригонометрическому уравнению

$\cos \left({\lambda }_{n,m}\right(\epsilon )\beta +{\theta }_{n,m})=\frac{2+{\lambda }_{n,m}^2\left(\epsilon \right)}{2\sqrt{1+{\lambda }_{n,m}^2\left(\epsilon \right)}},$

где

${\theta }_{n,m}=\frac{1}{\sqrt{1+{\lambda }_{n,m}^2\left(\epsilon \right)}}.$

Учтем, что $0<{\lambda }_{n,m}\left(\epsilon \right)<1$. Покажем, что правая часть тригонометрического уравнения больше единицы:

$\frac{2+{\lambda }_{n,m}^2\left(\epsilon \right)}{2\sqrt{1+{\lambda }_{n,m}^2\left(\epsilon \right)}}>1.$

Действительно,

$2+{\lambda }_{n,m}^2\left(\epsilon \right)>2\sqrt{1+{\lambda }_{n,m}^2\left(\epsilon \right)}.$

Каждое из этих выражений в неравенстве больше единицы. Поэтому их можно возвести в квадрат:

${(2+{\lambda }_{n,m}^2(\epsilon \left)\right)}^2>4(1+{\lambda }_{n,m}^2(\epsilon \left)\right)\Leftarrow 4+4{\lambda }_{n,m}^2\left(\epsilon \right)+{\left({\lambda }_{n,m}^2\right(\epsilon \left)\right)}^2>4+4{\lambda }_{n,m}^2\left(\epsilon \right).$

Отсюда ${\left({\lambda }_{n,m}^2\right(\epsilon \left)\right)}^2>0$. Следовательно,

$\frac{2+{\lambda }_{n,m}^2\left(\epsilon \right)}{2\sqrt{1+{\lambda }_{n,m}^2\left(\epsilon \right)}}>1.$

Поэтому данное тригонометрическое уравнение не имеет решений; противоречие. Следовательно, при любых натуральных $n$, $m$ условие (15) выполняется. Поэтому система (14) имеет единственное решение

$c_{n,m}=\frac{{\lambda }_{n,m}\left(\epsilon \right)}{A_{n,m}}\left[\right({\phi }_{n,m}-{\gamma }_{n,m}\left)\right({\lambda }_{n,m}\left(\epsilon \right)+\sin \left({\lambda }_{n,m}\right(\epsilon \left)\beta \right))-$

$-{\lambda }_{n,m}\left(\epsilon \right)({\psi }_{n,m}-{\eta }_{n,m}(\beta \left)\right)(1-\cos ({\lambda }_{n,m}\left(\epsilon \right)\beta \left)\right)],$

$d_{n,m}=\frac{{\lambda }_{n,m}\left(\epsilon \right)}{A_{n,m}}\left[\right({\phi }_{n,m}-{\gamma }_{n,m}\left)\right(1-\cos \left({\lambda }_{n,m}\right(\epsilon \left)\beta \right))+$

$+{\lambda }_{n,m}\left(\epsilon \right)({\psi }_{n,m}-{\eta }_{n,m}(\beta \left)\right)\left({\lambda }_{n,m}\right(\epsilon )+\sin ({\lambda }_{n,m}\left(\epsilon \right)\beta \left)\right)].$

Подставляя эти найденные коэффициенты в представление (11), получаем представление

$u_{n,m}(t,\nu )=D_{n,m}\left(t\right)-\nu \sum _{i=1}^k{\tau }_{i,n,m}{E}_{in,m}\left(t\right)-F_{n,m}\left(t\right)\underset{0}{\overset{\beta }{\int }}{u}_{n,m}\left(\theta \right)d\theta ,$ (16)

 где

$D_{n,m}\left(t\right)={\phi }_{n,m}{B}_{1n,m}\left(t\right)+{\psi }_{n,m}{B}_{2n,m}\left(t\right),$

$E_{in,m}\left(t\right)=B_{1n,m}\left(t\right)\underset{0}{\overset{\beta }{\int }}{\xi }_{in,m}\left(t\right)dt+B_{2n,m}\left(t\right){\xi }_{in,m}\left(\beta \right)-{\xi }_{in,m}\left(t\right),$

$F_{n,m}\left(t\right)=B_{1n,m}\left(t\right)\underset{0}{\overset{\beta }{\int }}{\chi }_{n,m}\left(t\right)dt+B_{2n,m}\left(t\right){\chi }_{n,m}\left(\beta \right)-{\chi }_{n,m}\left(t\right),$

$B_{1n,m}\left(t\right)=\frac{{\lambda }_{n,m}\left(\epsilon \right)}{A_{n,m}}\times$

$\times \left[\cos \right({\lambda }_{n,m}\left(\epsilon \right)t\left)\right({\lambda }_{n,m}\left(\epsilon \right)+\sin \left({\lambda }_{n,m}\right(\epsilon \left)\beta \right))+\sin ({\lambda }_{n,m}\left(\epsilon \right)t\left)\right(1-\cos \left({\lambda }_{n,m}\right(\epsilon \left)\beta \right)\left)\right],$

$B_{2n,m}\left(t\right)=\frac{{\lambda }_{n,m}^2\left(\epsilon \right)}{A_{n,m}}\times$

$\times \left[\cos \right({\lambda }_{n,m}\left(\epsilon \right)t\left)\right(\cos \left({\lambda }_{n,m}\right(\epsilon \left)\beta \right)-1)+\sin ({\lambda }_{n,m}\left(\epsilon \right)t\left)\right({\lambda }_{n,m}+\sin \left({\lambda }_{n,m}\right(\epsilon \left)\beta \right)\left)\right].$

Подставляя (16) в (9), получаем следующую систему, состоящую из счетных систем алгебраических уравнений:

${\tau }_{in,m}+\nu \sum _{j=1}^k{\tau }_{jn,m}{H}_{ijn,m}={\Psi }_{in,m},$ (17)

где

$H_{ijn,m}=\underset{0}{\overset{\beta }{\int }}{b}_i\left(s\right)E_{jn,m}\left(s\right)ds,{\Psi }_{in,m}=\underset{0}{\overset{\beta }{\int }}{b}_i\left(s\right)\left[D_{n,m}\left(s\right)-F_{n,m}\left(s\right)\underset{0}{\overset{\beta }{\int }}{u}_{n,m}\left(\theta \right)d\theta \right]ds.$

Отметим, что из линейной независимости систем функций $a_i\left(t\right)$ и $b_i\left(s\right)$ следует, что $H_{ijn,m}\ne 0$. Система (17) однозначно разрешима при любых конечных ${\Psi }_{in,m}$, если выполняется следующее условие:

${\Delta }_{n,m}\left(\nu \right)=\left|\begin{array}{cccc}1+\nu H_{11n,m}& \nu H_{12n,m}& \dots & \nu H_{1kn,m}\\ \nu H_{21n,m}& 1+\nu H_{22n,m}& \dots & \nu H_{2kn,m}\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ \nu H_{k1n,m}& \nu H_{k2n,m}& \dots & 1+\nu H_{kkn,m}\end{array}\right|\ne 0.$ (18)

Решения системы (17) записываются в виде

${\tau }_{in,m}=\frac{{\Delta }_{1in,m}\left(\nu \right)}{{\Delta }_{n,m}\left(\nu \right)}-\frac{{\Delta }_{2in,m}\left(\nu \right)}{{\Delta }_{n,m}\left(\nu \right)}\underset{0}{\overset{\beta }{\int }}{u}_{n,m}\left(\theta \right)d\theta ,i=\overline{\mathrm{1,}k},$ (19)

где

${\Delta }_{jn,m}\left(\nu \right)=\left|\begin{array}{ccccccc}1+\nu H_{11n,m}& \dots & \nu H_{1(i-1)n,m}& {\Psi }_{j1n,m}& \nu H_{1(i+1)n,m}& \dots & \nu H_{1kn,m}\\ \nu H_{21n,m}& \dots & \nu H_{2(i-1)n,m}& {\Psi }_{j2n,m}& \nu H_{2(i+1)n,m}& \dots & \nu H_{2kn,m}\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ \nu H_{k1n,m}& \dots & \nu H_{k(i-1)n,m}& {\Psi }_{jkn,m}& \nu H_{k(i+1)n,m}& \dots & 1+\nu H_{kkn,m}\end{array}\right|,j=\mathrm{1,2,}$

${\Psi }_{1in,m}=\underset{0}{\overset{\beta }{\int }}{b}_i\left(s\right)D_{n,m}\left(s\right)ds,{\Psi }_{2in,m}=\underset{0}{\overset{\beta }{\int }}{b}_i\left(s\right)F_{n,m}\left(s\right)ds.$

Подставляя решения (19) системы (17) в представление (16), получаем

 $u_{n,m}(t,\nu )=D_{n,m}\left(t\right)-$

$-\nu \sum _{i=1}^k\left[\frac{{\Delta }_{1in,m}\left(\nu \right)}{{\Delta }_{n,m}\left(\nu \right)}-\frac{{\Delta }_{2in,m}\left(\nu \right)}{{\Delta }_{n,m}\left(\nu \right)}\underset{0}{\overset{\beta }{\int }}{u}_{n,m}\left(\theta \right)d\theta \right]E_{in,m}\left(t\right)-F_{n,m}\left(t\right)\underset{0}{\overset{\beta }{\int }}{u}_{n,m}\left(\theta \right)d\theta .$ (20)

Теперь представление (20) подставим в ряд Фурье (7):

$U(t,x,y,\nu )=\frac{2}{l}\sum _{n,m=1}^{\infty }{\vartheta }_{n,m}(x,y)\left\{D_{n,m}\left(t\right)-\right.$

$\left.-\nu \sum _{i=1}^k\left[\frac{{\Delta }_{1in,m}\left(\nu \right)}{{\Delta }_{n,m}\left(\nu \right)}-\frac{{\Delta }_{2in,m}\left(\nu \right)}{{\Delta }_{n,m}\left(\nu \right)}\underset{0}{\overset{\beta }{\int }}{u}_{n,m}\left(\theta \right)d\theta \right]E_{in,m}\left(t\right)-F_{n,m}\left(t\right)\underset{0}{\overset{\beta }{\int }}{u}_{n,m}\left(\theta \right)d\theta \right\},$ (21)

где

${\vartheta }_{n,m}(x,y)=\sin \left(\frac{n\pi }{l}x\right)\sin \left(\frac{m\pi }{l}y\right).$

3. Исследование однородной задачи. Исследуем случай, когда $f\left(t\right)=0$ для всех $t\in [0;\beta ]$. Тогда вместо ряда (21) получим следующий упрощенный ряд Фурье:

$\text{U(t,x,y,ν)=}\frac{\text{2}}{\text{l}}\sum _{\text{n,m=1}}^{\text{¥}}\left[{\text{D}}_{\text{n,m}}\text{(t)-ν}\sum _{\text{i=1}}^{\text{k}}\frac{{\text{Δ}}_{\text{1in,m}}\text{(ν)}}{{\text{Δ}}_{\text{n,m}}\text{(ν)}}{\text{E}}_{\text{in,m}}\text{(t)}\right]{\text{J}}_{\text{n,m}}\text{(x,y).}$ (22)

3.1. Регулярный случай параметра $\mathit{\nu }$. Определитель ${\Delta }_{n,m}\left(\nu \right)$ в (18) является многочленом относительно $\nu$ степени не выше $k$. Уравнение ${\Delta }_{n,m}\left(\nu \right)$ имеет не более $k$ различных корней. Эти корни являются собственными числами (иррегулярными значениями параметра $\nu$) ядра интегро-дифференциального уравнения (1). Множество иррегулярных значений параметра обозначим через $\Im$, а множество значений параметра $\nu \in \Lambda =\left(\right(-\infty ;0)\cup (0;\infty \left)\right)\backslash \Im$ назовём регулярным. Для регулярных значений параметра $\nu \in \Lambda$ условие (18) выполняется. Поэтому для таких значений $\nu \in \Lambda$ имеет место разложение (22) и устанавливается однозначная разрешимость поставленной нелокальной задачи.

Покажем абсолютную и равномерную сходимость ряда (22) для всех регулярных значений параметра $\nu \in \Lambda$. С этой целью сначала рассмотрим сходимость следующего ряда:

$\sum _{n,m=1}^{\infty }{D}_{n,m}\left(t\right){\vartheta }_{n,m}(x,y).$ (23)

Учтем, что $D_{n,m}\left(t\right)={\phi }_{n,m}{B}_{1n,m}\left(t\right)+{\psi }_{n,m}{B}_{2n,m}\left(t\right)$. Так как справедливы неравенства $0<{\lambda }_{n,m}\left(\epsilon \right)<1$, гладкие функции $B_{1n,m}\left(t\right)$ и $B_{2n,m}\left(t\right)$ ограничены вместе со своими производными второго порядка. Поэтому справедливы оценки

$\left|D_{n,m}\right(t\left)\right|\le C_1\cdot \left[\right|{\phi }_{n,m}|+|{\psi }_{n,m}\left|\right],$ (24)

$\left|{{D^{\text{'}}}^{\text{'}}}_{n,m}\right(t\left)\right|\le C_1\cdot \left[\right|{\phi }_{n,m}|+|{\psi }_{n,m}\left|\right],$ (25)

 где $0<C_1=const$.

Условия А. Пусть $\phi (x,y)\in C^{2k}\left(\right[0;l]\times [0;l\left]\right)$, $\psi (x,y)\in C^{2k}\left(\right[0;l]\times [0;l\left]\right)$ и в области $[0;l]\times [0;l]$ имеют также кусочно непрерывные производные порядка $2k+1$. 

При выполнении условий А справедливы следующие формулы:

$2\left|{\phi }_{n,m}\right|={\left(\frac{l}{\pi }\right)}^{2k+1}\frac{\left|{\phi }_{n,m}^{(2k+1)}\right|}{n^{2k+1}},\left|{\phi }_{n,m}^{(2k+1)}\right|={\left(\frac{l}{\pi }\right)}^{2k+1}\frac{\left|{\phi }_{n,m}^{(4k+2)}\right|}{m^{2k+1}},$ (26)

$\left|{\psi }_{n,m}\right|={\left(\frac{l}{\pi }\right)}^{2k+1}\frac{\left|{\psi }_{n,m}^{(2k+1)}\right|}{n^{2k+1}},\left|{\psi }_{n,m}^{(2k+1)}\right|={\left(\frac{l}{\pi }\right)}^{2k+1}\frac{\left|{\psi }_{n,m}^{(4k+2)}\right|}{m^{2k+1}},$ (27)

где

${\phi }_{n,m}^{(2k+1)}=\frac{2}{l}\underset{0}{\overset{l}{\int }}\underset{0}{\overset{l}{\int }}\frac{{\partial }^{2k+1}}{\partial x^{2k+1}}\phi (x,y){\vartheta }_{n,m}(x,y)dxdy,$ (28)

${\phi }_{n,m}^{(4k+2)}=\frac{2}{l}\underset{0}{\overset{l}{\int }}\underset{0}{\overset{l}{\int }}\frac{{\partial }^{4k+2}}{\partial x^{2k+1}\partial y^{2k+1}}\phi (x,y){\vartheta }_{n,m}(x,y)dxdy,$ (29)

${\psi }_{n,m}^{(2k+1)}=\frac{2}{l}\underset{0}{\overset{l}{\int }}\underset{0}{\overset{l}{\int }}\frac{{\partial }^{2k+1}}{\partial x^{2k+1}}\psi (x,y){\vartheta }_{n,m}(x,y)dxdy,$ (30)

${\psi }_{n,m}^{(4k+2)}=\frac{2}{l}\underset{0}{\overset{l}{\int }}\underset{0}{\overset{l}{\int }}\frac{{\partial }^{4k+2}}{\partial x^{2k+1}\partial y^{2k+1}}\psi (x,y){\vartheta }_{n,m}(x,y)dxdy.$ (31)

Из соотношения (26) и (27) получаем, что справедливы формулы

$\left|{\phi }_{n,m}\right|={\left(\frac{l}{\pi }\right)}^{4k+2}\frac{\left|{\phi }_{n,m}^{(4k+2)}\right|}{n^{2k+1}{m}^{2k+1}},\left|{\psi }_{n,m}\right|={\left(\frac{l}{\pi }\right)}^{4k+2}\frac{\left|{\psi }_{n,m}^{(4k+2)}\right|}{n^{2k+1}{m}^{2k+1}}.$ (32)

Для коэффициентов Фурье (28)–(31) справедливы неравенства Бесселя

$\sum _{n,m=1}^{\infty }{\left[{\phi }_{n,m}^{(4k+2)}\right]}^2\le \frac{4}{l^2}\underset{0}{\overset{l}{\int }}\underset{0}{\overset{l}{\int }}{\left[\frac{{\partial }^{4k+2}}{\partial x^{2k+1}\partial y^{2k+1}}\phi (x,y)\right]}^{2}dxdy,$ (33)

$\sum _{n,m=1}^{\infty }{\left[{\psi }_{n,m}^{(4k+2)}\right]}^2\le \frac{4}{l^2}\underset{0}{\overset{l}{\int }}\underset{0}{\overset{l}{\int }}{\left[\frac{{\partial }^{4k+2}}{\partial x^{2k+1}\partial y^{2k+1}}\psi (x,y)\right]}^{2}dxdy.$ (34)

С учетом оценки (24), формулы (32) и неравенства Бесселя (33), (34) и применением неравенство Коши–Буняковского получаем оценку

$\sum _{n,m=1}^{\infty }{D}_{n,m}\left(t\right){\vartheta }_{n,m}(x,y)\le \sum _{n,m=1}^{\infty }\left|D_{n,m}\right(t\left)\right|\cdot \left|{\vartheta }_{n,m}\right(x,y\left)\right|\le$

$\le C_1\sum _{n,m=1}^{\infty }\left[\right|{\phi }_{n,m}|+|{\psi }_{n,m}\left|\right]\le {\gamma }_1\sum _{n,m=1}^{\infty }\frac{1}{n^{2k+1}{m}^{2k+1}}[\left|{\phi }_{n,m}^{(4k+2)}\right|+\left|{\psi }_{n,m}^{(4k+2)}\right|]\le$

$\le {\gamma }_1\sqrt{\sum _{n,m=1}^{\infty }\frac{1}{{\left(nm\right)}^{4k+2}}}\left[\sqrt{\sum _{n,m=1}^{\infty }{\left|{\phi }_{n,m}^{(4k+2)}\right|}^2}+\sqrt{\sum _{n,m=1}^{\infty }{\left|{\psi }_{n,m}^{(4k+2)}\right|}^2}\right]\le$

$\le \frac{2{\gamma }_1}{l}\sqrt{\sum _{n,m=1}^{\infty }\frac{1}{{\left(nm\right)}^{4k+2}}}\left[\sqrt{\underset{0}{\overset{l}{\int }}\underset{0}{\overset{l}{\int }}{\left[\frac{{\partial }^{4k+2}}{\partial x^{2k+1}\partial y^{2k+1}}\phi (x,y)\right]}^{2}dxdy}+\right.$

$\left.+\sqrt{\underset{0}{\overset{l}{\int }}\underset{0}{\overset{l}{\int }}{\left[\frac{{\partial }^{4k+2}}{\partial x^{2k+1}\partial y^{2k+1}}\psi (x,y)\right]}^{2}dxdy}\right]<\infty ,$ (35)

где

${\gamma }_1=C_1\cdot {\left(\frac{l}{\pi }\right)}^{4k+2}.$

Отсюда заключаем, что ряд (23) сходится абсолютно и равномерно в области . Теперь рассмотрим сходимость ряда

$\sum _{n,m=1}^{\infty }\sum _{i=1}^k\frac{{\Delta }_{1in,m}\left(\nu \right)}{{\Delta }_{n,m}\left(\nu \right)}{E}_{in,m}\left(t\right){\vartheta }_{n,m}(x,y).$ (36)

Учтем, что

$E_{in,m}\left(t\right)=B_{1n,m}\left(t\right)\underset{0}{\overset{\beta }{\int }}{\xi }_{in,m}\left(t\right)dt+B_{2n,m}\left(t\right){\xi }_{in,m}\left(\beta \right)-{\xi }_{in,m}\left(t\right),$

${\xi }_{i,n,m}\left(t\right)=\frac{1}{{\lambda }_{n,m}\left(\epsilon \right)(1+\epsilon {\mu }_{n,m}^{2k})}\underset{0}{\overset{t}{\int }}\sin \left({\lambda }_{n,m}\right(\epsilon \left)\right(t-s\left)\right)a_i\left(s\right)ds,i=\overline{\mathrm{1,}k}.$

Тогда из гладкости этих функций получаем, что

$\left|E_{in,m}\right(t\left)\right|\le C_{i2},\left|{{E^{\text{'}}}^{\text{'}}}_{in,m}\right(t\left)\right|\le C_{i2},$ (37)

 где $0<C_{i2}=const$, $i=\overline{\mathrm{1,}k}$. Из выполнения условия (18) следует, что $\left|{\Delta }_{n,m}\right(\nu \left)\right|>0$. В состав определителей ${\Delta }_{in,m}\left(\nu \right)$ входят столбцы

${\Psi }_{in,m}=\underset{0}{\overset{\beta }{\int }}{b}_i\left(s\right)D_{n,m}\left(s\right)ds,гдеD_{n,m}\left(t\right)={\phi }_{n,m}{B}_{1n,m}\left(t\right)+{\psi }_{n,m}{B}_{2n,m}\left(t\right).$

С учетом соотношений (32)–(34) и (37) аналогично оценке (35) покажем, что ряд (36) сходится абсолютно и равномерно в области $\Omega$. Действительно, применяя неравенство Коши–Буняковского к (36), получаем оценку

$\sum _{n,m=1}^{\infty }\sum _{i=1}^k\frac{{\Delta }_{1in,m}\left(\nu \right)}{{\Delta }_{n,m}\left(\nu \right)}{E}_{in,m}\left(t\right){\vartheta }_{n,m}(x,y)\le \sum _{n,m=1}^{\infty }\frac{1}{\left|{\Delta }_{n,m}\right(\nu \left)\right|}\sum _{i=1}^k\left|{\Delta }_{1in,m}\right(\nu \left)\right|\cdot \left|E_{in,m}\right(t\left)\right|\le$

$\le C_3\sum _{n,m=1}^{\infty }\sum _{i=1}^k{C}_{i2}\left|{\Delta }_{in,m}\right(\nu \left)\right|\le C_1{C}_3\sum _{n,m=1}^{\infty }\left[\right|{\phi }_{1n,m}|+|{\phi }_{2n,m}\left|\right]\sum _{i=1}^k{C}_{i2}\left|{\overline{\Delta }}_{1in,m}\right(\nu \left)\right|\le$

$\le {\gamma }_2\sqrt{\sum _{n,m=1}^{\infty }\frac{1}{{\left(nm\right)}^{4k+2}}}\left[\sqrt{\sum _{n,m=1}^{\infty }{\left|{\phi }_{n,m}^{(4k+2)}\right|}^2}+\sqrt{\sum _{n,m=1}^{\infty }{\left|{\psi }_{n,m}^{(4k+2)}\right|}^2}\right]\le$

$\le \frac{2{\gamma }_2}{l}\sqrt{\sum _{n,m=1}^{\infty }\frac{1}{{\left(nm\right)}^{4k+2}}}\left[\sqrt{\underset{0}{\overset{l}{\int }}\underset{0}{\overset{l}{\int }}{\left[\frac{{\partial }^{4k+2}}{\partial x^{2k+1}\partial y^{2k+1}}\phi (x,y)\right]}^{2}dxdy}+\right.$

$\left.+\sqrt{\underset{0}{\overset{l}{\int }}\underset{0}{\overset{l}{\int }}{\left[\frac{{\partial }^{4k+2}}{\partial x^{2k+1}\partial y^{2k+1}}\psi (x,y)\right]}^{2}dxdy}\right]<\infty ,$ (38)

где

${\gamma }_2=C_1\cdot C_3\cdot C_4\cdot {\left(\frac{l}{\pi }\right)}^6,C_3\ge \underset{n,m}{}\frac{1}{\left|{\Delta }_{n,m}\right(\nu \left)\right|},C_4\ge \sum _{i=1}^k{C}_{i2}\left|{\overline{\Delta }}_{1in,m}\right(\nu \left)\right|,$

${\overline{\Delta }}_{1in,m}\left(\nu \right)=\left|\begin{array}{ccccccc}1+\nu H_{11n,m}& \dots & \nu H_{1(i-1)n,m}& {\overline{\psi }}_{1n,m}& \nu H_{1(i+1)n,m}& \dots & \nu H_{1kn,m}\\ \nu H_{21n,m}& \dots & \nu H_{2(i-1)n,m}& {\overline{\psi }}_{2n,m}& \nu H_{2(i+1)n,m}& \dots & \nu H_{2kn,m}\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ \nu H_{k1n,m}& \dots & \nu H_{k(i-1)n,m}& {\overline{\psi }}_{kn,m}& \nu H_{k(i+1)n,m}& \dots & 1+\nu H_{kkn,m}\end{array}\right|,$

${\overline{\psi }}_{in,m}=\underset{0}{\overset{\beta }{\int }}{b}_i\left(s\right)ds,i=\overline{\mathrm{1,}k}.$