Об одном нагруженном интегро-дифференциальном уравнении смешанного типа с дробными операторами Герасимова—Капуто
- Авторы: Юлдашев Т.К.1, Каримов Э.Т.2
-
Учреждения:
- Национальный университет Узбекистана им. М. Улугбека
- Институт математики имени В. И. Романовского Академии наук Республики Узбекистан
- Выпуск: Том 211 (2022)
- Страницы: 96-113
- Раздел: Статьи
- URL: https://journals.rcsi.science/2782-4438/article/view/266239
- DOI: https://doi.org/10.36535/0233-6723-2022-211-96-113
- ID: 266239
Цитировать
Полный текст
Аннотация
Рассмотрены вопросы однозначной разрешимости краевой задачи для нагруженного интегро-дифференциального уравнения смешанного типа с дробными операторами Герасимова—Капуто, спектральными параметрами и малыми параметрами при смешанных производных. Решение задачи получено в виде рядов Фурье. Доказана однозначная разрешимость задачи для регулярных значений спектральных параметров. Изучена непрерывная зависимость решения краевой задачи от малых параметров и от заданных функций при регулярных значениях спектральных параметров.
Полный текст
1. Постановка задачи. Математическое моделирование многих процессов, происходящих в реальном мире, приводит к изучению смешанных и краевых задач для уравнений в частных производных. Поэтому теория краевых задач в настоящее время является одним из важнейших разделов теории дифференциальных уравнений. Сегодня бурно развивается теория нагруженных дифференциальных уравнений с локальными и нелокальными краевыми условиями. Изучению этого раздела теории дифференциальных уравнений посвящено большое количество работ (см., например, [1–6, 8, 9, 11–16, 25, 44]).
Дробное исчисление играет важную роль в математическом моделировании во многих научных и инженерных дисциплинах (см. [34]). Так, в [31] рассматриваются некоторые основные проблемы сплошной среды и статистической механики; в [26] изучаются математические проблемы модели эпидемии Эболы; в [27, 40] изучается фракционная модель динамики туберкулезной инфекции и нового коронавируса (nCoV-2019), соответственно. Построение различных моделей задач теоретической физики с помощью дробного исчисления описано в [38, vols. 4, 5], [30, 37]. В [36] рассматривается конкретная физическая интерпретация дробных производных Хильфера и Герасимова–Капуто, описывающая случайное движение частицы, движущейся по действительной прямой с временами шага Пуассона с конечной скоростью. Подробный обзор применения дробного исчисления при решении прикладных задач приведен в [38, vol. 6-8], [32, 35].
Приложения для уравнений смешанного типа изучались в [7, 19, 39]. В частности, в [7] И. М. Гельфанд рассматривал пример движения газа в канале, окруженном пористой средой, причем движение газа в канале описывалось волновым уравнением, а вне канала — уравнением диффузии. Я. С. Уфлянд в [19] рассмотрел задачу о распространении электрических колебаний в составных линиях, когда потери на полубесконечной линии не учитывались, а остальная часть линии трактовалась как кабель без утечки. Он свел эту задачу к уравнению смешанного параболо-гиперболического типа. В [39] исследована гиперболо-параболическая система, возникающая при импульсном горении. Дробные дифференциальные уравнения смешанного типа изучаются во многих работах, в частности в [10, 17, 18, 23, 24, 28, 29, 33, 45, 46].
Одним из важных разделов теории интегральных и дифференциальных уравнений является теория интегро-дифференциальных уравнений. Наличие интегрального члена в дифференциальных уравнениях первого и второго порядков играет важную роль в теории динамических систем с автоматическим управлением (см. [20, 21]). Интегро-дифференциальные уравнения смешанного типа целого порядка с вырожденными ядрами и спектральными параметрами изучены в [41, 42].
В данной работе исследуются вопросы однозначной разрешимости краевой задачи для нагруженного интегро-дифференциального уравнения смешанного типа с дробными операторами Герасимова–Капуто и спектральными параметрами в многомерной прямоугольной области. Отметим, что краевые задачи для интегро-дифференциальных уравнений со спектральными параметрами имеют особенности при исследовании вопросов однозначной разрешимости (см. [22, 43]).
В основе настоящего исследования лежат дифференциальные операторы, которые относительно первого аргумента являются операторами Герасимова–Капуто дробного порядка , а относительно других аргументов являются частными дифференциальными операторами четвертого порядка. Оператор Герасимова–Капуто дробного порядка имеет вид
где — гамма-функция Эйлера.
В многомерной области рассматривается следующее нагруженное интегро-дифференциальное уравнение дробного порядка:
(1)
где
и — положительные числа, — положительный параметр, , — положительные малые параметры, — действительный параметр, отличный от нуля, — вырожденное ядро, , , ,
Будем изучать следующую задачу.
Задача. Найти в области неизвестную функцию , принадлежащую классу функций
(2)
и удовлетворяющую смешанному интегро-дифференциальному уравнению (1) и следующим граничным условиям:
(3)
(4)
где , — гладкие функции, , , , — класс функций с непрерывными производными
в области , — класс функций с непрерывными производными
в области , — класс функций с непрерывными производными в области и т. д.; — класс функций с непрерывной производной в области , , — положительные числа,
2. Разложение решение задачи (1)–(4) в ряд Фурье. Исходя из характера задания спектральных условий (4), решение нагруженного интегро-дифференциального уравнения (1) в области будем разыскивать в виде ряда Фурье по синусам
(5)
где
(6)
Предположим также, что имеет место следующее разложение в ряд Фурье:
(7)
где
Подставляя ряды (5) и (7) в смешанное уравнение (1), получаем две счетные системы обыкновенных интегро-дифференциальных уравнений дробного порядка с вырожденными ядрами:
(8)
(9)
где
(10)
Будем использовать метод Фредгольма для вырожденного ядра. Введя обозначения
(11)
представим счетные системы обыкновенных интегро-дифференциальных уравнений (8) и (9) в следующем виде:
(12)
(13)
Решения счетных систем (12) и (13), удовлетворяющие условиям
представим следующим образом:
(14)
(15)
где , () — неизвестные коэффициенты интегрирования, которые будут однозначно найдены в дальнейших вычислениях,
Через обозначена функция Миттаг-Леффлера двух переменных:
где , , .
Из постановки задачи (см. свойства в (2)) следует, что для неизвестной функции выполняется условие непрерывного сопряжения . Следовательно, учитывая формулу (6), получаем условия на коэффициенты Фурье от неизвестной функции:
(16)
Положим
Тогда с учетом формулы (6) из условий в (3) получаем
(17)
(18)
С помощью условия непрерывного сопряжения (16) из (14) и (15) получаем соотношение
Чтобы найти неизвестные коэффициенты интегрирования и в (15), воспользуемся условиями (17) и (18); получим следующую систему линейных алгебраических уравнений:
(19)
где . При выполнении условия
(20)
система (19) однозначно разрешима относительно и . Решая ее, приходим к следующим представлениям для неизвестных коэффициентов:
Подставим полученные данные в (15); с учетом того, что в (14), получаем следующие представления для коэффициентов Фурье основных неизвестных функций в положительной и отрицательной частях области:
(21)
(22)
где
Согласно методу Фредгольма для вырожденного ядра, подставим (21) и (22) в (11):
(23)
(24)
где
Решим линейные алгебраические уравнения (23) и (24) как систему алгебраических уравнений относительно величин и . Если выполняются условия
(25)
то из (23) и (24) получим
(26)
(27)
где
Подставляя (26) и (27) в (21) и (22), при получим
(28)
а при —
(29)
где
Подставляя представление (28) в ряд Фурье (5), получим следующее формальное решение задачи (1)–(4) при :
(30)
Подставляя представление (29) в ряд Фурье (5), получим следующее формальное решение задачи (1)–(4) при :
(31)
Рассмотрим интегралы, присутствующие в составе рядов (30) и (31). В представлениях (28) и (29) положим :
Отсюда следует, что . Поэтому ряды (30) и (31) можно переписать в следующем виде:
(32)
(33)
Теперь предположим, что условие (20) нарушается при некоторых значениях спектрального параметра . Тогда будем рассматривать следующее алгебраическое уравнение относительно спектрального параметра :
(34)
Множество положительных решений этого алгебраического уравнения (35) относительно спектрального параметра обозначим через . Указанные значения назовем иррегулярными; для таких значений условие (20) нарушается. Множество называется множеством регулярных значений спектрального параметра ; для таких регулярных значений условие (20) выполняется.
Теперь предположим, что условия в (25) нарушаются:
Имеем
Для регулярных значений имеют место неравенства
Множество обозначим через . Тогда множество называется множеством регулярных значений спектрального параметра . Для всех значений условия (25) выполняются. Введем обозначение
где — множество натуральных чисел. Это множество, в котором все значения спектральных параметров и регулярны. Для таких регулярных значений параметра решения задачи (1)–(4) в подобластях и представляются в виде рядов (32) и (33) соответственно.
3. Сходимость рядов (32) и (33). Для установления единственности решения задачи (1)–(4) предположим, что существуют два решения этой задачи и . Тогда их разность также является решением интегро-дифференциального уравнения (1), удовлетворяющим условиям (2)–(4) с функциями (). Тогда для () из формул (32) и (33) в области следует, что
Следовательно, в силу полноты системы собственных функций
в пространстве , заключаем, что для всех и . Следовательно, при регулярных значениях спектральных параметров и функция является единственным решением интегро-дифференциального уравнения смешанного типа (1) с условиями (2)–(4), если эта функция существует в области .
Воспользуемся пространством суммируемых функций в области с нормой
Условия гладкости. Пусть функции
имеют кусочно непрерывные производные пятого порядка в области .
Интегрируя по частям пять раз по всем переменным , получим следующие формулы (см. [43]):
(35)
где
Для этих функций имеют место неравенства Бесселя:
(36)
(37)
Также используем следующие известные свойства функции Миттаг-Леффлера: [1.]
- Для всех , , , функция является полной, монотонной и имеет место оценка
(38)
- Для всех , и , справедливы следующие оценки
(39)
(40)
где не зависит от , , , .
Используя условия гладкости, докажем, что при регулярных значениях спектральных параметров и ряды (32) и (33) сходятся абсолютно и равномерно; при этом возможно их почленное дифференцирование.
Согласно свойствам (38) и (39) функции Миттаг-Леффлера, функции () и () равномерно ограничены на отрезке . Тогда для всех положительных целых чисел существуют такие постоянные (), что справедливы следующие оценки:
(41)
где , .
Применяя оценки (41), формулу (35), неравенство Коши–Буняковского и неравенства Бесселя (36) и (37) к рядам (32) и (33), получаем
(42)
где
(43)
где
Из оценок (42) и (43) следует, что ряды (32) и (33) сходятся абсолютно и равномерно в области при . Поэтому при таких чисел функций (32) и (33) можно нужное число раз формально дифференцировать в области :
(44)
(45)
(46)
(47)
Аналогичным образом в области определяются разложения в ряды Фурье следующих функций:
Сходимость рядов (44) и (45) доказывается аналогично доказательству сходимости рядов (32) и (33). Поэтому достаточно показать сходимость рядов (46) и (47). Принимая во внимание формулы (35)–(37) и оценки (41) и применяя неравенство Коши–Буняковского, получаем
где
где
Аналогично доказывается сходимость рядов Фурье в области для следующих функций:
Отсюда следует, что функции (32) и (33) обладают свойствами (2) для регулярных значений спектральных параметров и .
4. Непрерывная зависимость решения от малого параметра. Рассматривается непрерывная зависимость решения задачи (1)–(4) от малых параметров () при регулярных значениях спектральных параметров и . Пусть и — два разных значения первого малого положительного параметра . С помощью оценок (38)–(40) легко проверить, что верны следующие оценки:
(48)
(49)
где , , , .
Далее, учитывая формулу (35), оценки (48), (49) и применяя неравенство Коши–Буняковского и неравенства Бесселя (36) и (37), из рядов (32) и (33) получаем
(50)
где
(51)
где
Из оценок (50) и (51) следует, что мало, если мало в области при .
Аналогично доказывается, что решение задачи (1)–(4) непрерывно зависит от второго малого параметра и от заданных функций , .
5. Заключение и формулировка теоремы. В данной работе исследованы вопросы однозначной разрешимости задачи (1)–(4) для нагруженного интегро-дифференциального уравнения смешанного типа с операторами Герасимова–Капуто различных дробных порядков, спектральными параметрами и малым параметром при смешанных производных в многомерной прямоугольной области . Для доказаны некоторые утверждения при выполнении условий гладкости: пусть функции
имеют кусочно непрерывные производные пятого порядка в области .
Сформулируем теорему доказанную в данной работе.
Теорема. Пусть выполняются условия гладкости. Тогда для всевозможных натуральных чисел и для всех регулярных значений параметров и из множества граничная задача (1)–(4) однозначно разрешима в области , а её решение представляется в виде рядов Фурье (32) и (33) в соответствующих подобластях. Данное решение задачи (1)–(4) непрерывно зависит от заданных функций , . Кроме того, имеет место предельное равенство
где — решение дробного интегро-дифференциального уравнения смешанного типа вида
где
при граничных условиях (3) и (4),
Об авторах
Турсун Камалдинович Юлдашев
Национальный университет Узбекистана им. М. Улугбека
Автор, ответственный за переписку.
Email: tursun.k.yuldashev@gmail.com
Россия, Ташкент
Эркинжон Тулкинович Каримов
Институт математики имени В. И. Романовского Академии наук Республики Узбекистан
Email: erkinjon.karimov@mathinst.uz
Россия, Ташкент
Список литературы
- Абдуллаев О. Х. Нелокальная задача для нагруженного уравнения смешанного типа с интегральным оператором // Вестн. Самар. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. – 2016. – 20, № 2. – С. 220–240.
- Абдуллаев О. Х. Об одной задаче для уравнения параболо-гиперболического типа с нелинейной нагруженной частью // Итоги науки и техн. Сер. Совр. мат. прилож. Темат. обз. – 2020. – 176. – С. 121–128.
- Аттаев А. Х. Краевые задачи с характеристическими носителями для нагруженных вырождающихся гиперболических уравнений / Дисс. на соиск. уч. степ. канд. физ.-мат. наук. – Нальчик, 1989.
- Бозиев О. Л. Краевые задачи для некоторых классов нагруженных уравнений гиперболического типа / Дисс. на соиск. уч. степ. канд. физ.-мат. наук. – Нальчик, 2000.
- Борисов В. Н., Нахушев А. М. Краевые задачи для нагруженных параболических уравнений и их приложения к прогнозу уровня грунтовых вод // Диффер. уравн. – 1977. – 13, № 1. – С. 105–110.
- Бородин A. B. Дифференцируемость по параметру решений нелинейно нагруженных краевых задач для уравнений в частных произволных второго порядка // Диффер. уравн. – 1979. – 15, № 1. – С. 18–26.
- Гельфанд И. М. Некторые вопросы анализа и дифференциальных уравнений // Усп. мат. наук. – 1959. – 14, № 3 (87). – С. 3–19.
- Геккиева С. Х. Краевые задачи для нагруженных параболических уравнений с дробной производной по времени / Дисс. на соиск. уч. степ. канд. физ.-мат. наук. – Нальчик, 2003.
- Дженалиев М. Т. К теории линейных краевых задач для нагруженных дифференциальных уравнений. – Алматы: Гылым, 1995.
- Зарубин А. Н. Краевая задача для дифференциально-разностного смешанно-составного уравнения с дробной производной, функциональным запаздыванием и опережением // Диффер. уравн. – 2019. – 55, № 2. – С. 217–226.
- Казиев В. М. О задаче Дарбу для одного нагруженного интегро-дифференциального уравнения второго порядка // Диффер. уравн. – 1978. – 14, № 1. – С. 181–185.
- Кожанов А. И. Об одном нелинейном нагруженном параболическом уравнении и о связанной с ним обратной задаче // Мат. заметки. – 2004. – 76, № 6. – С. 840–853.
- Нахушев A. M. О задаче Дарбу для одного вырождающегося нагруженного интегро-дифференциального уравнения второго порядка // Диффер. уравн. – 1976. – 12, № 1. – С. 103–108.
- Нахушев A. M. Нелокальная задача и задача Гурса для нагруженного уравнения гиперболического типа и их приложения к прогнозу почвенной влаги // Докл. АН СССР. – 1978. – 242, № 5. – С. 1008–1011.
- Нахушев A. M. Краевые задачи для нагруженного интегро-дифференциального уравнения гиперболического типа и некоторые их приложения к прогнозу почвенной влаги // Диффер. уравн. – 1979. – 15, № 1. – С. 96–105.
- Нахушев A. M. Нагруженные уравнения и их приложения // Диффер. уравн. –1983. – 19, № 1. – С. 86–94.
- Репин О. А. Нелокальная задача с операторами Сайго для уравнения смешанного типа третьего порядка // Изв. вузов. Мат. – 2019. – 1. – С. 63–68.
- Репин О. А. Об одной задаче для уравнения смешанного типа с дробной производной // Изв. вузов. Мат. – 2018. – 8. – С. 46–51.
- Уфлянд Я. С. О распространении колебаний в сложных электрических линиях // Инж.-физ. ж. – 1964. – 7, № 1. – С. 89–92.
- Юлдашев Т. К. Нелокальная краевая задача для нелинейного интегро-дифференциального уравнения Фредгольма с вырожденным ядром // Диффер. уравн. –2018. – 54, № 12. – С. 1687–1694.
- Юлдашев Т. К. О разрешимости краевой задачи для обыкновенного интегро-дифференциального уравнения Фредгольма с вырожденным ядром // Ж. вычисл. мат. мат. физ. – 2019. – 59, № 2. – С. 252–263.
- Юлдашев Т. К. Спектральные особенности решений краевой задачи для интегро-дифференциального уравнения Фредгольма второго порядка с отражением аргумента // Изв. Ин-та мат. информ. Удмурт. ун-та. – 2019. – 54. – С. 122–134.
- Abdullaev O. Kh., Sadarangani K. Nonlocal problems with integral gluing condition for loaded mixed-type equations involving the Caputo fractional derivative // Electron. J. Differ. Equations. – 2016. – 164.
- Agarwal P., Berdyshev A. S., Karimov E. T. Solvability of a nonlocal problem with integral transmitting condition for mixed type equation with Caputo fractional derivative // Results Math. – 2017. – 71, № 3. – P. 1235–1257.
- Assanova A. T., Imanchiyev A. E., Kadirbayeva Zh. M. A nonlocal problem for loaded partial differential equations of fourth order // Вестн. Караганд. ун-та. Мат. – 2020. – № 1 (97). – С. 6–16.
- Area I., Batarfi H., Losada J., Nieto J. J., Shammakh W., Torres A. On a fractional order Ebola epidemic model // Adv. Difference Equations. – 2015. – 278.
- Hussain A., Baleanu D., Adeel M. Existence of solution and stability for the fractional order novel coronavirus (nCoV-2019) model // Adv. Difference Equations. – 2020. – 384.
- Karimov E. T., Al-Salti N., Kerbal S. An inverse source non-local problem for a mixed-type equation with a Caputo fractional differential operator // East-Asian J. Appl. Math. – 2017. – 7, № 2. – P. 417–438.
- Karimov E. T., Kerbal S., Al-Salti N. Inverse source problem for multi-term fractional mixed-type equation // in: Advances in Real and Complex Analysis with Applications. – Singapore: Springer Nature, 2017. – P. 289–301.
- Kumar D., Baleanu D. Fractional calculus and its applications in physics // Front. Phys. 2019. – 7, № 6. – 81.
- Mainardi F. Fractional calculus: Some basic problems in continuum and statistical mechanics // in: Fractals and Fractional Calculus in Continuum Mechanics (Carpinteri A., Mainardi F., eds.). – Wien: Springer, 1997.
- Patnaik S., Hollkamp J. P., Semperlotti F. Applications of variable-order fractional operators: A review // Proc. Roy. Soc. A. – 2020. – 476. – 20190498.
- Salakhitdinov M. S., Karimov E. T. Uniqueness of an inverse source non-local problem for fractional-order mixed-type equations // Eurasian Math. J. – 2016. – 7, № 1. – P. 74–83.
- Samko S. G., Kilbas A. A., Marichev O. I. Fractional Integrals and Derivatives. Theory and Applications. – Yverdon: Gordon & Breach, 1993.
- Sandev T., Tomovski Z. Fractional Equations and Models: Theory and Applications. – Cham, Switzerland: Springer Nature, 2019.
- Saxena R. K., Garra R., Orsingher E. Analytical solution of space-time fractional telegraph-type equations involving Hilfer and Hadamard derivatives // Integral Transform. Spec. Funct. – 2016. – 21, № 1. – P. 30–42.
- Sun H., Chang A., Zhang Y., Chen W. A review on variable-order fractional differential equations: Mathematical foundations, physical models, numerical methods, and applications // Fract. Calc. Appl. Anal. – 2019. – 22, № 1. – P. 27–59.
- Tenreiro Machado J. A. Handbook of Fractional Calculus with Applications. – Berlin–Boston: De Gruyter, 2019.
- Terlyga O., Bellout H., Bloom F. A hyperbolic-parabolic system arising in pulse combustion: Existence of solutions for the linearized problem // Electron. J. Differ. Equations. – 2013. – 46.
- Ullah S., Khan M. A., Farooq M., Hammouch Z., Baleanu D. A fractional model for the dynamics of tuberculosis infection using Caputo–Fabrizio derivative // Discr. Cont. Dynam. Syst. Ser. S. – 2020. – 13, № 3. – P. 975–993.
- Yuldashev T. K. On an integro-differential equation of pseudoparabolic-pseudohyperbolic type with degenerate kernels // Proc. Yerevan Univ. Phys. Mat. Sci. – 2018. – 52, № 1. – P. 19–26.
- Yuldashev T. K. Nonlocal inverse problem for a pseudohyperbolic-pseudoelliptic type integro-differential equations // Axioms. – 2020. – 9, № 2. – 45.
- Yuldashev T. K. On a boundary-value problem for Boussinesq-type nonlinear integro-differential equation with reflecting argument // Lobachevskii J. Math. – 2020. – 41, № 1. – P. 111–123.
- Yuldashev T. K., Islomov B. I., Alikulov E. K. Boundary-value problems for loaded third-order parabolic-hyperbolic equations in infinite three-dimensional domains // Lobachevskii J. Math. – 2020. – 41, № 5. – P. 926–-944.
- Yuldashev T. K., Kadirkulov B. J. Boundary-value problem for weak nonlinear partial differential equations of mixed-type with fractional Hilfer operator // Axioms. – 2020. – 9, № 2. – 68.
- Yuldashev T. K., Kadirkulov B. J. Nonlocal problem for a mixed type fourth-order differential equation with Hilfer fractional operator // Ural Math. J. – 2020. – 6, № 1. – P. 153–167.
Дополнительные файлы
