Об одном нагруженном интегро-дифференциальном уравнении смешанного типа с дробными операторами Герасимова—Капуто

Обложка

Цитировать

Полный текст

Аннотация

Рассмотрены вопросы однозначной разрешимости краевой задачи для нагруженного интегро-дифференциального уравнения смешанного типа с дробными операторами Герасимова—Капуто, спектральными параметрами и малыми параметрами при смешанных производных. Решение задачи получено в виде рядов Фурье. Доказана однозначная разрешимость задачи для регулярных значений спектральных параметров. Изучена непрерывная зависимость решения краевой задачи от малых параметров и от заданных функций при регулярных значениях спектральных параметров.

Полный текст

1. Постановка задачи. Математическое моделирование многих процессов, происходящих в реальном мире, приводит к изучению смешанных и краевых задач для уравнений в частных производных. Поэтому теория краевых задач в настоящее время является одним из важнейших разделов теории дифференциальных уравнений. Сегодня бурно развивается теория нагруженных дифференциальных уравнений с локальными и нелокальными краевыми условиями. Изучению этого раздела теории дифференциальных уравнений посвящено большое количество работ (см., например, [1–6, 8, 9, 11–16, 25, 44]).

Дробное исчисление играет важную роль в математическом моделировании во многих научных и инженерных дисциплинах (см. [34]). Так, в [31] рассматриваются некоторые основные проблемы сплошной среды и статистической механики; в [26] изучаются математические проблемы модели эпидемии Эболы; в [27, 40] изучается фракционная модель динамики туберкулезной инфекции и нового коронавируса (nCoV-2019), соответственно. Построение различных моделей задач теоретической физики с помощью дробного исчисления описано в [38, vols. 4, 5], [30, 37]. В [36] рассматривается конкретная физическая интерпретация дробных производных Хильфера и Герасимова–Капуто, описывающая случайное движение частицы, движущейся по действительной прямой с временами шага Пуассона с конечной скоростью. Подробный обзор применения дробного исчисления при решении прикладных задач приведен в [38, vol. 6-8], [32, 35].

Приложения для уравнений смешанного типа изучались в [7, 19, 39]. В частности, в [7] И. М. Гельфанд рассматривал пример движения газа в канале, окруженном пористой средой, причем движение газа в канале описывалось волновым уравнением, а вне канала — уравнением диффузии. Я. С. Уфлянд в [19] рассмотрел задачу о распространении электрических колебаний в составных линиях, когда потери на полубесконечной линии не учитывались, а остальная часть линии трактовалась как кабель без утечки. Он свел эту задачу к уравнению смешанного параболо-гиперболического типа. В [39] исследована гиперболо-параболическая система, возникающая при импульсном горении. Дробные дифференциальные уравнения смешанного типа изучаются во многих работах, в частности в [10, 17, 18, 23, 24, 28, 29, 33, 45, 46].

Одним из важных разделов теории интегральных и дифференциальных уравнений является теория интегро-дифференциальных уравнений. Наличие интегрального члена в дифференциальных уравнениях первого и второго порядков играет важную роль в теории динамических систем с автоматическим управлением (см. [20, 21]). Интегро-дифференциальные уравнения смешанного типа целого порядка с вырожденными ядрами и спектральными параметрами изучены в [41, 42].

В данной работе исследуются вопросы однозначной разрешимости краевой задачи для нагруженного интегро-дифференциального уравнения смешанного типа с дробными операторами Герасимова–Капуто и спектральными параметрами в многомерной прямоугольной области. Отметим, что краевые задачи для интегро-дифференциальных уравнений со спектральными параметрами имеют особенности при исследовании вопросов однозначной разрешимости (см. [22, 43]).

В основе настоящего исследования лежат дифференциальные операторы, которые относительно первого аргумента являются операторами Герасимова–Капуто дробного порядка 0<α<1, а относительно других аргументов являются частными дифференциальными операторами четвертого порядка. Оператор Герасимова–Капуто дробного порядка m1<α<m имеет вид

CDatαf(t)=1Γ(mα)at(ts)mα1f(m)(s)ds,

где Γ(z) — гамма-функция Эйлера.

В многомерной области Ω={T<t<T,0<x1,,xm<l} рассматривается следующее нагруженное интегро-дифференциальное уравнение дробного порядка:

Aε(U)B1,ω(U)=ν0TK1(t,s)U(s,x)ds+F1(t,x),t>0,νT0K2(t,s)U(s,x)ds+F2(t,x),t<0, (1)

где

 Fi(t,x)=ki(t)fix,ΩlmΘi(y)U(0,y)dy,i=1,2,

Aε(U)=1+sgn(t)2CD0tα1i=1mε12xixiε24xixixixiCD0tβ1U(t,x)+

+1sgn(t)2CD0tα2i=1mε12xixiε24xixixixiCD0tβ2U(t,x),

 B1,ω(U)=i=1m(UxixiUxixixixi),t>0,ω2i=1m(UxixiUxixixixi),t<0,

T и l — положительные числа, ω — положительный параметр, ε1, ε2 — положительные малые параметры, ν — действительный параметр, отличный от нуля, 0Kj(t,s)=aj(t)bj(s) — вырожденное ядро, aj(t)C2[T;T], bj(s)C[T;T], fiCx2(Ωlm×),

 Ωlm|Θi(y)|dy<,Ωlm|Θi(y)|dy=0l0l|Θi(y)|dy1dym,i,j=1,2,

k1(t)C2[0;T],k2(t)C2[T;0],(;),

xΩlm[0;l]m,0<β1<α11,1<β2<α22.

Будем изучать следующую задачу.

Задача. Найти в области Ω неизвестную функцию U(t,x), принадлежащую классу функций

U(t,x)C(Ω¯)Cα1,4(Ω+)Cα2,4(Ω)Ct,xα1+4(Ω+)Ct,xα2+4(Ω)

 Ct,x1,x2,,xmα1+4+0++0(Ω+)Ct,x1,x2,,xmα2+4+0++0(Ω)Ct,x1,x2,x3,,xmα1+0+4+0++0(Ω+)

Ct,x1,x2,x3,,xmα2+0+4+0++0(Ω)Ct,x1,,xm1,xmα1+0++0+4(Ω+)Ct,x1,,xm1,xmα2+0++0+4(Ω) (2)

и удовлетворяющую смешанному интегро-дифференциальному уравнению (1) и следующим граничным условиям:

U(T,x)=φ1(x),CD0tθU(T,x)=φ2(x),xΩlm, (3)

U(t,0)=U(t,l)=Uxx(t,0)=Uxx(t,l)=0,T<t<T, (4)

где 0<θ<1, φi(x) — гладкие функции, Fi(t,0)=Fi(t,l)=0, φi(0)=φi(l)=0, i=1,2, Cr(Ω) — класс функций U(t,x1,,xm) с непрерывными производными

rUtr,rUx1r,,rUxmr

в области Ω, Ct,xr,s(Ω) — класс функций U(t,x1,,xm) с непрерывными производными

rUtr,sUx1s,,sUxms

в области Ω, Ct,x1,x2,,xmr+r+0++0(Ω) — класс функций U(t,x1,,xm) с непрерывными производными 2rU/trx1r в области Ω и т. д.; Ct,x1,,xm1,xmr+0++0+r(Ω) — класс функций U(t,x1,,xm) с непрерывной производной 2rU/trxmr в области Ω, r, s — положительные числа,

Ω¯={TtT,xΩlm},

 Ω={T<t<0,0<x1,,xm<l},Ω+={0<t<T,0<x1,,xm<l}.

2. Разложение решение задачи (1)–(4) в ряд Фурье. Исходя из характера задания спектральных условий (4), решение нагруженного интегро-дифференциального уравнения (1) в области Ω будем разыскивать в виде ряда Фурье по синусам

U(t,x)=n1,,nm=1un1,,nm±(t)ϑn1,,nm(x), (5)

где

un1,,nm±(t)=un1,,nm+(t)=ΩlmU(t,x)Jn1,,nm(x)dx,t>0,un1,,nm-(t)=ΩlmU(t,x)Jn1,,nm(x)dx,t<0, (6)

ΩlmU(t,x)ϑn1,,nm(x)dx=0l0lU(t,x)ϑn1,,nm(x)dx1dxm,

ϑn1,,nm(x)=2lmsinπn1lx1sinπnmlxm,n1,,nm=1,2,

Предположим также, что имеет место следующее разложение в ряд Фурье:

fi(x,Vi)=n1,,nm=1fin1,,nm(Vi)ϑn1,,nm(x), (7)

где

fin1,,nm(Vi)=Ωlmfi(y,Vi)ϑn1,,nm(y)dy,fi(y,Vi)=fiy,ΩlmΘi(z)U(0,z)dz,i=1,2.

Подставляя ряды (5) и (7) в смешанное уравнение (1), получаем две счетные системы обыкновенных интегро-дифференциальных уравнений дробного порядка с вырожденными ядрами:

CD0tα1un1,,nm+(t)+

 +μn1,,nm2ε1+ε2μn1,,nm2CD0tβ1un1,,nm+(t)+μn1,,nm21+μn1,,nm2un1,,nm+(t)=

=ν0Ta1(t)b1(s)un1,,nm+(s)ds+F1n1,,nm(t),t>0, (8)

CD0tα2un1,,nm(t)+

+μn1,,nm2ε1+ε2μn1,,nm2CD0tβ2un1,,nm(t)+μn1,,nm2ω2+μn1,,nm2un1,,nm(t)=

 =νT0a2(t)b2(s)un1,,nm(s)ds+F2n1,,nm(t),t<0, (9)

где

μn1,,nm=πln12++nm2,Fin1,,nm(t)=ki(t)fin1,,nm(Vi),i=1,2. (10)

Будем использовать метод Фредгольма для вырожденного ядра. Введя обозначения

τn1,,nm+=0Tb1(s)un1,,nm+(s)ds,τn1,,nm=T0b2(s)un1,,nm(s)ds, (11)

представим счетные системы обыкновенных интегро-дифференциальных уравнений (8) и (9) в следующем виде:

CD0tα1un1,,nm+(t)+

+μn1,,nm2ε1+ε2μn1,,nm2CD0tβ1un1,,nm+(t)+μn1,,nm21+μn1,,nm2un1,,nm+(t)=

=νa1(t)τn1,,nm++F1n1,,nm(t),t>0, (12)

CD0tα2un1,,nm(t)+

+μn1,,nm2ε1+ε2μn1,,nm2CD0tβ2un1,,nm(t)+μn1,,nm2ω2+μn1,,nm2un1,,nm(t)=

 =νa2(t)τn1,,nm+F2n1,,nm(t),t<0. (13)

Решения счетных систем (12) и (13), удовлетворяющие условиям

un1,,nm+(0)=C1n1,,nm+,un1,,nm(0)=C1n1,,nm,ddtun1,,nm(0)=C2n1,,nm,

представим следующим образом:

2un1,,nm+(t)=ντn1,,nm+Ψ11n1,,nm(t)+Ψ12n1,,nm(t)+C1n1,,nm+Ψ13n1,,nm(t),t>0, (14)

un1,,nm(t)=ντn1,,nmΨ21n1,,nm(t,ω)+Ψ22n1,,nm(t,ω)+

     +C1n1,,nmΨ23n1,,nm(t,ω)C2n1,,nmΨ24n1,,nm(t,ω),t<0, (15)

где C1n1,,nm+, Cin1,,nm (i=1,2) — неизвестные коэффициенты интегрирования, которые будут однозначно найдены в дальнейших вычислениях,

Ψ11n1,,nm(t)=0ta1(ts)sα11×

×E(α1β1,α1),α1(μn1,,nm2ε1+ε2μn1,,nm2sα1β1,μn1,,nm21+μn1,,nm2sα1)ds,

Ψ12n1,,nm(t)=0tF1n1,,nm(ts)sα11×

×E(α1β1,α1),α1(μn1,,nm2ε1+ε2μn1,,nm2sα1β1,μn1,,nm21+μn1,,nm2sα1)ds,

Ψ13n1,,nm(t)=E(α1β1,α1),1μn1,,nm2ε1+ε2μn1,,nm2tα1β1,μn1,,nm21+μn1,,nm2tα1,

Ψ21n1,,nm(t,ω)=t0a2(st)(s)α21Ψ25n1,,nm(t,ω)ds,

Ψ22n1,,nm(t,ω)=t0F2n1,,nm(st)(s)α21Ψ25n1,,nm(t,ε,ω)ds,

Ψ23n1,,nm(t,ω)=

=E(α2β2,α2),1(μn1,,nm2ε1+ε2μn1,,nm2(t)α2β2,μn1,,nm2ω2+μn1,,nm2(t)α2),

Ψ24n1,,nm(t,ω)=

=tE(α2β2,α2),2(μn1,,nm2ε1+ε2μn1,,nm2(t)α2β2,μn1,,nm2ω2+μn1,,nm2(t)α2),

Ψ25n1,,nm(t,ω)=

=E(α2β2,α2),α2(μn1,,nm2ε1+ε2μn1,,nm2(s)α2β2,μn1,,nm2ω2+μn1,,nm2(s)α2).

Через E(α,β),γ(z1,z2) обозначена функция Миттаг-Леффлера двух переменных:

E(α,β),γ(z1,z2)=m1,m2=0z1m1z2m2Γ(γ+αm1+βm2),

где zi,α,β,γ, Re(α)>0, Re(β)>0.

Из постановки задачи (см. свойства в (2)) следует, что для неизвестной функции выполняется условие непрерывного сопряжения U(0+0,x)=U(00,x). Следовательно, учитывая формулу (6), получаем условия на коэффициенты Фурье от неизвестной функции:

un1,,nm+(0+0)=ΩlmU(0+0,x)ϑn1,,nm(x)dx==ΩlmU(00,x)ϑn1,,nm(x)dx=un1,,nm(00). (16)

Положим

φin1,,nm=Ωlmφi(x)ϑn1,,nm(x)dx,i=1,2.

Тогда с учетом формулы (6) из условий в (3) получаем

un1,,nm(T)=ΩlmU(T,x)ϑn1,,nm(x)dx=Ωlmφ1(x)ϑn1,,nm(x)dx=φ1n1,,nm, (17)

CD0tθun1,,nm(T)=ΩlmCD0tθU(T,x)ϑn1,,nm(x)dx=

=Ωlmφ2(x)ϑn1,,nm(x)dx=φ2n1,,nm. (18)

С помощью условия непрерывного сопряжения (16) из (14) и (15) получаем соотношение

C1n1,,nm+=C1n1,,nm.

Чтобы найти неизвестные коэффициенты интегрирования C1n1,,nm и C2n1,,nm в (15), воспользуемся условиями (17) и (18); получим следующую систему линейных алгебраических уравнений:

ντn1,,nmΨ21n1,,nm(T,ω)+Ψ22n1,,nm(T,ω)+    +C1n1,,nmΨ23n1,,nm(T,ω)C2n1,,nmΨ24n1,,nm(T,ω)=φ1n1,,nm,ντn1,,nmD0tθΨ21n1,,nm(T,ω)+D0tθΨ22n1,,nm(T,ω)+    +C1n1,,nmD0tθΨ23n1,,nm(T,ω)C2n1,,nmD0tθΨ24n1,,nm(T,ω)=φ2n1,,nm, (19)

где D0tθΨ(T)D0tθΨ(t)|t=T. При выполнении условия

σn1,,nm(ω)=Ψ24n1,,nm(T,ω)D0tθΨ23n1,,nm(T,ω)

Ψ23n1,,nm(T,ω)D0tθΨ24n1,,nm(T,ω)0 (20)

система (19) однозначно разрешима относительно C1n1,,nm и C2n1,,nm. Решая ее, приходим к следующим представлениям для неизвестных коэффициентов:

C1n1,,nm=1σn1,,nm(ω)×

×[φ1n1,,nmD0tθΨ24n1,,nm(T,ω)+φ2n1,,nmΨ24n1,,nm(T,ω)ντn1,,nm×

×Ψ24n1,,nm(T,ω)D0tθΨ21n1,,nm(T,ω)Ψ21n1,,nm(T,ω)D0tθΨ24n1,,nm(T,ω)+

+Ψ22n1,,nm(T,ω)D0tθΨ24n1,,nm(T,ω)Ψ24n1,,nm(T,ω)D0tθΨ22n1,,nm(T,ω)],

C2n1,,nm=1σn1,,nm(ω)×

×[φ1n1,,nmD0tθΨ23n1,,nm(T,ω)+φ2n1,,nmΨ23n1,,nm(T,ω)ντn1,,nm×

×Ψ23n1,,nm(T,ω)D0tθΨ21n1,,nm(T,ω)Ψ21n1,,nm(T,ω)D0tθΨ23n1,,nm(T,ω)+

+Ψ22n1,,nm(T,ω)D0tθΨ23n1,,nm(T,ω)Ψ23n1,,nm(T,ω)D0tθΨ22n1,,nm(T,ω)].

Подставим полученные данные в (15); с учетом того, что C1n1,,nm+=C1n1,,nm в (14), получаем следующие представления для коэффициентов Фурье основных неизвестных функций в положительной и отрицательной частях области:

un1,,nm+(t,ω,ν)=[φ1n1,,nm+φ2n1,,nm]N11n1,,nm(t,ω)+

+ντn1,,nm+N12n1,,nm(t)ντn1,,nmN13n1,,nm(t,ω)+

+f1n1,,nm(V1)N14n1,,nm(t)+f2n1,,nm(V2)N15n1,,nm(t,ω),t>0, (21)

un1,,nm(t,ω,ν)=φ1n1,,nmN21n1,,nm(t,ω)+φ2n1,,nmN22n1,,nm(t,ω)+

+ντn1,,nmN23n1,,nm(t,ω)+f2n1,,nm(V2)N24n1,,nm(t,ω),t<0, (22)

где

N11n1,,nm(t,ω)=1σn1,,nm(ω)Ψ13n1,,nm(t)Ψ24n1,,nm(T,ω),N12n1,,nm(t)=Ψ11n1,,nm(t),

N13n1,,nm(t,ω)=1σn1,,nm(ω)[Ψ24n1,,nm(T,ω)D0tθΨ21n1,,nm(T,ω)

Ψ21n1,,nm(T,ω)D0tθΨ24n1,,nm(T,ω)]Ψ13n1,,nm(t),

N14n1,,nm(t)=Ψ¯12n1,,nm(t),

N15n1,,nm(t,ω)=1σn1,,nm(ω)[Ψ¯22n1,,nm(T,ω)D0tθΨ24n1,,nm(T,ω)

Ψ24n1,,nm(T,ω)D0tθΨ¯22n1,,nm(T,ω)]Ψ13n1,,nm(t),

N21n1,,nm(t,ω)=1σn1,,nm(ω)[Ψ23n1,,nm(t,ω)D0tθΨ24n1,,nm(T,ω)

Ψ24n1,,nm(t,ω)D0tθΨ23n1,,nm(T,ω)],

N22n1,,nm(t,ω)=1σn1,,nm(ω)[Ψ23n1,,nm(t,ω)Ψ24n1,,nm(T,ω)+

+Ψ24n1,,nm(t,ω)Ψ23n1,,nm(T,ω)],

N23n1,,nm(t,ω)=Ψ21n1,,nm(t,ω)

1σn1,,nm(ω)[Ψ24n1,,nm(T,ω)D0tθΨ21n1,,nm(T,ω)

Ψ21n1,,nm(T,ω)D0tθΨ24n1,,nm(T,ω)]Ψ23n1,,nm(t,ω)+

+1σn1,,nm(ω)[Ψ23n1,,nm(T,ω)D0tθΨ21n1,,nm(T,ω)

Ψ21n1,,nm(T,ω)D0tθΨ23n1,,nm(T,ω)]Ψ24n1,,nm(t,ω),

N24n1,,nm(t,ω)=Ψ¯22n1,,nm(t,ω)+

+1σn1,,nm(ω)[Ψ¯22n1,,nm(T,ω)D0tθΨ24n1,,nm(T,ω)

Ψ24n1,,nm(T,ω)D0tθΨ¯22n1,,nm(T,ω)]Ψ23n1,,nm(t,ω)+

+1σn1,,nm(ω)[Ψ¯22n1,,nm(T,ω)D0tθΨ23n1,,nm(T,ω)

Ψ23n1,,nm(T,ω)D0tθΨ¯22n1,,nm(T,ω)]Ψ24n1,,nm(t,ω),

Ψ¯12n1,,nm(t)=

=0tk1(ts)sα11E(α1β1,α1),α1(μn1,,nm2ε1+ε2μn1,,nm2sα1β1,μn1,,nm2sα1)ds,

Ψ¯22n1,,nm(t,ω)=t0k2(st)(s)α21Ψ25n1,,nm(t,ω)ds.

Согласно методу Фредгольма для вырожденного ядра, подставим (21) и (22) в (11):

τn1,,nm+[1νχ12n1,,nm(ω)]+ντn1,,nmχ13n1,,nm(ω)=

=[φ1n1,,nm+φ2n1,,nm]χ11n1,,nm(ω)+f1n1,,nm(V1)χ14n1,,nm(ω)+

+f2n1,,nm(V2)χ15n1,,nm(ω), (23)

τn1,,nm[1νχ23n1,,nm(ω)]=φ1n1,,nmχ21n1,,nm(ω)+φ2n1,,nmχ22n1,,nm(ω)+

+f2n1,,nm(V2)χ24n1,,nm(ω), (24)

где

2χ1in1,,nm(ω)=0Tb1(s)N1in1,,nm(s,ω)ds,i=1,5¯,

χ2in1,,nm(ω)=T0b2(s)N2in1,,nm(s,ω)ds,i=1,4¯.

Решим линейные алгебраические уравнения (23) и (24) как систему алгебраических уравнений относительно величин τn1,,nm+ и τn1,,nm. Если выполняются условия

νχ12n1,,nm(ω)1,νχ23n1,,nm(ω)1, (25)

 то из (23) и (24) получим

τn1,,nm+=φ1n1,,nmM11n1,,nm(ω)+φ2n1,,nmM12n1,,nm(ω)+

+f1n1,,nm(V1)M13n1,,nm(ω)+f2n1,,nm(V2)M14n1,,nm(ω), (26)

τn1,,nm=φ1n1,,nmM21n1,,nm(ω)+φ2n1,,nmM22n1,,nm(ω)+

+f2n1,,nm(V2)M23n1,,nm(ω), (27)

где

M1in1,,nm(ω)=11νχ12n1,,nm(ω)χ11n1,,nm(ω)νχ13n1,,nm(ω)χ2in1,,nm(ω)1νχ23n1,,nm(ω),i=1,2,

M13n1,,nm(ω)=χ14n1,,nm(ω)1νχ12n1,,nm(ω),

M14n1,,nm(ω)=11νχ12n1,,nm(ω)χ15n1,,nm(ω)νχ13n1,,nm(ω)χ24n1,,nm(ω)1νχ23n1,,nm(ω),

M2in1,,nm(ω)=χ2in1,,nm(ω)1νχ23n1,,nm(ω),i=1,2,

M23n1,,nm(ω)=χ24n1,,nm(ω)1νχ23n1,,nm(ω).

Подставляя (26) и (27) в (21) и (22), при t>0 получим

un1,,nm+(t,ω,ν)=φ1n1,,nmQ11n1,,nm(t,ω,ν)+φ2n1,,nmQ12n1,,nm(t,ω,ν)+

+Q13n1,,nm(t,ω,ν)Ωlmf1y,ΩlmΘ1(z)n1,,nm=1un1,,nm+(0)ϑn1,,nm(z)dzϑn1,,nm(y)dy+

+Q14n1,,nm(t,ω,ν)Ωlmf2y,ΩlmΘ2(z)n1,,nm=1un1,,nm(0)ϑn1,,nm(z)dzϑn1,,nm(y)dy (28)

 а при t<0 —

un1,,nm(t,ω,ν)=φ1n1,,nmQ21n1,,nm(t,ω,ν)+φ2n1,,nmQ22n1,,nm(t,ω,ν)+

+Q23n1,,nm(t,ω,ν)Ωlmf2y,ΩlmΘ2(z)n1,,nm=1un1,,nm(0)ϑn1,,nm(z)dzϑn1,,nm(y)dy, (29)

где

Q1in1,,nm(t,ω,ν)=N11n1,,nm(t,ω)+νN12n1,,nm(t,ω)M1in1,,nm(ω)

νN13n1,,nm(t,ω)M2in1,,nm(ω),i=1,2,

Q13n1,,nm(t,ω,ν)=N14n1,,nm(t,ω)+νN12n1,,nm(t,ω)M13n1,,nm(ω),

Q14n1,,nm(t,ω,ν)=N15n1,,nm(t,ω)+νN12n1,,nm(t,ω)M14n1,,nm(ω)

νN13n1,,nm(t,ω)M23n1,,nm(ω),

Q2in1,,nm(t,ω,ν)=N2in1,,nm(t,ω)+νN23n1,,nm(t,ω)M2in1,,nm(ω),i=1,2,

Q23n1,,nm(t,ω,ν)=N24n1,,nm(t,ω)+νN23n1,,nm(t,ω)M23n1,,nm(ω).

Подставляя представление (28) в ряд Фурье (5), получим следующее формальное решение задачи (1)–(4) при t>0:

U(t,x,ω,ν)=n1,,nm=1ϑn1,,nm(x)×

×[φ1n1,,nmQ11n1,,nm(t,ω,ν)+φ2n1,,nmQ12n1,,nm(t,ω,ν)+

+Q13n1,,nm(t,ω,ν)Ωlmf1y,ΩlmΘ1(z)n1,,nm=1un1,,nm+(0)ϑn1,,nm(z)dzϑn1,,nm(y)dy+

+Q14n1,,nm(t,ω,ν)Ωlmf2y,ΩlmΘ2(z)n1,,nm=1un1,,nm(0)ϑn1,,nm(z)dzϑn1,,nm(y)dy] (30)

Подставляя представление (29) в ряд Фурье (5), получим следующее формальное решение задачи (1)–(4) при t<0:

U(t,x,ω,ν)=n1,,nm=1ϑn1,,nm(x)×

×[φ1n1,,nmQ21n1,,nm(t,ω,ν)+φ2n1,,nmQ22n1,,nm(t,ω,ν)+

+Q23n1,,nm(t,ω,ν)Ωlmf2y,ΩlmΘ2(z)n1,,nm=1un1,,nm(0)ϑn1,,nm(z)dzϑn1,,nm(y)dy]. (31)

Рассмотрим интегралы, присутствующие в составе рядов (30) и (31). В представлениях (28) и (29) положим t=0:

un1,,nm+(0)=0Ωlmf1y,ΩlmΘ1(z)n1,,nm=1un1,,nm+(0)ϑn1,,nm(z)dzϑn1,,nm(y)dy,

un1,,nm(0)=0Ωlmf2y,ΩlmΘ2(z)n1,,nm=1un1,,nm(0)ϑn1,,nm(z)dzϑn1,,nm(y)dy.

Отсюда следует, что un1,,nm+(0)=un1,,nm(0)=0. Поэтому ряды (30) и (31) можно переписать в следующем виде:

U(t,x,ω,ν)=n1,,nm=1ϑn1,,nm(x)[φ1n1,,nmQ11n1,,nm(t,ω,ν)+

+φ2n1,,nmQ12n1,,nm(t,ω,ν)+Q13n1,,nm(t,ω,ν)Ωlmf1(y,0)ϑn1,,nm(y)dy+

+Q14n1,,nm(t,ω,ν)Ωlmf2(y,0)ϑn1,,nm(y)dy], (32)

Ut,x,ω,νn1,,nmϑn1,,nmxφ1n1,,nmQ21n1,,nmt,ω,ν+

+φ2n1,,nmQ22n1,,nm(t,ω,ν)+Q23n1,,nm(t,ω,ν)Ωlmf2(y,0)ϑn1,,nm(y)dy]. (33)

Теперь предположим, что условие (20) нарушается при некоторых значениях спектрального параметра ω. Тогда будем рассматривать следующее алгебраическое уравнение относительно спектрального параметра ω:

σn1,,nm(ω)=Ψ24n1,,nm(T,ω)D0tθΨ23n1,,nm(T,ω)

Ψ23n1,,nm(T,ω)D0tθΨ24n1,,nm(T,ε,ω)=0. (34)

Множество положительных решений этого алгебраического уравнения (35) относительно спектрального параметра ω обозначим через 1. Указанные значения ω1 назовем иррегулярными; для таких значений условие (20) нарушается. Множество Λ1=(0;)\1 называется множеством регулярных значений спектрального параметра ω; для таких регулярных значений условие (20) выполняется.

Теперь предположим, что условия в (25) нарушаются:

 νχ12n1,,nm(ε,ω)=1,νχ23n1,,nm(ω)=1.

Имеем

ν1=1χ12n1,,nm(ω),ν2=1χ23n1,,nm(ω).

Для регулярных значений ωΛ1 имеют место неравенства

χ12n1,,nm(ω)0,χ23n1,,nm(ω)0.

Множество {ν1,ν2} обозначим через 2. Тогда множество Λ2=(;0)(0;)\2 называется множеством регулярных значений спектрального параметра ν. Для всех значений νΛ2 условия (25) выполняются. Введем обозначение

={n1,,nm;ωΛ1;νΛ2},

где — множество натуральных чисел. Это множество, в котором все значения спектральных параметров ω и ν регулярны. Для таких регулярных значений параметра ν решения задачи (1)–(4) в подобластях Ω1 и Ω2 представляются в виде рядов (32) и (33) соответственно.

3. Сходимость рядов (32) и (33). Для установления единственности решения U(t,x,ω,ν) задачи (1)–(4) предположим, что существуют два решения этой задачи U1 и U2. Тогда их разность U=U1U2 также является решением интегро-дифференциального уравнения (1), удовлетворяющим условиям (2)–(4) с функциями φi(x)0 (i=1,2). Тогда для φin1,,nm=0 (i=1,2) из формул (32) и (33) в области Ω следует, что

ΩlmU(t,x,ω,ν)ϑn1,,nm(x)dx=0.

Следовательно, в силу полноты системы собственных функций

2lsinπn1lx1,2lsinπn2lx2,,2lsinπnmlxm

в пространстве L2(Ωlm), заключаем, что U(t,x,ω,ν)0 для всех xΩlm[0;l]m и t[T;T]. Следовательно, при регулярных значениях спектральных параметров ω и ν функция U(t,x,ω,ν) является единственным решением интегро-дифференциального уравнения смешанного типа (1) с условиями (2)–(4), если эта функция существует в области Ω.

Воспользуемся пространством L2(Ωlm) суммируемых функций в области Ωlm с нормой

ϑ(x)L2(Ωlm)=Ωlmϑ(x)2dx<.

Условия гладкости. Пусть функции

φi(x),fi(x)C4(Ωlm),i=1,2

имеют кусочно непрерывные производные пятого порядка в области Ωlm.

Интегрируя по частям пять раз по всем переменным x1,x2,,xm, получим следующие формулы (см. [43]):

|φin1,,nm|=lπ5mφin1,,nm(5m)n15nm5,|fin1,,nm|=lπ5mfin1,,nm(5m)n15nm5, (35)

 где

φin1,,nm(5m)=Ωlm5mφi(x)x15x25xm5Jn1,,nm(x)dx,

fin1,,nm(5m)=Ωlm5mfi(x)x15x25xm5ϑn1,,nm(x)dx,i=1,2.

Для этих функций имеют место неравенства Бесселя:

n1,,nm=1φin1,,nm(5m)22lm5mφi(x)x15x25xm5L2(Ωlm), (36)

n1,,nm=1fin1,,nm(5m)22lm5mfi(x)x15x25xm5L2(Ωlm),i=1,2. (37)

Также используем следующие известные свойства функции Миттаг-Леффлера: [1.]

  1. Для всех k>0, α0,β0,γ0(0;2], α0β0γ0, t0 функция tβ01Eα0,β0,γ0(ktα,ktβ) является полной, монотонной и имеет место оценка 

(1)s[tβ01E(α0,β0),γ0(ktα0,ktβ0)](s)0,s=0,1,2, (38)

 

  1. Для всех α0,β0(0,2), γ и argz1=π, справедливы следующие оценки

|E(α0,β0),γ0(z1,z2)|C11+|z1|, (39)

|E(α0,β0),γ0(ε1z1,z2)E(α0,β0),γ0(ε2z1,z2)||ε1ε2|C21+|z1|, (40)

где 0<Ci=const не зависит от z, εi(0;ε0), 0<ε0=const, i=1,2.

Используя условия гладкости, докажем, что при регулярных значениях спектральных параметров ω и ν ряды (32) и (33) сходятся абсолютно и равномерно; при этом возможно их почленное дифференцирование.

Согласно свойствам (38) и (39) функции Миттаг-Леффлера, функции Q1in1,,nm(t,ω,ν) (i=1,4¯) и Q2jn1,,nm(t,ω,ν) (j=1,3¯) равномерно ограничены на отрезке [T;T]. Тогда для всех положительных целых чисел n1,,nm существуют такие постоянные C1k (k=1,2), что справедливы следующие оценки:

n1,,nmi=1,4¯|Q1in1,,nm(t,ω,ν)|C11,n1,,nmj=1,3¯|Q2jn1,,nm(t,ω,ν)|C12, (41)

 где C1k=const, k=1,2.

Применяя оценки (41), формулу (35), неравенство Коши–Буняковского и неравенства Бесселя (36) и (37) к рядам (32) и (33), получаем

|U(t,x,ω,ν)|n1,,nm=1|un1,,nm+(t,ω,ν)||ϑn1,,nm(x)|

2lmC11n1,,nm=1[|φ1n1,,nm|+|φ2n1,,nm|+|f1n1,,nm|+|f2n1,,nm|]

γ15mφ1(x)x15x25xm5L2(Ωlm)+5mφ2(x)x15x25xm5L2(Ωlm)+

+5mf1(x)x15x25xm5L2(Ωlm)+5mf2(x)x15x25xm5L2(Ωlm)<, (42)

где

γ1=2l5m/2C11C01lπ5m,C01=n1,,nm=11n110nm10;

|U(t,x,ω,ν)|n1,,nm=1|un1,,nm(t,ω,ν)||ϑn1,,nm(x)|

γ25mφ1(x)x15x25xm5L2(Ωlm)+5mφ2(x)x15x25xm5L2(Ωlm)+5mf2(x)x15x25xm5L2(Ωlm)<, (43)

где

γ2=2l5m/2C12C01lπ5m.

Из оценок (42) и (43) следует, что ряды (32) и (33) сходятся абсолютно и равномерно в области Ω¯ при (n1,,nm,ω,ν)={n1,,nm;ωΛ1;νΛ2}. Поэтому при таких чисел (n1,,nm,ω,ν)ÎÀ функций (32) и (33) можно нужное число раз формально дифференцировать в области Ω¯:

CD0tα1U(t,x,ω,ν)=n1,,nm=1ϑn1,,nm(x)×

×[φ1n1,,nmCD0tα1Q11n1,,nm(t,ω,ν)+φ2n1,,nmCD0tα1Q12n1,,nm(t,ω,ν)+

+f1n1,,nmCD0tα1Q13n1,,nm(t,ω,ν)+f2n1,,nmCD0tα1Q14n1,,nm(t,ω,ν)],t>0, (44)

CD0tα2U(t,x,ω,ν)=n1,,nm=1ϑn1,,nm(x)[φ1n1,,nmCD0tα2Q21n1,,nm(t,ω,ν)+

+φ2n1,,nmCD0tα2Q22n1,,nm(t,ω,ν)+f2n1,,nmCD0tα2Q23n1,,nm(t,ω,ν)],t<0, (45)

Ux1x1x1x1(t,x,ω,ν)=n1,,nm=1πn1l4ϑn1,,nm(x)[φ1n1,,nmQ11n1,,nm(t,ω,ν)+

+φ2n1,,nmQ12n1,,nm(t,ω,ν)+f1n1,,nmQ13n1,,nm(t,ω,ν)+

+f2n1,,nmQ14n1,,nm(t,ω,ν)],t>0, (46)

Ux1x1x1x1(t,x,ω,ν)=n1,,nm=1πn1l4ϑn1,,nm(x)[φ1n1,,nmQ21n1,,nm(t,ω,ν)+

+φ2n1,,nmQ22n1,,nm(t,ω,ν)+f2n1,,nmQ23n1,,nm(t,ω,ν)],t<0. (47)

Аналогичным образом в области Ω определяются разложения в ряды Фурье следующих функций:

Ux2x2x2x2(t,x,ω,ν),Ux3x3x3x3(t,x,ω,ν),,Uxmxmxmxm(t,x,ω,ν),

CD0tα1Ux1x1(t,x,ω,ν),CD0tα2Ux1x1(t,x,ω,ν),CD0tα1Ux2x2(t,x,ω,ν),,

CD0tα2Ux2x2(t,x,ω,ν),,CD0tα1Uxmxm(t,x,ω,ν),CD0tα2Uxmxm(t,x,ω,ν).

Сходимость рядов (44) и (45) доказывается аналогично доказательству сходимости рядов (32) и (33). Поэтому достаточно показать сходимость рядов (46) и (47). Принимая во внимание формулы (35)–(37) и оценки (41) и применяя неравенство Коши–Буняковского, получаем

|Ux1x1x1x1(t,x,ω,ν)|n1,,nm=1πn1l4|un1,,nm+(t,ω,ν)||ϑn1,,nm(x)|

2lmπl4C11n1,,nm=1n14[|φ1n1,,nm|+|φ2n1,,nm|+|f1n1,,nm|+|f2n1,,nm|]

2lmC11lπ5m4n1,,nm=11n1n25nm5φ1n1,,nm(5m)+n1,,nm=11n1n25nm5φ2n1,,nm(5m)+

+n1,,nm=11n1n25nm5f1n1,,nm(5m)+n1,,nm=11n1n25nm5f2n1,,nm(5m)

γ35mφ1(x)x15x25xm5L2(Ωlm)+5mφ2(x)x15x25xm5L2(Ωlm)+

+5mf1(x)x15x25xm5L2(Ωlm)+5mf2(x)x15x25xm5L2(Ωlm)<,

где

γ3=2l5m/2C11C02lπ5m2,C02=n1,,nm=11n12n210nm10;

|Ux1x1x1x1(t,x,ω,ν)|n1,,nm=1πn1l4|un1,,nm(t,ω,ν)||ϑn1,,nm(x)|

2lmπl4C11n1,,nm=1n14[|φ1n1,,nm|+|φ2n1,,nm|+|f2n1,,nm|]

γ45mφ1(x)x15x25xm5L2(Ωlm)+5mφ2(x)x15x25xm5L2(Ωlm)+5mf2(x)x15x25xm5L2(Ωlm)<,

где

γ4=2l5m/2C12C02lπ5m2.

Аналогично доказывается сходимость рядов Фурье в области Ω для следующих функций:

Ux2x2x2x2(t,x,ω,ν),Ux3x3x3x3(t,x,ω,ν),,Uxmxmxmxm(t,x,ω,ν),

CD0tα1Ux1x1(t,x,ω,ν),CD0tα2Ux1x1(t,x,ω,ν),CD0tα1Ux2x2(t,x,ω,ν),,

CD0tα2Ux2x2(t,x,ω,ν),,CD0tα1Uxmxm(t,x,ω,ν),CD0tα2Uxmxm(t,x,ω,ν).

Отсюда следует, что функции (32) и (33) обладают свойствами (2) для регулярных значений спектральных параметров ω и ν.

4. Непрерывная зависимость решения от малого параметра. Рассматривается непрерывная зависимость решения задачи (1)–(4) от малых параметров εi>0 (i=1,2) при регулярных значениях спектральных параметров ω и ν. Пусть ε11 и ε12 — два разных значения первого малого положительного параметра ε1. С помощью оценок (38)–(40) легко проверить, что верны следующие оценки:

n1,,nm  t[0;T]|Q1in1,,nm(t,ε11,ω,ν)Q1in1,,nm(t,ε12,ω,ν)|C21|ε11ε12|,i=1,4¯, (48)

n1,,nm  t[T;0]|Q2in1,,nm(t,ε11,ω,ν)Q2in1,,nm(t,ε12,ω,ν)|C22|ε11ε12|,i=1,3¯, (49)

где 0<C2i=const, ε1i(0;ε10), 0<ε10=const, i=1,2.

Далее, учитывая формулу (35), оценки (48), (49) и применяя неравенство Коши–Буняковского и неравенства Бесселя (36) и (37), из рядов (32) и (33) получаем

|U(t,x,ε11,ω,ν)U(t,x,ε12,ω,ν|

n1,,nm=1un1,,nm+(t,ε11,ω,ν)un1,,nm+(t,ε12,ω,ν)|ϑn1,,nm(x)|

2lmC21|ε11ε12|n1,,nm=1[|φ1n1,,nm|+|φ2n1,,nm|+|f1n1,,nm|+|f2n1,,nm|]

γ5|ε11ε12|5mφ1(x)x15x25xm5L2(Ωlm)+5mφ2(x)x15x25xm5L2(Ωlm)+

+5mf1(x)x15x25xm5L2(Ωlm)+5mf2(x)x15x25xm5L2(Ωlm)=|ε11ε12|C31, (50)

где

 γ5=2l5m/2C21C01lπ5m,0<C31=const<;

|U(t,x,ε11,ω,ν)U(t,x,ε12,ω,ν)|

n1,,nm=1|un1,,nm(t,ε11,ω,ν)un1,,nm(t,ε12,ω,ν)||ϑn1,,nm(x)|

γ10|ε11ε12|5mφ1(x)x15x25xm5L2(Ωlm)+

+5mφ2(x)x15x25xm5L2(Ωlm)+5mf2(x)x15x25xm5L2(Ωlm)=|ε11ε12|C32, (51)

где

γ6=2l5m/2C22C01lπ5m,0<C32=const<.

Из оценок (50) и (51) следует, что |U(t,x,ε11,ω,ν)U(t,x,ε12,ω,ν)| мало, если |ε11ε12| мало в области Ω¯ при (n1,,nm,ω,ν).

Аналогично доказывается, что решение U(t,x,ω,ν) задачи (1)–(4) непрерывно зависит от второго малого параметра ε2 и от заданных функций φ1(x), φ2(x).

5. Заключение и формулировка теоремы. В данной работе исследованы вопросы однозначной разрешимости задачи (1)–(4) для нагруженного интегро-дифференциального уравнения смешанного типа с операторами Герасимова–Капуто различных дробных порядков, спектральными параметрами и малым параметром при смешанных производных в многомерной прямоугольной области Ω. Для (n1,,nm,ω,ν) доказаны некоторые утверждения при выполнении условий гладкости: пусть функции

φi(x)C4(Ωlm),fix,ΩlmΘi(y)U(0,y)dyCx2(Ωlm×),i=1,2,

имеют кусочно непрерывные производные пятого порядка в области Ωlm.

Сформулируем теорему доказанную в данной работе.

Теорема. Пусть выполняются условия гладкости. Тогда для всевозможных натуральных чисел n1,,nm и для всех регулярных значений параметров ω и ν из множества  граничная задача (1)–(4) однозначно разрешима в области Ω, а её решение представляется в виде рядов Фурье (32) и (33) в соответствующих подобластях. Данное решение задачи (1)–(4) непрерывно зависит от заданных функций φ1(x), φ2(x). Кроме того, имеет место предельное равенство

εi0U(t,x,ε1,ε2,ω,ν)=U(t,x,0,0,ω,ν),i=1,2,

где U(t,x,0,0,ω,ν) — решение дробного интегро-дифференциального уравнения смешанного типа вида

 A0(U)B1,ω(U)=ν0TK1(t,s)U(s,x)ds+F1(t,x),t>0,νT0K2(t,s)U(s,x)ds+F2(t,x),t<0,

где

A0(U)=1+sgn(t)2CD0tα1+1sgn(t)2CD0tα2U(t,x),

B1,ω(U)=i=1m(UxixiUxixixixi),t>0,ω2i=1m(UxixiUxixixixi),t<0,

при граничных условиях (3) и (4),

Fi(t,x)=ki(t)fix,ΩlmΘi(y)U(0,y)dy,i=1,2.

×

Об авторах

Турсун Камалдинович Юлдашев

Национальный университет Узбекистана им. М. Улугбека

Автор, ответственный за переписку.
Email: tursun.k.yuldashev@gmail.com
Россия, Ташкент

Эркинжон Тулкинович Каримов

Институт математики имени В. И. Романовского Академии наук Республики Узбекистан

Email: erkinjon.karimov@mathinst.uz
Россия, Ташкент

Список литературы

  1. Абдуллаев О. Х. Нелокальная задача для нагруженного уравнения смешанного типа с интегральным оператором // Вестн. Самар. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. – 2016. – 20, № 2. – С. 220–240.
  2. Абдуллаев О. Х. Об одной задаче для уравнения параболо-гиперболического типа с нелинейной нагруженной частью // Итоги науки и техн. Сер. Совр. мат. прилож. Темат. обз. – 2020. – 176. – С. 121–128.
  3. Аттаев А. Х. Краевые задачи с характеристическими носителями для нагруженных вырождающихся гиперболических уравнений / Дисс. на соиск. уч. степ. канд. физ.-мат. наук. – Нальчик, 1989.
  4. Бозиев О. Л. Краевые задачи для некоторых классов нагруженных уравнений гиперболического типа / Дисс. на соиск. уч. степ. канд. физ.-мат. наук. – Нальчик, 2000.
  5. Борисов В. Н., Нахушев А. М. Краевые задачи для нагруженных параболических уравнений и их приложения к прогнозу уровня грунтовых вод // Диффер. уравн. – 1977. – 13, № 1. – С. 105–110.
  6. Бородин A. B. Дифференцируемость по параметру решений нелинейно нагруженных краевых задач для уравнений в частных произволных второго порядка // Диффер. уравн. – 1979. – 15, № 1. – С. 18–26.
  7. Гельфанд И. М. Некторые вопросы анализа и дифференциальных уравнений // Усп. мат. наук. – 1959. – 14, № 3 (87). – С. 3–19.
  8. Геккиева С. Х. Краевые задачи для нагруженных параболических уравнений с дробной производной по времени / Дисс. на соиск. уч. степ. канд. физ.-мат. наук. – Нальчик, 2003.
  9. Дженалиев М. Т. К теории линейных краевых задач для нагруженных дифференциальных уравнений. – Алматы: Гылым, 1995.
  10. Зарубин А. Н. Краевая задача для дифференциально-разностного смешанно-составного уравнения с дробной производной, функциональным запаздыванием и опережением // Диффер. уравн. – 2019. – 55, № 2. – С. 217–226.
  11. Казиев В. М. О задаче Дарбу для одного нагруженного интегро-дифференциального уравнения второго порядка // Диффер. уравн. – 1978. – 14, № 1. – С. 181–185.
  12. Кожанов А. И. Об одном нелинейном нагруженном параболическом уравнении и о связанной с ним обратной задаче // Мат. заметки. – 2004. – 76, № 6. – С. 840–853.
  13. Нахушев A. M. О задаче Дарбу для одного вырождающегося нагруженного интегро-дифференциального уравнения второго порядка // Диффер. уравн. – 1976. – 12, № 1. – С. 103–108.
  14. Нахушев A. M. Нелокальная задача и задача Гурса для нагруженного уравнения гиперболического типа и их приложения к прогнозу почвенной влаги // Докл. АН СССР. – 1978. – 242, № 5. – С. 1008–1011.
  15. Нахушев A. M. Краевые задачи для нагруженного интегро-дифференциального уравнения гиперболического типа и некоторые их приложения к прогнозу почвенной влаги // Диффер. уравн. – 1979. – 15, № 1. – С. 96–105.
  16. Нахушев A. M. Нагруженные уравнения и их приложения // Диффер. уравн. –1983. – 19, № 1. – С. 86–94.
  17. Репин О. А. Нелокальная задача с операторами Сайго для уравнения смешанного типа третьего порядка // Изв. вузов. Мат. – 2019. – 1. – С. 63–68.
  18. Репин О. А. Об одной задаче для уравнения смешанного типа с дробной производной // Изв. вузов. Мат. – 2018. – 8. – С. 46–51.
  19. Уфлянд Я. С. О распространении колебаний в сложных электрических линиях // Инж.-физ. ж. – 1964. – 7, № 1. – С. 89–92.
  20. Юлдашев Т. К. Нелокальная краевая задача для нелинейного интегро-дифференциального уравнения Фредгольма с вырожденным ядром // Диффер. уравн. –2018. – 54, № 12. – С. 1687–1694.
  21. Юлдашев Т. К. О разрешимости краевой задачи для обыкновенного интегро-дифференциального уравнения Фредгольма с вырожденным ядром // Ж. вычисл. мат. мат. физ. – 2019. – 59, № 2. – С. 252–263.
  22. Юлдашев Т. К. Спектральные особенности решений краевой задачи для интегро-дифференциального уравнения Фредгольма второго порядка с отражением аргумента // Изв. Ин-та мат. информ. Удмурт. ун-та. – 2019. – 54. – С. 122–134.
  23. Abdullaev O. Kh., Sadarangani K. Nonlocal problems with integral gluing condition for loaded mixed-type equations involving the Caputo fractional derivative // Electron. J. Differ. Equations. – 2016. – 164.
  24. Agarwal P., Berdyshev A. S., Karimov E. T. Solvability of a nonlocal problem with integral transmitting condition for mixed type equation with Caputo fractional derivative // Results Math. – 2017. – 71, № 3. – P. 1235–1257.
  25. Assanova A. T., Imanchiyev A. E., Kadirbayeva Zh. M. A nonlocal problem for loaded partial differential equations of fourth order // Вестн. Караганд. ун-та. Мат. – 2020. – № 1 (97). – С. 6–16.
  26. Area I., Batarfi H., Losada J., Nieto J. J., Shammakh W., Torres A. On a fractional order Ebola epidemic model // Adv. Difference Equations. – 2015. – 278.
  27. Hussain A., Baleanu D., Adeel M. Existence of solution and stability for the fractional order novel coronavirus (nCoV-2019) model // Adv. Difference Equations. – 2020. – 384.
  28. Karimov E. T., Al-Salti N., Kerbal S. An inverse source non-local problem for a mixed-type equation with a Caputo fractional differential operator // East-Asian J. Appl. Math. – 2017. – 7, № 2. – P. 417–438.
  29. Karimov E. T., Kerbal S., Al-Salti N. Inverse source problem for multi-term fractional mixed-type equation // in: Advances in Real and Complex Analysis with Applications. – Singapore: Springer Nature, 2017. – P. 289–301.
  30. Kumar D., Baleanu D. Fractional calculus and its applications in physics // Front. Phys. 2019. – 7, № 6. – 81.
  31. Mainardi F. Fractional calculus: Some basic problems in continuum and statistical mechanics // in: Fractals and Fractional Calculus in Continuum Mechanics (Carpinteri A., Mainardi F., eds.). – Wien: Springer, 1997.
  32. Patnaik S., Hollkamp J. P., Semperlotti F. Applications of variable-order fractional operators: A review // Proc. Roy. Soc. A. – 2020. – 476. – 20190498.
  33. Salakhitdinov M. S., Karimov E. T. Uniqueness of an inverse source non-local problem for fractional-order mixed-type equations // Eurasian Math. J. – 2016. – 7, № 1. – P. 74–83.
  34. Samko S. G., Kilbas A. A., Marichev O. I. Fractional Integrals and Derivatives. Theory and Applications. – Yverdon: Gordon & Breach, 1993.
  35. Sandev T., Tomovski Z. Fractional Equations and Models: Theory and Applications. – Cham, Switzerland: Springer Nature, 2019.
  36. Saxena R. K., Garra R., Orsingher E. Analytical solution of space-time fractional telegraph-type equations involving Hilfer and Hadamard derivatives // Integral Transform. Spec. Funct. – 2016. – 21, № 1. – P. 30–42.
  37. Sun H., Chang A., Zhang Y., Chen W. A review on variable-order fractional differential equations: Mathematical foundations, physical models, numerical methods, and applications // Fract. Calc. Appl. Anal. – 2019. – 22, № 1. – P. 27–59.
  38. Tenreiro Machado J. A. Handbook of Fractional Calculus with Applications. – Berlin–Boston: De Gruyter, 2019.
  39. Terlyga O., Bellout H., Bloom F. A hyperbolic-parabolic system arising in pulse combustion: Existence of solutions for the linearized problem // Electron. J. Differ. Equations. – 2013. – 46.
  40. Ullah S., Khan M. A., Farooq M., Hammouch Z., Baleanu D. A fractional model for the dynamics of tuberculosis infection using Caputo–Fabrizio derivative // Discr. Cont. Dynam. Syst. Ser. S. – 2020. – 13, № 3. – P. 975–993.
  41. Yuldashev T. K. On an integro-differential equation of pseudoparabolic-pseudohyperbolic type with degenerate kernels // Proc. Yerevan Univ. Phys. Mat. Sci. – 2018. – 52, № 1. – P. 19–26.
  42. Yuldashev T. K. Nonlocal inverse problem for a pseudohyperbolic-pseudoelliptic type integro-differential equations // Axioms. – 2020. – 9, № 2. – 45.
  43. Yuldashev T. K. On a boundary-value problem for Boussinesq-type nonlinear integro-differential equation with reflecting argument // Lobachevskii J. Math. – 2020. – 41, № 1. – P. 111–123.
  44. Yuldashev T. K., Islomov B. I., Alikulov E. K. Boundary-value problems for loaded third-order parabolic-hyperbolic equations in infinite three-dimensional domains // Lobachevskii J. Math. – 2020. – 41, № 5. – P. 926–-944.
  45. Yuldashev T. K., Kadirkulov B. J. Boundary-value problem for weak nonlinear partial differential equations of mixed-type with fractional Hilfer operator // Axioms. – 2020. – 9, № 2. – 68.
  46. Yuldashev T. K., Kadirkulov B. J. Nonlocal problem for a mixed type fourth-order differential equation with Hilfer fractional operator // Ural Math. J. – 2020. – 6, № 1. – P. 153–167.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML

© Юлдашев Т.К., Каримов Э.Т., 2022

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».