Nondifferential Kuhn-Tucker theorems in constrained extremum problems via subdifferentials of nonsmooth analysis

Full Text

\\section*{Введение}\\label{s0} %Понятие накрывания отображений, действующих в упорядоченных пространствах, %определено в работах \\cite{1}, \\cite{2} в связи с исследованием точек совпадения.... Статья посвящена получению теорем Куна--Таккера в недифференциальной форме в задачах на условный экстремум в гильбертовом пространстве с ограничениями, задаваемыми операторами, образы которых также вкладываются в гильбертово пространство. В основе получения указанных недифференциальных теорем Куна--Таккера лежит так называемый метод возмущений (см., например, \\cite[п.~3.3.2]{altifom}), который %главная суть которого, как %известно, состоит в установлении связи свойств субдифференцируемости %в смысле нелинейного (негладкого) анализа функций значений задач на %условный экстремум с множителями Лагранжа соответствующих %(недифференциальных) условий оптимальности. Метод возмущений является классическим подходом к исследованию задач на условный экстремум. Он позволяет изучать взаимосвязь субдифференциального свойств функций значений ($S$-функций) с условиями оптимальности, множителями Лагранжа, двойственностью в выпуклых задачах на условный экстремум в банаховых пространствах \\cite[п.~3.3.2]{altifom}, свойств устойчивости, чувствительности нелинейных конечномерных задач при возмущении их параметров \\cite{levitin,izmailov}. В данной статье рассматривается зависящая от аддитивно входящих в ограничения параметров классическая нелинейная (параметрическая) задача на условный экстремум с операторным ограничением типа равенства и конечным числом функциональных ограничений типа неравенства (ее <<выпуклый>> вариант см. в \\cite[п.~3.3.2]{altifom}) $$ f(z)\\to\\inf,\\,\\,\\, g(z)=p,\\,\\,h(z)\\leq r,\\,\\,z\\in {\\cal D}\\subset Z,\\leqno(P_{p.r}) $$ где $p\\in H,\\,r\\in \\mathbb{R}^m$ --- параметры $f:\\,{\\cal D}\\to \\mathbb{R}^1$ --- непрерывный функционал, $g:\\, {\\cal D}\\to H$ --- непрерывный оператор, $h\\equiv(h_1,\\dots,h_m):\\,{\\cal D}\\to \\mathbb{R}^m$ --- непрерывный векторный функционал, ${\\cal D}\\subset Z$ --- замкнутое множество, $Z,\\,H$ -- гильбертовы пространства. Обозначим: $$ {\\cal D}_{p,r}^\\epsilon \\equiv\\{z\\in{\\cal D}:\\,\\|g(z)-p\\|\\leq\\epsilon,\\,\\,\\min\\limits_{x\\in \\mathbb{R}^m_-}|h(z)-r-x|\\leq\\epsilon\\},\\,\\,\\epsilon\\geq 0,\\,\\,\\,\\mathbb{R}^m_-\\equiv\\{x\\in \\mathbb{R}^m:\\,x\\leq 0\\}. $$ Определим классическую нижнюю грань (классическое значение) задачи ($P_{p,r}$) формулой $\\beta_0(p,r)\\equiv\\inf\\limits_{z\\in{\\cal D}^0}f(z),$ а также ее обобщенную нижнюю грань (обобщенное значение) $\\beta(p,r):$ $$ \\beta(p,r)\\equiv\\lim_{\\epsilon\\to +0}\\beta_ \\epsilon(p,r),\\,\\,\\,\\,\\beta_\\epsilon(p,r)\\equiv \\inf_{z\\in{\\cal D}_{p,r}^\\epsilon}f(z),\\,\\,\\, \\quad\\beta_\\epsilon(p,r)\\equiv +\\infty,\\,\\,\\mbox{если}\\,\\, {\\cal D}_{p,r}^\\epsilon= \\emptyset. $$ Очевидно, в общей ситуации $\\beta(p,r)\\leq\\beta_0(p,r),$ однако, как в выпуклых задачах ($P_{p,r}$) ($f,\\,h_i,\\,\\,i=1,\\dots,m$ --- выпуклые функции, $g:\\,Z\\to H$ --- линейный (аффинный) ограниченный оператор, ${\\cal D}$ --- выпуклое множество), так и в нелинейных (невыпуклых) возможно строгое неравенство $\\beta(p,r)<\\beta_0(p,r).$ Каждая из этих двух естественным образом возникающих функций значений в задаче ($P_{p,r}$) обладает своими характерными особенностями. Классическая функция значений $\\beta_0:\\,H\\times \\mathbb{R}^m\\to \\mathbb{R}^1\\cup\\{\\pm\\infty\\}$ для выпуклой задачи ($P_{p,r}$) является выпуклой \\cite[п.~3.3.2, следствие 1]{altifom} (см. также лемму \\ref{convex}), но не обязана, вообще говоря, быть полунепрерывной снизу (см. примеры в разделе 1.1). В свою очередь, обобщенная функция значений $\\beta:\\,H\\times \\mathbb{R}^m\\to \\mathbb{R}^1\\cup\\{\\pm\\infty\\}$ для задачи ($P_{p,r}$) общего (нелинейного) вида всегда является полунепрерывной снизу (см.~лемму \\ref{nonlinlowersemicont}), но, естественно, не обязана в этом общем случае быть выпуклой. С одной стороны, мы имеем дело в статье с получением для задачи ($P_{p,r}$) условий классической оптимальности в форме недифференциальных теорем Куна--Таккера и, стало быть, должны работать с классической функцией значений $\\beta_0.$ С другой же стороны, желая при этом непосредственно связать такие классические условия оптимальности с субдифференциальными свойствами функций значений, мы <<неизбежно>> должны иметь дело с полунепрерывными снизу функциями значений, так как именно для таких функций, задаваемых на гильбертовом пространстве (впрочем, как на многих других бесконечномерных пространствах), справедливы так называемые теоремы плотности субдифференцируемости как в смысле выпуклого анализа (в случае выпуклых функций) (см. лемму \\ref{lem_24.02.2020} и \\cite[теорема 4.3]{aubin}), так и в смысле анализа нелинейного (в случае нелинейных невыпуклых функций) \\cite{loewen,clarke,mord,claledsterwol} (см. замечание \\ref{rem_22.02.2020}). Последнее обстоятельство говорит в пользу необходимости, одновременно с функцией $\\beta_0,$ иметь дело и с обобщенной функцией значений $\\beta,$ которая и обладает соответствующими свойствами субдифференцируемости. В данной статье мы будем получать недифференциальные теоремы Куна--Таккера в задачах ($P_{p,r}$), для которых имеет место равенство $\\beta(p,r)=\\beta_0(p,r).$ Таким образом мы одновременно сможем использовать как свойство выпуклости функции значений (в выпуклой задаче), так и свойства ее плотной субдифференцируемости (в выпуклой и невыпуклой задачах). Статья состоит из двух основных разделов. Первый из них посвящен получению недифференциальной теоремы Куна--Таккера, а, точнее говоря, недифференциального принципа Лагранжа (теорема Куна--Таккера есть его первая, <<регулярная>>, часть), в выпуклой задаче $(P_{p,r})\\equiv(P_{p,r}^{co}).$ Анализ приводимого здесь доказательства принципа Лагранжа (см. теорему \\ref{teor1}) для задачи ($P_{p,r}^{co}$) говорит о том, что в своей основе он прежде всего опирается на факт существования нормали к надграфику выпуклой функции значений в данной точке $(p,r)$ или, другими словами, на свойство ее субдифференцируемости в этой точке (непустота субдифференциала или наличие ненулевого элемента в асимптотическом субдифференциале). Таким образом, принцип Лагранжа в случае выпуклой задачи является следствием существования нормали в смысле выпуклого анализа к надграфику функции значений, как функции параметра, при данном фиксированном значении параметра. При этом <<регулярная>> часть принципа Лагранжа --- теорема Куна--Таккера является следствием непустоты субдифференциала функции значений при данном фиксированном значении параметра. Данное наблюдение и содержание первого раздела имеют существенное методологическое значение и позволяют перекинуть естественный мостик от выпуклых параметрических задач на условный экстремум к аналогичным нелинейным параметрическим задачам. В них функция значений естественно <<не обязана быть>> выпуклой, и центральную роль в нелинейном случае играют уже нормали в смысле негладкого (нелинейного) анализа к надграфикам функций значений и, соответственно, субдифференциалы негладкого анализа (см.,~например, \\cite{loewen,clarke,mord,claledsterwol}). Получению соответствующих теорем Куна--Таккера для нелинейных (невыпуклых) задач ($P_{p,r}$) посвящен второй основной раздел статьи. В нем показывается как субдифференцируемость в смысле нелинейного анализа функции значений обеспечивает получение соответствующей теоремы Куна--Таккера в задаче ($P_{p,r}$). Однако, в этом случае в качестве основной конструкции будет выступать уже не классическая функция Лагранжа, а так называемая модифицированная, вид которой напрямую зависит от вида субдифференцируемости в смысле нелинейного анализа. В качестве понятий субдифференцируемости в общем нелинейном случае мы рассматриваем во втором разделе два широко используемых в нелинейном (негладком) анализе понятия --- понятие проксимального субградиента и понятие судбдифференциала Фреше \\cite{loewen,clarke,mord,claledsterwol} (оба этих понятия определяются в разделе 2). Подчеркнем, что получение недифференциальных теорем Куна--Таккера как в выпуклом (раздел 1), так и невыпуклом (раздел 2) случаях на основе идеологии метода возмущений и наличие соответствующих результатов по плотности субдифференцируемости полунепрерывных снизу функций (как выпуклых, так и невыпуклых) обеспечивает, если так можно выразиться, дополнительную <<легитимность>> результатов статьи. Свойство плотности субдифференцируемости, в первую очередь, говорит о том, что выполнимость получаемых в статье недифференциальных теорем Куна--Таккера можно трактовать как характерное свойство выпуклых и невыпуклых задач на условный экстремум (в некоторых содержательных частных случаях оно является и свойством общего положения). Одновременно, можно утверждать, что аппарат современного негладкого анализа \\cite{loewen,clarke,mord,claledsterwol}, подобно тому, как это сделано в выпуклом случае задачи $(P_{p,r})\\equiv(P_{p,r}^{co})$ (разделы 1.3 -- 1.5), позволяет также установить тесную связь между регулярными и нерегулярными формами <<нелинейных>> условий оптимальности, между <<нелинейными>> субдифференциалами и множителями Лагранжа, однако эти вопросы в данной статье не рассматриваются. Недифференциальные теоремы Куна--Таккера имеют важное значение при изучении вопросов регуляризации классических условий оптимальности в различных задачах условной оптимизации (см.,~например, \\cite{suminm2011,suminm2014,suminm2015,suminm2018,suminm2019}). \\section{Принцип Лагранжа и теорема Куна--Таккера в недифференциальной форме в выпуклой задаче на условный экстремум}\\label{s1} В данном разделе последовательно ставится выпуклая задача на условный экстремум, доказываются соответствующие недифференциальные принцип Лагранжа и его <<регулярная>> часть --- теорема Куна--Таккера, устанавливается связь между субдифференциалами функции значений и множителями Лагранжа, а также между <<нерегулярной>> и <<регулярной>> частями принципа Лагранжа. \\textbf{1.1. Постановка выпуклой задачи на условный экстремум.} Рассматриваем зависящую от параметров в ограничениях каноническую задачу на условный экстремум (см., например, \\cite[п.~3.3.2]{altifom}) $$ f(z)\\to\\inf,\\,\\,\\, Az=h+p,\\,\\,\\,g(z)\\equiv(g_1(z),\\dots,g_m(z))\\leq r,\\,\\,\\,\\,z\\in {\\cal D}\\subset Z,\\,\\,\\,\\,\\leqno(P_{p,r}^{co}) $$ где $p\\in H,\\,r=(r_1,\\dots,r_m)\\in \\mathbb{R}^m$ --- параметры, $f,\\,g_i:\\,{\\cal D}\\to \\mathbb{R}^1,$ $i=1,\\dots,m,$ --- выпуклые непрерывные функционалы, $A:\\,Z\\to H$ --- линейный ограниченный оператор, $h\\in H$ --- заданный элемент, ${\\cal D}$ --- выпуклое замкнутое множество, $Z,$ $H$ --- гильбертовы пространства. Решения задачи $(P_{p,r}^{co})$ в случае их существования будем обозначать через $z_{p,r}^0,$ а всю совокупность таких решений --- через $Z_{p,r}^0\\equiv\\{z^\\ast\\in{\\cal D}:f(z^\\ast)=\\min\\limits_{z\\in{\\cal D}_{p,r}^0}f(z)\\}.$ Здесь и ниже используется обозначение: ${\\cal D}_{p,r}^{\\epsilon}\\equiv\\{z\\in{\\cal D}:\\,\\|Az-h-p\\|\\leq\\epsilon,\\,\\,g_i(z)\\leq r_i+\\epsilon,\\,\\,i=1,\\dots,m\\}.$ Определим классическую функцию значений (зависящую от параметров $(p,r)$ классическую нижнюю грань) задачи ($P_{p,r}^{co}$) формулой $\\beta_0(p,r)=\\inf\\limits_{z\\in{\\cal D}_{p,r}^0}f(z)\\,\\,\\forall\\,(p,r)\\in H\\times \\mathbb{R}^m.$ Справедлива (см.~\\cite[п.~3.3.2]{altifom}) \\begin{Lemma}\\label{convex} Функция значений $\\beta_0:\\,H\\times \\mathbb{R}^m\\to \\mathbb{R}^1\\cup\\{\\pm\\infty\\}$ является выпуклой. \\end{Lemma} Помимо классической функции значений нам потребуется еще и обобщенная \\linebreak $\\beta:\\,H\\times \\mathbb{R}^m\\to \\mathbb{R}^1\\cup\\{\\pm\\infty\\},$ определяемая посредством соотношений $$ \\beta(p,r)\\equiv\\beta_{+0}(p,r)\\equiv\\lim_{\\epsilon\\to +0}\\beta_{\\epsilon}(p,r),\\,\\,\\,\\,\\beta_{\\epsilon}(p,r)\\equiv \\inf_{z\\in{\\cal D}_{p,r}^{\\epsilon}}f(z),\\,\\,\\, \\quad\\beta_\\epsilon(p,r)\\equiv +\\infty,\\,\\,\\mbox{если}\\,\\, {\\cal D}_{p,r}^{\\epsilon}=\\emptyset. $$ %Справедлива (см.~\\cite[лемма 7]{suminm1997a}) \\begin{Lemma}\\label{lowersemicont} Функция значений $\\beta:\\,H\\times \\mathbb{R}^m\\to \\mathbb{R}^1\\cup\\{\\pm\\infty\\}$ является полунепрерывной снизу и выпуклой. \\end{Lemma} \\proof Для доказательства полунепрерывности снизу зададимся произвольной последовательностью $(p^i,r^i)\\in H\\times \\mathbb{R}^m,\\,\\,\\,i=1,2,\\dots,\\,\\,\\, (p^i,r^i)\\to (p,r)\\in H\\times \\mathbb{R}^m,$ $i\\to\\infty.$ Согласно определению функции значений $\\beta(p^i,r^i)=\\lim\\limits_{k\\to\\infty}\\beta_{\\epsilon_k}(p^i,r^i),$ $\\epsilon_k>0,$ $\\epsilon_k\\to 0,\\,\\,k\\to\\infty,$ причем без ограничения общности считаем, что $\\beta(p^i,r^i)\\to\\overline\\beta(p,r),$ где $\\overline\\beta(p,r)$ некоторое число (конечное или $\\pm\\infty$). Пусть $k_i,\\,\\,i=1,2,\\dots,$ такая подпоследовательность последовательности $k=1,2,\\dots,$ что последовательность $\\beta_{\\epsilon_{k_i}}(p^i,r^i),\\, i=1,2,\\dots,$ имеет предел и к тому же $\\lim\\limits_{i\\to\\infty}\\beta_{\\epsilon_{k_i}}(p^i,r^i)=\\overline\\beta(p,r),$ $\\epsilon_{k_i}>0,$ $\\epsilon_{k_i}\\to 0,$ $i\\to\\infty.$ Но тогда при всех $i=1,2,\\dots$ имеем включение ${\\cal D}_{p^i,r^i}^{\\epsilon_{k_i}}\\subset{\\cal D}_{p,r}^{\\overline\\epsilon_i}$ для некоторой последовательности $\\overline\\epsilon_i,$ $i=1,2,\\dots,$ $\\overline\\epsilon_i>0,$ $\\overline\\epsilon_i\\to 0,$ $i\\to\\infty,$ и, значит, $\\beta_{\\epsilon_{k_i}}(p^i,r^i)\\geq\\beta_{\\overline\\epsilon_i}(p,r),$ $i=1,2,\\dots,$ откуда следует $\\beta(p,r)=\\lim\\limits_{i\\to\\infty}\\beta_{\\overline\\epsilon_i}(p,r) \\leq\\overline\\beta(p,r).$ Последнее неравенство означает, что полунепрерывность снизу доказана. Выпуклость функции $\\beta$ есть следствие ее определения как поточечного предела выпуклых классических функций значений $\\beta_\\epsilon$ в выпуклых задачах $f(z)\\to\\inf,$ $z\\in{\\cal D}_{p,r}^{\\epsilon}.$ Доказательство выпуклости $\\beta_\\epsilon:\\,H\\times R^m\\to R^1\\cup\\{\\pm\\infty\\}$ проводится точно по схеме доказательства следствия 1 в \\cite[п.~3.3.2, с. 265]{altifom}. В нем аффинное по $(z,p)$ равенство $Az-h-p=0$ заменяется на ограничение-неравенство $\\|Az-h-p\\|\\leq\\epsilon$ с выпуклой по $(z,p)$ функцией $\\|Az-h-p\\|,\\,\\,(z,p)\\in{\\cal D}\\times H,$ схема же рассуждений полностью сохраняется. Очевидно, что имеет место неравенство $\\beta(p,r)\\leq\\beta_0(p,r)\\,\\,\\forall\\,(p,r)\\in H\\times \\mathbb{R}^m,$ которое может выполняться в выпуклой задаче и как строгое. Приведем иллюстрирующие это обстоятельство примеры. \\begin{Example}\\label{rem_14.03.2020} В качестве первого примера рассмотрим параметрическую задачу $e^{-x}\\to\\inf,$ $e^{-x}\\leq r,$ $x,r\\in \\mathbb{R}^1.$ Легко заметить, что в этом примере $\\beta(0)=0,$ но $\\beta_0(0)=+\\infty.$ При этом одновременно в этом примере функция $\\beta_0$ не является полунепрерывной снизу. Второй аналогичный пример со строгим неравенством двух граней, но с разрешимой задачей условной минимизации, можно найти в \\cite[с.~173, 174]{gol}: $$ -\\sqrt {x_1}\\sqrt {x_2}\\to\\inf,\\,\\,x_2\\leq r,\\,\\,x=(x_1,x_2)\\in{\\cal D}=\\{x\\in \\mathbb{R}^2:\\,x_1\\geq 0,\\,x_2\\geq 0\\},\\,\\,r\\in \\mathbb{R}^1. $$ Здесь $\\beta_0(0)=0,$ но $\\beta(0)=-\\infty.$ \\end{Example} Далее будем считать, что мы имеем дело с задачей ($P_{p,r}^{co}$), у которой функция значений $\\beta:\\,H\\times \\mathbb{R}^m\\to \\mathbb{R}^1\\cup\\{+\\infty\\}$ является собственной, то есть $\\mbox{dom}\\,\\beta\\neq\\emptyset.$ Это заведомо так, по крайней мере, при условиях следующей леммы. \\begin{Lemma}\\label{equality} Имеет место равенство $\\beta(p,r)=\\beta_0(p,r),$ если выполняется, по крайней мере, одно из следующих двух условий: 1) $f$ сильно выпуклый на ${\\cal D}$ функционал; 2) ${\\cal D}$ ограничено. При этом $$ \\beta_0(p,r)=\\{f(z_{p,r}^0), \\mbox{ если }z_{p,r}^0 \\mbox{ сущест\\-вует};\\,\\,+\\infty\\mbox{ в противном случае}\\}\\,\\,\\forall\\,(p,r)\\in H\\times \\mathbb{R}^m. $$ \\end{Lemma} \\proof Обоснование равенства обобщенной и классической фун\\-кций значений проводится в точном соответствии со схемой доказательства полностью аналогичной леммы в \\cite[лемма 2.4.1]{Sumin2009_textbook}. %\\newpage Введем функционал Лагранжа $$ L_{p,r}(z,\\mu_0,\\lambda,\\mu)\\equiv \\mu_0f(z)+\\langle\\lambda,A z-h-p\\rangle+\\langle\\mu,g(z)-r\\rangle,\\,\\,\\, z\\in {\\cal D},\\,\\mu_0\\geq 0,\\,\\lambda\\in H,\\,\\,\\mu\\in \\mathbb{R}^m, $$ его регулярный вариант $ L_{p,r}(z,1,\\lambda,\\mu)\\equiv L_{p,r}(z,\\lambda,\\mu),$ вогнутый двойственный функционал $V_{p,r}(\\lambda,\\mu)\\equiv \\inf\\limits_{z\\in{\\cal D}}L_{p,r}(z,\\lambda,\\mu),\\,\\,\\,\\lambda\\in H,\\,\\,\\mu\\in \\mathbb{R}^m$ и соответствующую двойственную задачу \\begin{equation}\\label{dual} V_{p,r}(\\lambda,\\mu)\\to\\sup,\\,\\,\\,(\\lambda,\\mu)\\in H\\times \\mathbb{R}^m_+. \\end{equation} Напомним, что вектором Куна--Таккера задачи ($P_{p,r}^{co}$) называется пара $(\\lambda^\\ast,\\mu^\\ast)\\in H\\times \\mathbb{R}^m_+,$ для которой $\\inf\\limits_{z\\in{\\cal D}_{p,r}^0}f(z)\\leq L_{p,r}(z,\\lambda^\\ast,\\mu^\\ast)\\,\\,\\,\\forall\\,z\\in {\\cal D},$ где $\\inf\\limits_{z\\in{\\cal D}_{p,r}^0}f(z)=f(z_{p,r}^0)$ в случае разрешимости задачи ($P_{p,r}^{co}$). Известно (см., например, теорему \\ref{teor1} и ее доказательство), что любой такой вектор Куна--Таккера $(\\lambda^\\ast,\\mu^\\ast)$ в паре с $z_{p,r}^0$ составляют седловую точку функции Лагранжа $L_{p,r}(\\cdot,\\cdot,\\cdot),$ а взятый с обратным знаком, то есть вектор $-(\\lambda^\\ast,\\mu^\\ast)$ --- является одновременно элементом субдифференциала (в смысле выпуклого анализа) $\\partial\\beta(p,r)$ выпуклой полунепрерывной снизу функции значений $\\beta$ в точке $(p,r)$ и нормалью (в смысле выпуклого анализа) вида $(\\zeta,-1)$ к $\\mbox{epi}\\,\\beta$ в точке $(p,r,\\beta(p,r)).$ \\textbf{1.2. Недифференциальные принцип Лагранжа и теорема Куна--Таккера в выпуклой задаче на условный экстремум. } Сформулируем и докажем параметрический принцип Лагранжа в недифференциальной форме в задаче ($P_{p,r}^{co}$). Он жестко связывает как выполнимость, так и свойства регулярности самого принципа Лагранжа в задаче ($P_{p,r}^{co}$) при фиксированной паре $(p,r)\\in\\mbox{dom}\\,\\beta$ с субдифференциальными свойствами функции значений $\\beta$ в точке $(p,r).$ Одновременно в нем формулируются необходимые и достаточные условия того, что $(p,r)\\in\\partial\\mbox{dom}\\,\\beta.$ Естественно, при этом нам не нужны дополнительные предположения о дифференцируемости исходных данных. Приводимая ниже теорема уточняет теорему 2.1 в \\cite{suminm2011}. Ее формулировка и доказательство помогают получению аналогичных результатов в нелинейных задачах на условный экстремум в разделе 2. Автор не исключает, что формулируемый и доказываемый ниже параметрический классический принцип Лагранжа может быть найден еще в какой-либо из большого числа имеющихся к настоящему времени публикаций, посвященных различным вариантам принципа Лагранжа в выпуклых задачах на условный экстремум. Обозначим через $N_{\\Omega}(x)$ конус нормалей в смысле выпуклого анализа к выпуклому множеству $\\Omega$ в точке $x\\in\\Omega\\subset H $ где $H$ --- гильбертово пространство. При доказательстве принципа Лагранжа нам понадобится (см., например, \\cite[замечание 4A.2(b)]{loewen}) \\begin{Lemma}\\label{2l2_2_1} Если $f:\\,H\\to \\mathbb{R}^1\\cup\\{+\\infty\\}$ выпуклая функция, то $\\zeta\\in\\partial f(x),$ где $\\partial f(x)$ --- субдифференциал в смысле выпуклого анализа функции $f,$ тогда и только тогда, когда $(\\zeta,-1)\\in N_{\\mbox{epi}\\, f}(x,f(x)),$ что, в свою очередь, эквивалентно неравенству $$ \\langle(\\zeta,-1),(y,r)-(x,f(x))\\rangle\\leq 0\\,\\,\\forall\\,(y,r)\\in \\mbox{epi}\\, f. $$ \\end{Lemma} Справедливо также следующее важное, в контексте настоящей статьи, утверждение о плотности субдифференцируемости (см., например, \\cite[теорема 4.3]{aubin}). \\begin{Lemma}\\label{lem_24.02.2020} Субдифференциал собственной выпуклой полунепрерывной снизу функции $f:\\,H\\to \\mathbb{R}^1\\cup\\{+\\infty\\},$ где $H$ --- гильбертово пространство, не пуст в точках плотного в $\\mbox{dom}\\, f$ множества. \\end{Lemma} \\begin{Theorem}\\label{teor1} $[$Параметрический принцип Лагранжа в недифференциальной фор\\-ме$]$ Пусть функция $f:\\,{\\cal D}\\to \\mathbb{R}^1$ выпукла, множество ${\\cal D}$ является выпуклым и замкнутым (возможно неограниченным), $\\beta:\\,H\\times \\mathbb{R}^m\\to \\mathbb{R}^1\\cup\\{+\\infty\\}$ --- собственная $($полунепрерывная снизу выпуклая$)$ функция. Пусть также $(p,r)\\in H\\times \\mathbb{R}^m$ такая точка, что $\\beta(p,r)<+\\infty$ и $\\beta_0(p,r)=\\beta(p,r).$ Тогда: %справедливы следующие два утверждения. \\textbf{1.} Если $z_{p,r}^0\\in{\\cal D}_{p,r}^0\\equiv\\{z\\in{\\cal D}:\\,Az-h-p=0,\\,\\,g_i(z)\\leq r_i,\\,\\,i=1,\\dots,m\\}$ --- оптимальный элемент в задаче $(P_{p,r}^{co}),$ то есть $f(z_{p,r}^0)=\\beta_0(p,r),$ и $\\zeta\\in\\partial\\beta(p,r),$ где $\\partial\\beta(p,r)$ --- субдифференциал в смысле выпуклого анализа, то для множителей Лагранжа $\\lambda\\in H,\\,\\,\\mu\\in \\mathbb{R}^m_+,$ $(\\lambda,\\mu)=-\\zeta,$ при $\\mu_0=1$ выполняются соотношения \\begin{equation}\\label{2dis5*12_1_1_1} L_{p,r}(z_{p,r}^0,\\mu_0,\\lambda,\\mu)\\leq L_{p,r}(z,\\mu_0,\\lambda,\\mu)\\,\\,\\forall\\,z\\in{\\cal D},\\,\\,\\,\\,\\mu_i(g_i(z_{p,r}^0)-r_i)=0,\\,\\,\\,i=1,\\dots,m \\end{equation} и при этом $-\\zeta=(\\lambda,\\mu)$ --- вектор Куна--Таккера задачи $(P_{p,r}^{co}).$ И, наоборот, если $\\beta(p,r)=\\beta_0(p,r)$ $\\forall\\,(p,r)\\in H\\times \\mathbb{R}^m$ и $\\tilde z\\in{\\cal D}_{p,r}^0$ такой элемент, что при некоторых $\\mu_0>0,\\,\\,\\lambda\\in H,\\,\\,\\,\\mu\\in \\mathbb{R}^m_+$ выполняются соотношения \\eqref{2dis5*12_1_1_1} с заменой $z_{p,r}^0$ на $\\tilde z,$ то этот элемент оптимален в задаче $(P_{p,r}^{co}),$ то есть $\\tilde z=z_{p,r}^0,$ пара $(\\lambda/\\mu_0,\\mu/\\mu_0)$ является вектором Куна--Таккера для нее и одновременно $(-\\lambda/\\mu_0,-\\mu/\\mu_0)\\in\\partial\\beta(p,r).$ \\textbf{2.} Если $z_{p,r}^0\\in{\\cal D}_{p,r}^0$ --- оптимальный элемент в задаче $(P_{p,r}^{co}),$ $(p,r)\\in\\partial\\,dom\\beta$ и\\linebreak $\\zeta\\in\\partial^\\infty\\beta(p,r),$ $\\zeta\\neq 0,$ где $\\partial^\\infty\\beta(p,r)$ --- сингулярный $($асимпто\\-ти\\-чес\\-кий$)$ субдифференциал $($см., например, \\cite{loewen}$),$ определяемый формулой $$\\partial^\\infty\\beta(p,r)\\equiv\\{(\\lambda,\\mu)\\in H\\times \\mathbb{R}^m:\\,((\\lambda,\\mu),0)\\in N_{\\mbox{epi}\\,\\beta}((p,r),\\beta(p,r))\\}, $$ то для множителей Лагранжа $\\lambda\\in H,\\,\\,\\mu\\in \\mathbb{R}^m_+,$ $(\\lambda,\\mu)=-\\zeta,$ соотношения \\eqref{2dis5*12_1_1_1} выполняются при $\\mu_0=0.$ И, наоборот, если $\\beta(p,r)=\\beta_0(p,r)$ $\\forall\\,(p,r)\\in H\\times \\mathbb{R}^m$ и $\\tilde z\\in{\\cal D}_{p,r}^0$ --- такой элемент, что при $\\mu_0=0$ и некоторых $\\lambda\\in H,\\,\\,\\,\\mu\\in \\mathbb{R}^m_+,$ $(\\lambda,\\mu)\\neq 0,$ выполняются соотношения \\eqref{2dis5*12_1_1_1} с заменой $z_{p,r}^0$ на $\\tilde z,$ то $(p,r)\\in \\partial\\,dom\\,\\beta$ и одновременно $(-\\lambda,-\\mu)\\in\\partial^\\infty\\beta(p,r).$ \\end{Theorem} \\begin{Remark}\\label{zam1} Первая часть теоремы \\ref{teor1} представляет собой, по сути дела, формулировку классической теоремы Куна--Таккера $($см., например, \\cite{altifom,vasil'ev2011,sutife}$)$ с использованием вместо понятия вектора Куна--Таккера эквивалентного в данном контексте понятия субдифференциала функции значений. При этом пара двойственных переменных $(\\lambda/\\mu_0,\\mu/\\mu_0),$ о которой идет речь в обоих утверждениях первой части теоремы, является одновременно вектором Куна--Таккера задачи $(P_{p,r}^{co})$ и решением двойственной задачи \\eqref{dual}. \\end{Remark} \\begin{Remark}\\label{zam3} \\ Важным \\, является то, что \\, принципом \\, Лагранжа тео\\-ре\\-мы \\ref{teor1} <<не охватываются>> задачи $(P_{p,r}^{co}),$ для которых одновременно $\\partial\\beta(p,r)=\\emptyset$ и\\linebreak $\\partial^\\infty\\beta(p,r)=\\{0\\},$ что вполне возможно для задач с ограничениями, задаваемыми операторами с бесконечномерными образами. Из теоремы следует, что обычный невырожденный (регулярный или нерегулярный) принцип Лагранжа в задаче $(P_{p,r}^{co})$ выполняется тогда и только тогда, когда имеет место хотя бы одно из двух соотношений $\\partial\\beta(p,r)\\neq\\emptyset,$ $\\partial^\\infty\\beta(p,r)\\neq\\{0\\}.$ \\end{Remark} \\proof Доказываем первое утверждение первой части теоремы \\ref{teor1}. В силу леммы \\ref{2l2_2_1} можем записать \\begin{equation}\\label{07_1} \\langle((-\\lambda,-\\mu),-1),((\\gamma,\\omega),s)-((p,r),\\beta(p,r))\\rangle\\leq 0\\,\\,\\,\\forall\\,((\\gamma,\\omega),s)\\in \\mbox{epi}\\,\\beta \\end{equation} или $$ -\\langle \\lambda,\\gamma-p\\rangle-\\langle\\mu,\\omega-r\\rangle\\leq s-\\beta(p,r)\\,\\,\\,\\forall\\,((\\gamma,\\omega),s)\\in \\mbox{epi}\\,\\beta $$ или $$ \\langle \\lambda,\\gamma\\rangle+\\langle\\mu,\\omega\\rangle+s\\geq\\langle \\lambda,p\\rangle+\\langle\\mu,r\\rangle+\\beta(p,r)\\,\\,\\,\\forall\\,((\\gamma,\\omega),s)\\in \\mbox{epi}\\,\\beta. $$ Последнее означает, что точка $(z_{p,r}^0,(p,r))\\in{\\cal D}\\times H\\times \\mathbb{R}^m,$ с учетом включения $\\mbox{epi}\\,\\beta_0\\subseteq\\mbox{epi}\\,\\beta$ (так как $\\beta(p,r)\\leq\\beta_0(p,r)$), доставляет минимальное значение в задаче \\begin{equation}\\label{aux} \\widetilde f(z,\\gamma,\\omega)\\equiv f(z)+\\langle \\lambda,\\gamma\\rangle+\\langle\\mu,\\omega\\rangle\\to\\min, \\end{equation} $$ Az-h=\\gamma,\\,\\,\\,\\,g(z)\\leq \\omega\\,\\,\\,\\,(z,(\\gamma,\\omega))\\in {\\cal D}\\times H\\times \\mathbb{R}^m. $$ Действительно, если $Az-h=\\gamma,$ $g(z)\\leq\\omega,$ то $(z,(\\gamma,\\omega))$ такая точка, что $((\\gamma,\\omega), f(z))\\in\\mbox{epi}\\,\\beta$ и, значит, $$ \\langle \\lambda,\\gamma\\rangle+\\langle\\mu,\\omega\\rangle+f(z)\\geq\\langle \\lambda,p\\rangle+\\langle\\mu,r\\rangle+\\beta(p,r). $$ Получим условия оптимальности этой точки в задаче \\eqref{aux}. Покажем сначала, что $\\mu\\geq 0$ и выполняется условие дополняющей нежесткости. Можем записать $ \\langle\\mu,r\\rangle\\leq\\langle\\mu,\\omega\\rangle\\,\\,\\forall\\,\\omega\\in{\\mathbb{R}^m}\\,\\,\\mbox{такого, что }\\,g(z_{p,r}^0)\\leq \\omega,$ так как в силу \\eqref{aux} $$ f(z_{p,r}^0)+\\langle \\lambda,p\\rangle+\\langle\\mu,r\\rangle\\leq f(z_{p,r}^0)+\\langle \\lambda,p\\rangle+\\langle\\mu,\\omega\\rangle\\,\\,\\forall\\,\\omega\\in{\\mathbb{R}^m}\\,\\,\\mbox{такого, что }\\,g(z_{p,r}^0)\\leq \\omega. $$ Тогда в силу указанного произвола $\\omega$ из неравенства $\\langle\\mu,\\omega-r\\rangle\\geq 0,$ справедливого для любого $\\omega\\geq r,$ так как $g(z_{p,r}^0)\\leq r$ и для любого $\\omega\\geq r$ имеет место неравенство $g(z_{p,r}^0)\\leq \\omega,$ выводим включение $\\mu\\in \\mathbb{R}^m_+.$ Одновременно при $\\omega=g(z_{p,r}^0)$ получаем неравенство $\\langle\\mu,g(z_{p,r}^0)-r\\rangle\\geq 0,$ которое в паре с другим неравенством $\\langle\\mu,g(z_{p,r}^0)-r\\rangle\\leq 0,$ являющимся следствием включения $\\mu\\in \\mathbb{R}^m_+$ и неравенства $g(z_{p,r}^0)\\leq r,$ влечет равенство $\\langle\\mu,g(z_{p,r}^0)-r\\rangle=0,$ из которого в силу противоположных знаков сомножителей вытекает условие дополняющей нежесткости $\\mu_i(g_i(z_{p,r}^0)-r_i)=0,\\,\\,\\,i=1,\\dots,m.$ Далее, в силу \\eqref{aux} можем записать, $$ f(z_{p,r}^0)+\\langle \\lambda,p\\rangle+\\langle\\mu,r\\rangle\\leq f(z)+\\langle \\lambda,\\gamma\\rangle+\\langle\\mu,\\omega\\rangle,\\,\\, Az-h=\\gamma,\\,\\,g(z)\\leq \\omega,\\,\\,(z,(\\gamma,\\omega))\\in{\\cal D}\\times H\\times \\mathbb{R}^m, $$ то есть $$ f(z_{p,r}^0)+\\langle \\lambda,Az_{p,r}^0-h-p\\rangle\\leq f(z)+\\langle \\lambda,Az-h-p\\rangle+\\langle\\mu,\\omega-r\\rangle \\,\\,\\forall(z,\\omega)\\in{\\cal D}\\times \\mathbb{R}^m,\\,\\,g(z)\\leq \\omega, $$ откуда в силу доказанного условия дополняющей нежесткости имеем $$ f(z_{p,r}^0)+\\langle \\lambda,Az_{p,r}^0-h-p\\rangle+\\langle\\mu,g(z_{p,r}^0)-r\\rangle\\leq $$ $$ f(z)+\\langle \\lambda,Az-h-p\\rangle+\\langle\\mu,\\omega-r\\rangle\\,\\,\\forall(z,\\omega)\\in{\\cal D}\\times \\mathbb{R}^m,\\,\\,g(z)\\leq \\omega, $$ и при $\\omega=g(z)$ $$ f(z_{p,r}^0)+\\langle \\lambda,Az_{p,r}^0-h-p\\rangle+\\langle\\mu,g(z_{p,r}^0)-r\\rangle\\leq f(z)+\\langle \\lambda,Az-h-p\\rangle+\\langle\\mu,g(z)-r\\rangle\\,\\,\\forall \\,z\\in{\\cal D}, $$ или $$ L_{p,r}(z,\\lambda,\\mu)\\geq L_{p,r}(z_{p,r}^0,\\lambda,\\mu)\\,\\,\\forall\\,z\\in{\\cal D}, $$ то есть получены все соотношения принципа Лагранжа в недифференциальной форме. Заметим здесь же, что одновременно в силу выпуклости задачи нами доказано, что элемент $-\\zeta=(\\lambda,\\mu)$ является и ее вектором Куна-Таккера. Таким образом, первое утверждение первой части теоремы доказано. Доказываем второе утверждение первой части теоремы. Пусть $z_{p,r}^0\\in{\\cal D}_{p,r}^0$ такой элемент, что при некоторых $\\mu_0>0,\\,\\,\\lambda\\in{H},\\,\\,\\,\\mu\\in{\\mathbb{R}^m}$ выполняются соотношения \\eqref{2dis5*12_1_1_1}. Тогда, очевидно, точка $z_{p,r}^0\\in{\\cal D}_{p,r}^0$ доставляет минимальное значение в задаче $$ \\mu_0 f(z)+\\langle \\lambda,Az-h-p\\rangle+\\langle\\mu,g(z)-r\\rangle\\to\\min,\\,\\,\\,\\,z\\in{\\cal D}. $$ Отсюда с учетом условия дополняющей нежесткости в \\eqref{2dis5*12_1_1_1} имеем \\begin{equation}\\label{new2} \\mu_0 f(z_{p,r}^0)=\\mu_0 f(z_{p,r}^0)+\\langle \\lambda,Az^0_{p,r}-h-p\\rangle+\\langle\\mu,g(z_{p,r}^0)-r\\rangle\\leq \\end{equation} $$ \\mu f(z)+\\langle \\lambda,Az-h-p\\rangle+\\langle\\mu,g(z)-r\\rangle\\,\\,\\,\\,\\,\\forall\\,z\\in{\\cal D}. $$ Поэтому для всех $z\\in{\\cal D}_{p,r}^0$ можем записать $\\mu_0 f(z_{p,r}^0)\\leq\\mu_0 f(z),$ и, значит, в силу положительности $\\mu_0$ имеем $f(z_{p,r}^0)\\leq f(z)\\,\\,\\,\\,\\forall\\,z\\in{\\cal D}_{p,r}^0.$ Заметим, что одновременно из \\eqref{new2} вытекает, что $$ \\beta(p,r)= f(z^0_{p,r})\\leq f(z)+\\langle \\lambda/\\mu_0,Az-h-p\\rangle+\\langle\\mu/\\mu_0,g(z)-r\\rangle\\,\\,\\,\\,\\,\\forall\\,z\\in{\\cal D}, $$ то есть $(\\lambda/\\mu_0,\\mu/\\mu_0)$ --- вектор Куна--Таккера. Из последнего неравенства выводим также $$ \\beta(p,r)+\\langle(\\lambda/\\mu_0,\\mu/\\mu_0),(p,r)\\rangle\\leq f(z)+\\langle(\\lambda/\\mu_0,\\mu/\\mu_0),(Az-h,g(z))\\rangle\\,\\,\\,\\forall\\,z\\in{\\cal D}, $$ откуда, в свою очередь, с учетом равенства $\\beta(p,r)=\\beta_0(p,r)$ $\\forall\\,(p,r)\\in H\\times \\mathbb{R}^m,$ получаем $$ \\beta(p,r)-\\langle-(\\lambda/\\mu_0,\\mu/\\mu_0),(p,r)\\rangle\\leq I-\\langle-(\\lambda/\\mu_0,\\mu/\\mu_0),(\\gamma,\\omega)\\rangle\\,\\,\\,\\forall\\,(\\gamma,\\omega)\\in\\mbox{dom}\\,\\beta,\\,\\, I\\geq\\beta(\\gamma,\\omega), $$ или $$ \\langle(-(\\lambda/\\mu_0,\\mu/\\mu_0),-1),((\\gamma,\\omega),I)-((p,r),\\beta(p,r))\\rangle\\leq 0\\,\\,\\,\\forall\\,((\\gamma,\\omega),I)\\in\\mbox{epi}\\,\\beta, $$ что в силу леммы \\ref{2l2_2_1} означает справедливость включения $-(\\lambda/\\mu_0,\\mu/\\mu_0)\\in \\partial\\beta(p,r).$ Доказываем утверждения второй части теоремы. В случае первого утверждения второй части имеем вместо неравенства \\eqref{07_1} неравенство $$ \\langle((-\\lambda,-\\mu),0),((\\gamma,\\omega),s)-((p,r),\\beta(p,r))\\rangle\\leq 0\\,\\,\\forall\\,((\\gamma,\\omega),s)\\in \\mbox{epi}\\,\\beta \\,\\,\\mbox{или }\\forall\\,(\\gamma,\\omega)\\in\\mbox{dom}\\,\\beta $$ и, соответственно, точка $(z_{p,r}^0,(p,r))\\in{\\cal D}\\times H\\times {\\mathbb{R}^m}$ доставляет минимальное значение в задаче (с учетом включения $\\mbox{dom}\\,\\beta_0\\subseteq\\mbox{dom}\\,\\beta$) $$ \\widetilde f(z,\\gamma,\\omega)\\equiv \\langle \\lambda,\\gamma\\rangle+\\langle\\mu,\\omega\\rangle\\to\\min,\\,\\,\\,Az-h=\\gamma,\\,\\,\\,\\,g(z)\\leq \\omega,\\,\\,\\,\\,\\,(z,(\\gamma,\\omega))\\in{\\cal D}\\times H\\times \\mathbb{R}^m. $$ Повторяя \\ далее \\ практически \\ дословно \\ рассуждения \\ доказательства \\ первого \\ ут\\-верж\\-дения первой части, получаем, что для множителей Лагранжа $\\lambda\\in H,$ $\\mu\\in \\mathbb{R}^m_+,$ $(\\lambda,\\mu)=-\\zeta,$ соотношения \\eqref{2dis5*12_1_1_1} выполняются при $\\mu_0=0.$ Доказываем, наконец, второе утверждения второй части теоремы. В том случае, если $\\mu_0=0,$ вместо неравенства \\eqref{new2} при доказательстве второго утверждения первой части, имеем неравенство \\begin{equation}\\label{new2_n} 0\\leq\\langle \\lambda,Az-h-p\\rangle+\\langle\\mu,g(z)-r\\rangle\\,\\,\\,\\,\\,\\forall\\,z\\in{\\cal D}. \\end{equation} Перепишем неравенство \\eqref{new2_n} в виде $$ -\\langle-(\\lambda,\\mu),(p,r)\\rangle\\leq-\\langle -(\\lambda,\\mu),(Az-h,g(z))\\rangle\\,\\,\\,\\,\\,\\forall\\,z\\in{\\cal D}, $$ откуда, также, как и выше в случае $\\mu_0>0,$ получаем $$ -\\langle -(\\lambda,\\mu),(p,r)\\rangle\\leq-\\langle -(\\lambda,\\mu),(\\gamma,\\omega)\\rangle\\,\\,\\,\\,\\,\\forall\\,(\\gamma,\\omega)\\in \\mbox{dom}\\,\\beta. $$ Отсюда, с учетом определения нормали (в смысле выпуклого анализа), следует, что $(-\\lambda,-\\mu)\\in N_{\\mbox{dom}\\,\\beta}(p,r),$ то есть $(p,r)\\in\\partial\\,\\mbox{dom}\\,\\beta$ и одновременно $((-\\lambda,-\\mu),0)\\in N_{\\mbox{epi}\\,\\beta}((p,r),\\beta(p,r)),$ то есть $-(\\lambda,\\mu)\\in\\partial^\\infty\\beta(p,r).$ Теорема полностью доказана.%\\hfill $\\square$ \\vspace{1ex} %\\begin{comment} \\textbf{1.3. Cубдифференциалы функции значений и множители Лагранжа.}\\\\ В~данном разделе изучим на основе принципа Лагранжа теоремы \\ref{teor1} теснейшую связь свойств субдифференцируемости (в смысле выпуклого анализа) функции значений задачи ($P_{p,r}^{co}$) с участвующими в формулировке теоремы множителями Лагранжа. В заключение раздела будут получены явные формулы для субдифференциала $\\partial\\beta(p,r)$ и асимптотического субдифференциала $\\partial^\\infty\\beta(p,r)$ функции значений в терминах множителей Лагранжа. Введем определение стационарного элемента в задаче ($P_{p,r}^{co}$), согласованное с теоремой \\ref{teor1}. \\begin{Definition}\\label{def4} Некоторый элемент $\\tilde z\\in {\\cal D}_{p,r}^0$ $($вообще говоря, не обязательно оптимальный$)$ называется стационарным в задаче ($P_{p,r}^{co}$), если он удовлетворяет всем соотношениям \\eqref{2dis5*12_1_1_1}, в которых $z_{p,r}^0$ следует заменить на $\\tilde z,$ при некотором невырожденном наборе множителей Лагранжа $(\\mu_0,\\lambda,\\mu)\\in \\mathbb{R}^1_+\\times H\\times \\mathbb{R}^m_+.$ \\end{Definition} Важное замечание состоит в следующем. \\begin{Remark}\\label{nostationar} Существуют разрешимые задачи $(P_{p,r}^{co})$ (с бесконечномерным~$H$\\!), в которых нет стационарных элементов. Такие задачи, в которых показывается невыполнимость принципа Лагранжа, можно найти, например, в \\cite{suminm2011,suminm2014,suminm2019}. %\\textbf{Привести пример несуществования в разрешимой задаче % стационарных элементов! 15.03.2016} \\textbf{Надо взять задачу из % примера невыполнимости принципа Лагранжа, 07.02.2019} \\end{Remark} \\begin{Definition}\\label{def5} Стационарный элемент $\\tilde z\\in {\\cal D}_{p,r}^0$ называется нормальным в задаче $(P_{p,r}^{co}),$ если для любого невырожденного набора множителей Лагранжа $(\\mu_0,\\lambda,\\mu)\\in \\mathbb{R}^1_+\\times H\\times \\mathbb{R}^m_+,$ соответствующего ему согласно определению \\ref{def4}, справедливо строгое неравенство $\\mu_0>0.$ \\end{Definition} \\begin{Definition}\\label{def6} Стационарный элемент $\\tilde z\\in {\\cal D}_{p,r}^0$ называется регулярным в задаче $(P_{p,r}^{co}),$ если существует невырожденный набор множителей Лагранжа $(\\mu_0,\\lambda,\\mu)\\in \\mathbb{R}^1_+\\times H\\times \\mathbb{R}^m_+,$ соответствующий ему согласно определению \\ref{def4}, для которого справедливо строгое неравенство $\\mu_0>0.$ \\end{Definition} \\begin{Definition}\\label{def7} Стационарный элемент $\\tilde z\\in {\\cal D}_{p,r}^0$ называется анормальным в задаче $(P_{p,r}^{co}),$ если для любого невырожденного набора множителей Лагранжа $(\\mu_0,\\lambda,\\mu)\\in \\mathbb{R}^1_+\\times H\\times \\mathbb{R}^m_+,$ соответствующего ему согласно определению \\ref{def4}, справедливо равенство $\\mu_0=0.$ \\end{Definition} Введем далее определения нормальной, регулярной и анормальной задачи ($P_{p,r}^{co}$). \\begin{Definition}\\label{def8} Задача $(P_{p,r}^{co}),$ при условии существования в ней стационарных элементов, называется нормальной, если все ее стационарные элементы нормальны. \\end{Definition} \\begin{Definition}\\label{def9} Задача $(P_{p,r}^{co}),$ при условии существования в ней стационарных элементов, называется регулярной, если в ней существует регулярный стационарный элемент. \\end{Definition} \\begin{Definition}\\label{def10} Задача $(P_{p,r}^{co}),$ при условии существования в ней стационарных элементов, называется анормальной, если все ее стационарные элементы анормальны. \\end{Definition} %\\textbf{Сначала здесь надо ввести определение стационарного % элемента, а затем уже будет легче определить нормальную, регулярную % и анормальную задачи. (05.11.2013)} Из теоремы \\ref{teor1} и определений \\ref{def8}, \\ref{def9}, \\ref{def10} вытекают следующие утверждения. %\\begin{Lemma}\\label{norm} %Задача ($P_{p,r}^{co}^0$) является нормальной (регулярной; анормальной) %\\textbf{тогда и убрать?} тогда и только тогда, когда одновременно %выполняются соотношения (выполняется соотношение; одновременно %выполняются соотношения) $\\partial\\beta(p,r)\\neq\\emptyset$ и %$\\partial^\\infty\\beta(p,r)=\\{0\\}$ %($\\partial\\beta(p,r)\\neq\\emptyset$; %$\\partial\\beta(p,r)=\\emptyset$ и %$\\partial^\\infty\\beta(p,r)\\neq\\{0\\}$). %\\end{Lemma} \\begin{Lemma}\\label{norm_29.10.2019} Пусть функция $f:\\,{\\cal D}\\to \\mathbb{R}^1$ выпукла, множество ${\\cal D}$ является выпуклым и замкнутым $($возможно неограниченным$),$ $\\beta:\\,H\\times \\mathbb{R}^m\\to \\mathbb{R}^1\\cup\\{+\\infty\\}$ --- собственная $($полунепрерывная снизу выпуклая$)$ функция и $\\beta_0(p,r)=\\beta(p,r)\\,\\,\\forall\\,(p,r)\\in H\\times \\mathbb{R}^m.$ Пусть также $(p,r)\\in H\\times \\mathbb{R}^m$ такая точка, что $\\beta(p,r)<+\\infty$ и в задаче ($P_{p,r}^{co}$) существует стационарный элемент. Тогда: \\textbf{1.} Задача $(P_{p,r}^{co})$ является нормальной тогда и только тогда, когда одновременно выполняются соотношения $\\partial\\beta(p,r)\\neq\\emptyset$ и $\\partial^\\infty\\beta(p,r)=\\{0\\}$; \\textbf{2.} Если задача $(P_{p,r}^{co})$ является регулярной, то $\\partial\\beta(p,r)\\neq\\emptyset$; \\textbf{3.} Если задача $(P_{p,r}^{co})$ является анормальной, то $\\partial^\\infty\\beta(p,r)\\neq\\{0\\}.$ \\end{Lemma} В то же время, если мы добавим к условиям леммы \\ref{norm_29.10.2019} и условие разрешимости задачи, то легко получить следующее утверждение в качестве следствия теоремы \\ref{teor1}. \\begin{Lemma}\\label{norm} %Пусть функция $f:\\,{\\cal D}\\to \\mathbb{R}^1$ выпукла, множество % ${\\cal D}$ является выпуклым и замкнутым $($возможно неограниченным$),$ % $\\beta:\\,H\\times \\mathbb{R}^m\\to \\mathbb{R}^1\\cup\\{+\\infty\\}$ --- собственная $($полунепрерывная % снизу выпуклая$)$ функция. Пусть также $(p,r)\\in H\\times \\mathbb{R}^m$ такая % точка, что $\\beta(p,r)<+\\infty$ и $\\beta_0(p,r)=\\beta(p,r)\\,\\,\\forall\\,(p,r)\\in H\\times \\mathbb{R}^m.$ %При условиях теоремы \\ref{teor1} и при условии %$\\beta(p,r)=\\beta_0(p,r)$ $\\forall\\,(p,r)\\in H\\times \\mathbb{R}^m$ %\\textbf{$Z_{p,r}^0\\neq\\emptyset,$ 08.02.2019} 20.06.2019 Если, при условиях леммы \\ref{norm_29.10.2019}, задача $(P_{p,r}^{co})$ разрешима, то есть $Z_{p,r}^0\\neq\\emptyset,$ и в ней существуют стационарные элементы, то она является нормальной $($регулярной; анормальной$)$ тогда и только тогда, когда одновременно выполняются соотношения $($выполняется соотношение; одновременно выполняются соотношения$)$ $\\partial\\beta(p,r)\\neq\\emptyset$ и $\\partial^\\infty\\beta(p,r)=\\{0\\}$ $(\\partial\\beta(p,r)\\neq\\emptyset$; $\\partial\\beta(p,r)=\\emptyset$ и $\\partial^\\infty\\beta(p,r)\\neq\\{0\\}).$ \\end{Lemma} Введем далее множества $L_{p,r}^{\\nu}\\equiv\\{-(\\lambda,\\mu)\\in H\\times \\mathbb{R}^m_+:\\,\\xi\\equiv(\\mu_0,\\lambda,\\mu) \\in \\mathbb{R}^1_+\\times H\\times \\mathbb{R}^m_+,\\,\\xi\\neq 0,\\,\\mu_0=\\nu,$ тройка $\\xi$ в совокупности с элементом $z_{p,r}^0$ удовлетворяет соотношениям \\eqref{2dis5*12_1_1_1}\\}, $\\nu=0,1$; $M_{p,r}^{0}\\equiv L_{p,r}^{0}\\bigcup\\{0\\},\\quad M_{p,r}^{1}\\equiv L_{p,r}^{1},$ а также множество $M_{p,r}$ всех векторов Куна--Таккера задачи $(P_{p,r}^{co}).$ Тогда непосредственным следствием теоремы \\ref{teor1} является следующая \\begin{Lemma}\\label{13l7_1_1} Пусть в задаче $(P_{p,r}^{co})$ имеются стационарные элементы и она разрешима. Тогда при условиях теоремы \\ref{teor1} и при условии $\\beta(p,r)=\\beta_0(p,r)$ $\\forall\\,(p,r)\\in H\\times \\mathbb{R}^m$ справедливы равенства $\\partial\\beta(p,r)=M_{p,r}^{1}=-M_{p.r},\\,\\,\\,\\,\\,\\partial^\\infty\\beta(p,r)=M_{p,r}^{0}.$ \\end{Lemma} Различные результаты, связывающие субдифференциальные свойства функций значений задач на условный экстремум с множителями Лагранжа, были получены в разное время целым рядом авторов, среди которых, в первую очередь, укажем на результаты Ф.~Кларка (см. известную монографию \\cite{clarke}, а также список литературы в ней). В то же время, с формальной точки зрения, автору не известны <<координаты>> какой-либо работы, в которой были бы получены формулы леммы \\eqref{13l7_1_1} для задачи вида ($P_{p,r}^{co}$). \\textbf{1.4. Принцип Лагранжа и неустойчивость задач на условный экстремум.} Покажем, прежде всего, что задачам $(P_{p,r}^{co}),$ которые не являются нормальными, свойственна неустойчивость в том смысле, что в любой <<окрестности>> каждой такой задачи существуют другие аналогичные задачи со значением $+\\infty.$ Доказательство этого важного факта заключается, по сути дела, в ссылке на вторую часть второго утверждения теоремы \\ref{teor1}. Из утверждения этой второй части следует, что, если соотношения \\eqref{2dis5*12_1_1_1} с заменой $z_{p,r}^0$ на $\\tilde z$ выполняются для некоторого $\\tilde z\\in{\\cal D}_{p,r}^0$ при $\\mu_0=0$ (это и означает, что задача ($P_{p,r}^{co}$) не является нормальной), то $(p,r)\\in\\partial\\,dom\\,\\beta,$ что и означает, что в любой <<окрестности>> задачи $(P_{p,r}^{co})$ существуют задачи с бесконечным значением. В данном контексте естественно задаться вопросом: много ли неустойчивых задач? Отвечая совсем коротко, можно сказать, что неустойчивых задач <<очень много>>, во всяком случае, <<никак не меньше>>, чем устойчивых. По этой причине классический принцип Лагранжа, если предполагать, что исходные данные могут быть неточными, перестает быть формально корректным (подробности см. в \\cite{suminm2011,suminm2014,suminm2018,suminm2019}) для огромного числа важнейших оптимизационных задач. \\textbf{1.5. <<Нерегулярная часть>> принципа Лагранжа как следствие его <<регулярной части>>.} Покажем далее, что первая часть утверждения \\textbf{2} теоремы \\ref{teor1}, по сути дела, является следствием первой же части утверждения \\textbf{1} той же теоремы. Это обстоятельство вытекает из свойств субдифференциала и асимптотического субдифференциала полунепрерывной снизу выпуклой функции в гильбертовом пространстве, которые можно найти, например, в \\cite[p.~82]{loewen}). Для упрощения изложения предполагаем, что $f$ --- субдифференцируемый в точках ${\\cal D}$ функционал. Предположим для этого сначала, что $f:\\,{\\cal D}\\to \\mathbb{R}^1$ --- сильно выпуклый функционал и в рассматриваемой ситуации $\\partial\\beta(p,r)=\\emptyset,$ а сингулярный (асимптотический) субдифференциал $\\partial^\\infty\\beta(p,r)$ содержит ненулевой элемент. В этом случае воспользуемся известным представлением для асимптотического субдифференциала выпуклого полунепрерывного снизу функционала (см., например, \\cite[p.~82]{loewen}) $$ \\partial^{\\infty\\!}\\beta(p,r)\\!=\\!\\!\\limsup_{(p^\\prime,r^\\prime)\\stackrel{\\beta}{\\to}(p,r),\\,t\\downarrow 0}\\!\\!t\\partial\\beta(p^\\prime,r^\\prime)\\equiv \\{w-\\lim\\limits_{k\\to\\infty} t_k\\zeta_k:\\,t_k\\downarrow 0,\\,\\zeta_k\\in\\partial\\beta(p^k,r^k),\\,(p^k,r^k)\\!\\stackrel{\\beta}{\\to}\\!(p,r)\\}, $$ где символ $(p^\\prime,r^\\prime)\\stackrel{\\beta}{\\to}(p,r)$ означает, что $((p^\\prime,r^\\prime),\\beta(p^\\prime,r^\\prime))\\to ((p,r),\\beta(p,r)),$ а символ $t\\downarrow 0$ означает сходимость к нулю справа. Умножим неравенство в \\eqref{2dis5*12_1_1_1} при $\\mu_0=1$ на $s>0$ \\begin{equation}\\label{lagr2} L_{p,r}(z_{p,r}^0,s,s\\lambda_{p,r},s\\mu_{p,r})\\leq L_{p,r}(z,s,s\\lambda_{p,r},s\\mu_{p,r}) \\end{equation} и поступим следующим образом. Для любой слабой предельной точки вида $$ (\\tilde\\lambda_{p,r},\\tilde\\mu_{p,r})=w-\\lim\\limits_{k\\to\\infty,\\,{(p^k,r^k)}\\stackrel{\\beta} {\\to}(p,r),\\,s_k\\downarrow 0} s_k(\\lambda^k_{p^k,r^k},\\mu^k_{p^k,r^k}) $$ с $(\\lambda^k_{p^k,r^k},\\mu^k_{p^k,r^k})\\in\\partial\\beta(p^k,r^k)$ можем записать после очевидного предельного перехода в \\eqref{lagr2} при $(p,r)=(p^k,r^k),$ $(\\lambda_{p,r},\\mu_{p,r})=(\\lambda^k_{p^k,r^k},\\mu^k_{p^k,r^k}),$ $s=s_k$ \\begin{equation}\\label{lagr3} L_{p,r}(z_{p,r}^0,0,\\tilde\\lambda_{p,r},\\tilde\\mu_{p,r})\\leq L_{p,r}(z,0,\\tilde\\lambda_{p,r},\\tilde\\mu_{p,r}). \\end{equation} Одновременно в силу условия дополняющей нежесткости $ \\mu_{p^k,r^k,i}(g_i(z_{p^k,r^k}^0)-r^k_i)=0,$ $i=1,2,\\dots,m$ в результате предельного перехода при $k\\to\\infty$ и предельного соотношения $z_{p^k,r^k}^0\\to z_{p,r}^0,$ $k\\to\\infty$ (это предельное соотношение является следствием слабой сходимости $z_{p^k,r^k}^0$ к $z_{p,r}^0,$ числовой сходимости $f(z_{p^k,r^k}^0)$ к $f(z_{p,r}^0)$ при $k\\to\\infty,$ субдифференцируемости в точках ${\\cal D}$ и сильной выпуклости $f$) получаем $\\tilde\\mu_{p,r,i}(g_i(z_{p,r}^0)-r_i)=0,$ $i=1,2,\\dots,m,$ что в совокупности с \\eqref{lagr3} и означает выполнимость нерегулярного невырожденного принципа Лагранжа. При этом мы аппроксимировали решение $z_{p,r}^0$ задачи ($P_{p,r}^{co}$) точками $z_{p^k,r^k}^0,$ доставляющими минимальное значение функциям Лагранжа $L_{p^k,r^k}(z,\\lambda_{p^k,r^k},\\mu_{p^k,r^k}),$ $z\\in{\\cal D}.$ Пусть далее $f:\\,{\\cal D}\\to \\mathbb{R}^1$ --- выпуклый функционал и $\\partial\\beta(p,r)=\\emptyset,$ а $\\partial^\\infty\\beta(p,r)\\neq\\{0\\}.$ Пусть также $z_{p,r}^0$ --- произвольный элемент из множества $Z_{p,r}^0.$ Рассмотрим вспомогательную задачу с сильно выпуклым целевым функционалом $$ f(z)+\\|z-z_{p,r}^0\\|^2\\to\\min,\\,\\,\\, Az=h+p,\\,\\,\\,g_i(z)\\leq r_i,\\,\\,i=1,\\dots,m,\\,\\,\\,\\,\\,z\\in {\\cal D}\\subset Z.\\,\\,\\,\\,\\leqno(\\widetilde P_{p,r}^{co}) $$ Ее особенностью является то, что при всех $(p^\\prime,r^\\prime)\\in \\mbox{dom}\\, \\beta=\\mbox{dom}\\, \\widetilde\\beta$ имеет место неравенство $\\widetilde\\beta(p^\\prime,r^\\prime)\\geq\\beta(p^\\prime,r^\\prime),$ а в точке $(p,r)$ --- равенство $\\widetilde\\beta(p,r)=\\beta(p,r).$ При этом $\\mbox{epi}\\,\\widetilde\\beta\\subset\\mbox{epi}\\,\\beta$ и, стало быть, любая нормаль (в смысле выпуклого анализа) к надграфику $\\mbox{epi}\\,\\beta$ в точке $(p,r,\\beta(p,r))$ будет одновременно нормалью (в том же смысле) в той же точке и к надграфику $\\mbox{epi}\\,\\widetilde\\beta.$ По этой причине в задаче $(\\widetilde P_{p,r}^{co})$ с сильно выпуклым целевым функционалом имеет место неравенство $\\partial^\\infty\\widetilde\\beta(p,r)\\neq\\{0\\}.$ Повторяя в этой ситуации проведенные выше для случая сильно выпуклого функционала цели рассуждения и принимая во внимание равенство нулю в точке $z_{p,r}^0$ вспомогательного сильно выпуклого слагаемого, приходим к выводу о том, что и в случае выпуклого функционала цели в задаче ($P_{p,r}^{co}$) для любого оптимального элемента $z_{p,r}^0$ выполняются все соотношения нерегулярного невырожденного принципа Лагранжа. \\section{Модифицированные теоремы Куна--Таккера в нелинейных задачах\\\\ на условный экстремум}\\label{s2} Для формулировки и доказательства модифицированных теорем Куна--Таккера в нелинейных задачах на условный экстремум нам потребуются, прежде всего, понятия проксимального субградиента и субдифференциала Фреше полунепрерывной снизу функции в гильбертовом пространстве (см., например, \\cite{loewen,clarke,mord,claledsterwol}) и некоторые необходимые, связанные с ними факты. Понятия проксимального субградиента и субдифференциала Фреше полунепрерывной снизу функции можно трактовать как обобщения понятия субдифференциала в смысле выпуклого анализа на полунепрерывные снизу функции. Подчеркнем, что ниже, в отличие от раздела 1, будут рассматриваться только соответствующие аналоги первой части теоремы \\ref{teor1} --- <<нелинейные>> модифицированным теоремы Куна--Таккера. Множества допустимых элементов ${\\cal D}$ рассматриваемых ниже в данном разделе нелинейных задач являются ограниченными, что обусловлено естественным желанием разумного упрощения изложения, в частности, и в связи с ограничением на объем статьи. По той же причине мы не занимаемся здесь, в нелинейных задачах, вопросами, аналогичными тем, которые были рассмотрены в разделах 1.3--1.5 в случае выпуклой задачи ($P_{p,r}^{co}$). %\\subsection{Проксимальные нормали, проксимальные субградиенты, нормали Фреше, субдифференциалы Фреше} \\textbf{2.1. Проксимальные нормали, проксимальные субградиенты.} Первым из используемых ниже двух понятий субдифференциалов является понятие проксимального субградиента полунепрерывной снизу функции (см., например, \\cite{loewen,clarke,claledsterwol}) в гильбертовом пространстве. Напомним кратко необходимые факты, связанные с этим понятием. Для этого сначала напомним понятие проксимальной нормали. \\begin{Definition}\\label{2d2} $($а$)$ Пусть $H$ --- гильбертово пространство, $S\\subset H$ --- замкнутое множество, $\\bar s\\in S.$ Вектор $\\zeta\\in H$ называется проксимальной нормалью к множеству $S$ в точке $\\bar s\\in S,$ если существует постоянная $M>0$ такая, что \\begin{equation}\\label{pi} \\langle\\zeta,s-\\bar s\\rangle\\leq M\\|s-\\bar s\\|^2\\,\\,\\,\\forall\\,s\\in S. \\end{equation} Множество всех таких векторов $\\zeta,$ являющееся конусом, обозначим через ${\\hat N}^P_S(\\bar s)$ и назовем проксимальным нормальным конусом. $($б$)$ Пусть $f:\\,H\\to \\mathbb{R}^1\\cup\\{+\\infty\\}$ полунепрерывная снизу функция и $\\bar x\\in \\mbox{dom}\\,f.$ Вектор $\\zeta\\in H$ называется проксимальным субградиентом функции $f$ в точке $\\bar x,$ если $(\\zeta,-1)\\in {\\hat N}^P_{\\mbox{epi}\\,f}(\\bar x,f(\\bar x)).$ Множество всех таких векторов $\\zeta$ обозначим через ${\\partial^P}f(\\bar x)$ и назовем проксимальным субградиентом $f$ в точке $\\bar x.$ \\end{Definition} \\begin{Remark}\\label{1r3} Неравенство \\eqref{pi} может быть записано в виде $$ \\langle\\frac1{2M}\\zeta,s-\\bar s\\rangle\\leq\\frac12 \\|s-\\bar s\\|^2\\,\\,\\,\\forall\\,s\\in S. $$ которое, согласно лемме 3C.2 в \\cite{loewen}, эквивалентно включению $$ \\bar s\\in Pr_S({\\bar s+\\frac1{2M}\\zeta}). $$ Другими словами, $\\zeta$ есть проксимальная нормаль к $S$ в $\\bar s$ тогда и только тогда, когда $\\bar s$ есть ближайшая в $S$ точка к некоторой точке вида $\\bar s+t\\zeta,\\,\\,t>0.$ \\end{Remark} Напомним, наконец, критерий того, что данный вектор является проксимальным субградиентом полунепрерывной снизу функции в заданной точке (см., например,\\linebreak \\cite[утверждение 4A.3]{loewen}). \\begin{Lemma}\\label{2l2_1} Пусть $H$ --- гильбертово пространство, $f:\\,H\\to \\mathbb{R}^1\\cup\\{+\\infty\\}$ --- полунепрерывная снизу функция и $\\bar x\\in \\mbox{dom}\\,f.$ Вектор $\\zeta\\in H$ является проксимальным субградиентом функции $f$ в точке $\\bar x,$ то есть $\\zeta\\in\\partial^Pf(x),$ тогда и только тогда, когда существуют постоянные $R>0$ и $\\delta>0$ такие, что $$ \\langle\\zeta,x-\\bar x\\rangle\\leq f(x)-f(\\bar x)+ R\\|x-\\bar x\\|^2\\,\\,\\,\\forall\\,x\\in S_\\delta(\\bar x)\\equiv\\{x^\\prime\\in H:\\,\\|x^\\prime-\\bar x\\|<\\delta\\} $$ или $$ f(\\bar x)-\\langle\\zeta,\\bar x\\rangle\\leq f(x)-\\langle\\zeta,x\\rangle+ R\\|x-\\bar x\\|^2\\,\\,\\,\\forall\\,x\\in S_\\delta(\\bar x). $$ \\end{Lemma} \\textbf{2.2. Нормали Фреше, субдифференциалы Фреше.} Напомним далее понятие нормали Фреше к замкнутому множеству в банаховом пространстве, а также соответствующее понятие субдифференциала Фреше полунепрерывной снизу функции \\cite{mord}. Следующие определения и утверждения могут быть найдены в \\cite{mord}. \\begin{Definition}\\label{2d3_1} Пусть $\\Omega$ --- непустое множество банахова пространства $X.$ Пусть $\\bar x\\in\\Omega$ и $u\\stackrel\\Omega\\to x$ означает, что $u\\to x$ с $u\\in\\Omega.$ Тогда непустое множество $$ \\hat N_\\Omega^F(\\bar x)\\equiv\\{x^\\ast\\in X^\\ast:\\, \\limsup_{u\\stackrel\\Omega\\to \\bar x}\\frac{\\langle x^\\ast,u-\\bar x\\rangle}{\\|u-\\bar x\\|}\\leq 0\\}, $$ являющееся конусом, называется нормальным конусом Фреше к $\\Omega$ в точке $\\bar x.$ %и обозначается $\\hat N(x;\\Omega).$ \\end{Definition} \\begin{Lemma}\\label{lem_22.02.2020}Пусть $\\Omega$ --- непустое множество банахова пространства $X$ и $\\bar x\\in\\Omega.$ Тогда $x^\\ast\\in\\hat N_\\Omega^F(\\bar x)$ в том и только в том случае, если для любого $\\gamma>0$ функция $$ \\psi(x)\\equiv\\langle x^\\ast,x-\\bar x\\rangle-\\gamma\\|x-\\bar x\\| $$ достигает локального максимума относительно множества $\\Omega$ в точке $\\bar x.$ \\end{Lemma} \\begin{Definition}\\label{2d3_2} Пусть $f:\\,X\\to \\mathbb{R}^1\\cup\\{+\\infty\\}$ --- %полунепрерывная снизу функция, определенная на банаховом пространстве $X,$ $\\bar x\\in \\mbox{dom}\\,f.$ Множество $$ \\hat\\partial^F f(\\bar x)\\equiv\\{x^\\ast\\in X^\\ast:\\, (x^\\ast,-1)\\in \\hat N^F_{\\mbox{epi}\\,f}((\\bar x,f(\\bar x)))\\} $$ называется субдифференциалом Фреше функции $f$ в точке $\\bar x.$ При этом полагается $\\hat\\partial^F f(\\bar x)= \\emptyset$ в случае $\\bar x\\notin \\mbox{dom}\\,f.$ \\end{Definition} %Справедливо следующее \\cite{mord} \\begin{Remark} Субдифференциал $\\hat\\partial^F f(\\bar x)$ может быть записан в виде $$ \\hat\\partial^F f(\\bar x)=\\{x^\\ast\\in X^\\ast:\\,\\liminf_{u\\to x} \\frac{f(u)-f(x)-\\langle x^\\ast,u-x\\rangle}{\\|u-x\\|}\\geq 0\\}. $$ \\end{Remark} \\begin{Lemma}\\label{2l2_3} Пусть $f:\\,X\\to \\mathbb{R}^1\\cup\\{+\\infty\\}$ --- %полунепрерывная снизу функция, определенная на банаховом пространстве $X,$ $\\bar x\\in \\mbox{dom}\\,f.$ Тогда $x^\\ast\\in\\hat\\partial^F f(x)$ в том и только в том случае, если для любого $\\gamma>0$ функция $$ \\psi(x)\\equiv f(x)-f(\\bar x)-\\langle x^\\ast,x-\\bar x\\rangle+\\gamma\\|x-\\bar x\\| $$ достигает локального минимума в точке $\\bar x$ или, другими словами, $$ f(\\bar x)-\\langle x^\\ast,\\bar x\\rangle\\leq f(x)-\\langle x^\\ast,x\\rangle+\\gamma\\|x-\\bar x\\|\\,\\,\\,\\forall\\,x\\in X_\\gamma, $$ где $X_\\gamma$ --- некоторая окрестность точки $\\bar x.$ \\end{Lemma} \\begin{Remark}\\label{rem_22.02.2020} Важнейшим свойством полунепрерывных снизу функций \\linebreak $f:\\,X\\to \\mathbb{R}^1\\cup\\{+\\infty\\}$ является то, что как множество $\\partial^Pf(x)$ в случае гильбертова пространства $X,$ так и множество $\\hat\\partial^F f(x)$ в случае пространства $X$ из достаточно обширного класса банаховых пространств (подробности см., например, в \\cite{loewen,clarke,mord,claledsterwol}) не пусто для плотного в $\\mbox{dom}\\, f$ множества точек $x.$ В настоящей работе в качестве пространства $X$ выступает гильбертово пространство $H,$ для которого указанные выше свойства заведомо справедливы. \\end{Remark} \\begin{Remark}\\label{rem_24.02.2020} Из определений \\ref{2d2} и \\ref{2d3_2} следует, что в случае заданной на гильбертовом пространстве $X$ полунепрерывной снизу функции $f:\\,X\\to \\mathbb{R}^1\\cup\\{+\\infty\\}$ имеет место включение $\\partial^Pf(x)\\subset\\hat\\partial^Ff(x).$ При этом, как отмечено в \\cite{mord}, функция одного переменного $-|x|^{3/2}$ представляет собою пример такой функции, для которой $\\partial^Pf(0)=~\\emptyset,$ но, одновременно, $\\hat\\partial^Ff(0)=0.$ \\end{Remark} \\textbf{2.3. Постановка нелинейной задачи на условный экстремум.} Будем рассматривать сформулированную во введении параметрическую нелинейную задачу ($P_{p,r}$) на условный экстремум в гильбертовом пространстве с операторным ограничением типа равенства и конечным числом функциональных неравенств. %$$ %f(z)\\to\\min,\\,\\,\\,g(z)=p,\\,\\,h(z)\\leq r,\\,\\,z\\in{\\cal D}\\subset Z, %\\leqno(P_{p,r}) %$$ %где $p\\in H,\\,r\\equiv(r_1,\\dots,r_m)\\in \\mathbb{R}^m$ --- параметры, %$f:\\,{\\cal D}\\to \\mathbb{R}^1$ --- непрерывная функция, $g:\\,{\\cal D}\\to H$ %--- непрерывный оператор, $h\\equiv(h_1,\\dots,h_m):\\,{\\cal D}\\to \\mathbb{R}^m$ %--- непрерывная вектор--функция, ${\\cal D}\\subset Z$ --- ограниченное %замкнутое множество, $Z,\\,H$ --- гильбертовы пространства. Будем также считать, что $\\forall\\,z_1,\\,z_2\\in{\\cal D}$ и для некоторой постоянной $L>0$ \\begin{equation}\\label{cond_0_05_02_25.05.2019} |f(z_1)-f(z_2)|\\leq L\\|z_1-z_2\\|,\\,\\|g(z_1)-g(z_2)\\|\\leq L\\|z_1-z_2\\|,\\,|h(z_1)-h(z_2)|\\leq L\\|z_1-z_2\\|. \\end{equation} %где $L>0$ --- постоянная. Будем, как и в случае выпуклой задачи, иметь дело с двумя определенными во введении функциями значений: классической функций значений $\\beta_0$ и обобщенной --- $\\beta.$ В нелинейных задачах строгое неравенство $\\beta<\\beta_0$ возможно и при ограниченном~${\\cal D}.$ \\begin{Example}\\label{ex_17.03.2020} Ситуация строгого неравенства реализуется, например, в задаче нелинейного программирования в виде задачи оптимального управления с ограничени\\-ем-равенством $$ \\int_0^1(x^2(t)-u^2(t))dt\\to\\inf, \\,\\,\\,\\dot x=u(t),\\,\\,x(0)=0, $$ $$ u(t)\\in U \\mbox{ при п.в. } t\\in(0,1),\\,\\,\\,U=\\{-1,1\\},\\,\\,\\,\\,x(t)=p(t) \\mbox{ при п.в. }t\\in[0, 1],\\,\\,\\,p\\in L_2(0,1) $$ c $p=0,$ в которой, как можно заметить, $\\beta(0)=-1,$ но $\\beta_0(0)=+\\infty.$ Если же взять в этой задаче $U=[-1,1],$ то тогда $\\beta(0)=-1<0=\\beta_0(0).$ \\end{Example} В то же время, справедлива следующая важная для дальнейших построений \\begin{Lemma}\\label{nonlinlowersemicont} Функция значений $\\beta:\\,H\\times \\mathbb{R}^m\\to \\mathbb{R}^1\\cup\\{+\\infty\\}$ является полунепрерывной снизу. \\end{Lemma} \\proof Лемма доказывается точно так же, как и в случае выпуклой задачи в лемме \\ref{lowersemicont}. Предположим с целью упрощения изложения, что в задаче ($P_{p,r}$) имеет место равенство $\\beta(p,r)=\\beta_0(p,r)\\,\\,\\forall\\,(p,r)\\in H\\times \\mathbb{R}^m.$ Будем, как и ранее, через $z_{p,r}^0\\in{\\cal D}_{p,r}^0$ обозначать решения задачи ($P_{p,r}$) в случае их существования. \\textbf{2.4. Модифицированная теорема Куна--Таккера в предположении непустоты проксимального субградиента. } Пусть \\ в \\ задаче ($P_{p,r}$) \\ оптимальный эле\\-мент существует и выполняется условие непустоты проксимального субградиента \\linebreak $\\partial^P\\beta(p,r)\\not=~\\emptyset$ и $\\zeta\\equiv(\\zeta_p,\\zeta_r)\\in\\partial^P\\beta(p,r).$ Тогда, применяя лемму \\ref{2l2_1}, можем утверждать, что существуют постоянные $R>0$ и $\\delta>0$ (зависящие от точки $(p,r)$ и элемента $\\zeta$) такие, что \\begin{equation}\\label{25_05_2019} \\beta(p,r)-\\langle\\zeta_p,p\\rangle-\\langle\\zeta_r,r\\rangle\\leq \\beta(p^\\prime,r^\\prime)-\\langle\\zeta_p,p^\\prime\\rangle-\\langle\\zeta_r,r^\\prime\\rangle+ R\\|p^\\prime-p\\|^2+R|r^\\prime-r|^2 \\end{equation} $$ \\forall\\,(p^\\prime,r^\\prime)\\in S_\\delta(p,r)\\equiv\\{(p^\\prime,r^\\prime)\\in H:\\,\\|(p^\\prime,r^\\prime)-(p,r)\\|<\\delta\\}. $$ Учитывая ограниченность $\\beta$ и $\\mbox{dom}\\,\\beta$ (в силу условий \\eqref{cond_0_05_02_25.05.2019} и ограниченности $\\cal D$), из последнего неравенства без ограничения общности выводим, что \\begin{equation}\\label{26_05_2019} \\beta(p,r)-\\langle\\zeta_p,p\\rangle-\\langle\\zeta_r,r\\rangle\\leq \\beta(p^\\prime,r^\\prime)-\\langle\\zeta_p,p^\\prime\\rangle-\\langle\\zeta_r,r^\\prime\\rangle+ R\\|p^\\prime-p\\|^2+R|r^\\prime-r|^2 \\end{equation} $$ \\forall\\,(p^\\prime,r^\\prime)\\in H\\times \\mathbb{R}^m. $$ Покажем, прежде всего, что из неравенства \\eqref{26_05_2019} следует, что $\\zeta_r\\leq 0.$ Для этого заметим, что это неравенство сохранится, если подставить в него $p^\\prime=p=g(z_{p,r}^0),$ вместо $\\beta(p^\\prime,r^\\prime)$ взять $f(z_{p,r}^0)$ и считать, что $h(z_{p,r}^0)\\leq r^\\prime.$ Таким образом, имеем $$ f(z_{p,r}^0)-\\langle\\zeta_p,p\\rangle-\\langle\\zeta_r,r\\rangle\\leq f(z_{p,r}^0)-\\langle\\zeta_p,p\\rangle-\\langle\\zeta_r,r^\\prime\\rangle+ R|r^\\prime-r|^2\\,\\,\\forall\\,r^\\prime\\in \\mathbb{R}^m,\\,\\,h(z_{p,r}^0)\\leq r^\\prime $$ или $$ -\\langle\\zeta_r,r\\rangle\\leq -\\langle\\zeta_r,r^\\prime\\rangle+ R|r^\\prime-r|^2\\,\\,\\forall\\,r^\\prime\\in \\mathbb{R}^m, \\,\\,h(z_{p,r}^0)\\leq r^\\prime $$ или $$ \\langle\\zeta_r,r^\\prime-r\\rangle\\leq R|r^\\prime-r|^2\\,\\,\\forall\\,r^\\prime\\in \\mathbb{R}^m, \\,\\,h(z_{p,r}^0)\\leq r^\\prime. $$ Так как $h(z_{p,r}^0)\\leq r,$ то, с учетом произвола $r^\\prime,$ из последнего неравенства выводим, что, если $h_i(z_{p,r}^0) Далее, опять в силу \\eqref{26_05_2019} можем записать $$ f(z_{p,r}^0)-\\langle\\zeta_p,g(z_{p,r}^0)-p\\rangle\\leq f(z)-\\langle\\zeta_p,g(z)-p\\rangle-\\langle\\zeta_r,r^\\prime-r\\rangle+R\\|g(z)-p\\|^2+R|r^\\prime-r|^2 $$ $$ \\forall\\,(z,r^\\prime)\\in{\\cal D}\\times \\mathbb{R}^m,\\,\\,h(z)\\leq r^\\prime, $$ откуда, в силу доказанного условия дополняющей нежесткости, имеем $$ f(z_{p,r}^0)-\\langle\\zeta_p,g(z_{p,r}^0)-p\\rangle-\\langle\\zeta_r,h(z_{p,r}^0)-r\\rangle\\leq $$ $$ f(z)-\\langle\\zeta_p,g(z)-p\\rangle-\\langle\\zeta_r,r^\\prime-r\\rangle+R\\|g(z)-p\\|^2+R|r^\\prime-r|^2\\forall\\,(z,r^\\prime)\\in{\\cal D}\\times \\mathbb{R}^m,\\,\\,h(z)\\leq r^\\prime, $$ и при $r^\\prime=h(z)$ \\begin{equation}\\label{26_05_2019_1} f(z_{p,r}^0)-\\langle\\zeta_p,g(z_{p,r}^0)-p\\rangle-\\langle\\zeta_r,h(z_{p,r}^0)-r\\rangle\\leq \\end{equation} $$ f(z)-\\langle\\zeta_p,g(z)-p\\rangle-\\langle\\zeta_r,h(z)-r\\rangle+R\\|g(z)-p\\|^2+R|h(z)-r|^2\\,\\,\\forall\\, z\\in{\\cal D}. $$ Неравенство \\eqref{26_05_2019_1}, являющееся следствием факта оптимальности элемента $z_{p,r}^0,$ представляет собою необходимое условие оптимальности в недифференциальной форме в задаче $(P_{p,r}).$ В то же время, из-за штрафного слагаемого $R|h(z)-r|^2,$ вообще говоря, исследовать его на <<достаточность>> представляется затруднительным. Далее мы получим несколько иное необходимое недифференциальное условие оптимальности элемента $z_{p,r}^0$ в задаче ($P_{p,r}$), в котором также будет участвовать вектор множителей $\\zeta=(\\zeta_p,\\zeta_r)$ из неравенства \\eqref{26_05_2019_1}, удовлетворяющий, как уже показано выше, условию неположительности $\\zeta_r\\leq 0$ и условию дополняющей нежесткости (\\ref{31.07.2020}). Указанное необходимое условие, будет, в отличие от \\eqref{26_05_2019_1}, представлять собою одновременно и достаточное условие оптимальности в задаче ($P_{p,r}$). При этом по форме оно будет совпадать с <<регулярной частью>> теоремы \\ref{teor1}, то есть представлять собою, по сути дела, теорему Куна--Таккера в недифференциальной форме в нелинейной задаче ($P_{p,r}$). Для достижения указанной цели будем использовать модифицированную функцию Лагранжа (см., например, \\cite{bertsekas}), конструкция которой <<жестко завязана>> со свойствами проксимального субградиента $\\zeta\\in\\partial^P\\beta(p,r).$ Итак, следуя хорошо известному приему (см., например, \\cite[с. 165]{bertsekas}), приведем задачу на условный экстремум ($P_{p,r}$) к виду эквивалентной задачи с операторными ограничениями типа равенства. Для этого заметим, что задача ($P_{p,r}$) эквивалентна задаче $$ f(z)\\to\\inf,\\,\\,\\, g(z)=p,\\,\\,h(z)+y=r,\\,\\,z\\in {\\cal D}\\subset Z,\\,\\,\\,y\\in \\mathbb{R}^m_+\\leqno(\\widetilde P_{p,r}) $$ в том смысле, что элемент $z_{p,r}^0\\in{\\cal D}$ является оптимальным в задаче ($P_{p,r}$) тогда и только тогда, когда пара $(z_{p,r}^0,-(h(z_{p,r}^0)-r))$ является таковой в задаче ($\\widetilde P_{p,r}$). При этом функции значений задач ($P_{p,r}$) и ($\\widetilde P_{p,r}$) совпадают. Так как функции значений задач ($P_{p,r}$) и ($\\widetilde P_{p,r}$) совпадают и $\\zeta\\equiv(\\zeta_p,\\zeta_r)\\in\\partial^P\\beta(p,r),$ то мы опять можем записать неравенство \\eqref{26_05_2019} %$$ %\\beta(p,r)-\\langle\\zeta_p,p\\rangle-\\langle\\zeta_r,r\\rangle\\leq %\\beta(p^\\prime,r^\\prime)-\\langle\\zeta_p,p^\\prime\\rangle-\\langle\\zeta_r,r^\\prime\\rangle+ %R\\|p^\\prime-p\\|^2+R|r^\\prime-r|^2 %$$ %$$ %\\forall\\,(p^\\prime,r^\\prime)\\in H\\times \\mathbb{R}^m %$$ и заметить, что, без ограничения общности, оптимальным в задаче минимизации \\begin{equation}\\label{27.05.2019_1} \\beta(p^\\prime,r^\\prime)-\\langle\\zeta_p,p^\\prime\\rangle-\\langle\\zeta_r,r^\\prime\\rangle+ R\\|p^\\prime-p\\|^2+R|r^\\prime-r|^2\\to\\min,\\,\\,\\,(p^{\\prime},r^{\\prime})\\in H\\times \\mathbb{R}^m \\end{equation} является лишь элемент $(p,r)$ и никакой другой. Отсюда следует, что в задаче минимизации \\begin{equation}\\label{27.05.2019} f(z)+\\langle-\\zeta_p,g(z)-p\\rangle+\\langle-\\zeta_r,h(z)+y-r\\rangle+ \\end{equation} $$ R\\|g(z)-p\\|^2+R|h(z)+y-r|^2\\to\\min,\\,\\,\\,z\\in{\\cal D},\\,\\,y\\in \\mathbb{R}^m_+ $$ оптимальной является пара $(z_{p,r}^0,-(h(z_{p,r}^0)-r)),$ в которой $z_{p,r}^0$ -- решение задачи ($P_{p,r}$) (оно может быть не единственным). При этом \\begin{equation}\\label{04.11.2019_1} f(z_{p,r}^0)=\\beta(p,r)=\\min_{(z,y)\\in{\\cal D}\\times \\mathbb{R}^m_+} \\{f(z)+\\langle-\\zeta_p,g(z)-p\\rangle+\\langle-\\zeta_r,h(z)+y-r\\rangle+ \\end{equation} $$ R\\|g(z)-p\\|^2+R|h(z)+y-r|^2\\}. $$ Действительно, предположим, что для некоторой пары $(\\bar z,\\bar y)\\in{\\cal D}\\times \\mathbb{R}^m_+$ $$ f(\\bar z)+\\langle-\\zeta_p,g(\\bar z)-p\\rangle+\\langle-\\zeta_r,h(\\bar z)+\\bar y-r\\rangle+R\\|g(\\bar z)-p\\|^2+R|h(\\bar z)+\\bar y-r|^2<\\beta(p,r), $$ но тогда получаем, что $$ \\beta(p,r)-\\langle\\zeta_p,p\\rangle-\\langle\\zeta_r,r\\rangle>f(\\bar z)+\\langle-\\zeta_p,p^\\prime\\rangle+\\langle-\\zeta_r,r^\\prime\\rangle+ R\\|p^\\prime-p\\|^2+R|r^\\prime-r|^2\\geq $$ $$ \\beta(p^\\prime,r^\\prime)+\\langle-\\zeta_p,p^\\prime\\rangle+\\langle-\\zeta_r,r^\\prime\\rangle+ R\\|p^\\prime-p\\|^2+R|r^\\prime-r|^2, $$ где $p^\\prime\\equiv g(\\bar z),$ $r^\\prime\\equiv h(\\bar z)+\\bar y,$ что противоречит оптимальности пары $(p,r)$ в задаче \\eqref{27.05.2019_1}. Таким образом, можем записать $$ f(z_{p,r}^0)=f(z_{p,r}^0)+\\langle-\\zeta_p,g(z_{p,r}^0)-p\\rangle+\\langle-\\zeta_r,h(z_{p.r}^0)-(h(z_{p,r}^0)-r)-r\\rangle+ $$ $$ R\\|g(z_{p,r}^0)-p\\|^2+R|h(z_{p.r}^0)-(h(z_{p,r}^0)-r)-r|^2\\leq $$ $$ f(z)+\\langle-\\zeta_p,g(z)-p\\rangle+\\langle-\\zeta_r,h(z)+y-r\\rangle+ R\\|g(z)-p\\|^2+R|h(z)+y-r|^2\\,\\,\\forall\\,(z,y)\\in{\\cal D}\\times \\mathbb{R}^m_+ $$ или, так как (см. \\cite[с.~166, 167]{bertsekas}), $$ \\min_{(z,y)\\in{\\cal D}\\times \\mathbb{R}^m_+} \\{f(z)+\\langle-\\zeta_p,g(z)-p\\rangle+\\langle-\\zeta_r,h(z)+y-r\\rangle+ $$ $$ R\\|g(z)-p\\|^2+R|h(z)+y-r|^2\\}=\\min_{z\\in{\\cal D}}\\min_{y\\in \\mathbb{R}^m_+}\\{f(z)+\\langle-\\zeta_p,g(z)-p\\rangle+\\langle-\\zeta_r,h(z)+y-r\\rangle+ $$ $$ R\\|g(z)-p\\|^2+R|h(z)+y-r|^2\\}=\\min_{z\\in{\\cal D}}\\{f(z)+\\langle-\\zeta_p,g(z)-p\\rangle+R\\|g(z)-p\\|^2+ $$ $$ \\sum_{i=1}^m\\min_{y_i\\in \\mathbb{R}^1_+}\\{-\\zeta_{r,i}(h_i(z)+y_i-r_i)+R(h_i(z)+y_i-r_i)^2\\}\\}= $$ $$ \\min_{z\\in{\\cal D}}\\{f(z)+\\langle-\\zeta_p,g(z)-p\\rangle+R\\|g(z)-p\\|^2+ \\frac1{4R}\\sum_{i=1}^m\\{[\\max\\{0,-\\zeta_{r,i}+2R(h_i(z)-r_i)\\}]^2-(\\zeta_{r,i})^2\\}\\}, $$ получаем \\begin{equation}\\label{28.05.2019} f(z_{p,r}^0)\\leq f(z)+\\langle-\\zeta_p,g(z)-p\\rangle+R\\|g(z)-p\\|^2+ \\end{equation} $$ \\frac1{4R}\\sum_{i=1}^m\\{[\\max\\{0,-\\zeta_{r,i}+2R(h_i(z)-r_i)\\}]^2-(\\zeta_{r,i})^2\\}\\,\\,\\forall\\,z\\in{\\cal D}. $$ Определим модифицированную функцию Лагранжа ($\\lambda=-\\zeta_p,$ $\\mu=-\\zeta_r,$ $c=2R$) $$ L_{p,r}^{P,c}(z,\\lambda,\\mu)\\equiv f(z)+\\langle\\lambda,g(z)-p\\rangle+\\frac c2\\|g(z)-p\\|^2+ \\frac1{2c}\\sum_{i=1}^m\\{[\\max\\{0,\\mu_i+c(h_i(z)-r_i)\\}]^2-(\\mu_i)^2\\}, $$ где верхний индекс $P$ означает, что конструкция этой функции Лагранжа является следствием непустоты проксимального субградиента $\\partial^P\\beta(p,r).$ Определенная таким образом функция $L_{p,r}^{P,c}$ совпадает по своей конструкции с известной модифицированной функцией Лагранжа для исходной задачи ($P_{p,r}$) с ограничениями типа равенства и неравенства (подробности см. в \\cite[с.~167]{bertsekas}). Тогда мы можем переписать неравенство \\eqref{28.05.2019} в терминах модифицированной функции Лагранжа следующим образом \\begin{equation}\\label{28.05.2019_1} L_{p,r}^{P,2R}(z_{p,r}^0,-\\zeta_p,-\\zeta_r)\\leq L_{p,r}^{P,2R}(z,-\\zeta_p,-\\zeta_r)\\,\\,\\,\\forall\\,z\\in{\\cal D}. \\end{equation} Здесь было использовано полученное выше условие дополняющей нежесткости (\\ref{31.07.2020}), с учетом которого справедливо равенство \\begin{equation}\\label{04.11.2019} f(z_{p,r}^0)=L_{p,r}^{P,2R}(z_{p,r}^0,-\\zeta_p,-\\zeta_r). \\end{equation} Неравенство \\eqref{28.05.2019_1} в совокупности с условием неположительности $\\zeta_r\\leq 0$ и условием дополняющей нежесткости (\\ref{31.07.2020}) представляет собою <<необходимую часть>> недифференциального принципа Лагранжа, а, точнее, теоремы Куна--Таккера (множитель при целевой функции равен единице) в недифференциальной форме в задаче ($P_{p,r}$). Покажем, что неравенство \\eqref{28.05.2019_1} в совокупности с этими полученными выше двумя условиями является и достаточным, чтобы точка $z_{p,r}^0\\in{\\cal D}_{p,r}^0,$ удовлетворяющая ему, была оптимальной в задаче ($P_{p,r}$). Действительно, пусть некоторый допустимый элемент, обозначаемый через $z_{p,r}^0,$ $z_{p,r}^0\\in{\\cal D}_{p,r}^0,$ удовлетворяет этому неравенству c $\\zeta_r\\leq 0$ и выполняется указанное условие дополняющей нежесткости. Тогда подставляя произвольное $z\\in{\\cal D}_{p,r}^0$ в \\eqref{28.05.2019_1} и принимая во внимание, что $$ \\frac1{4R}\\sum_{i=1}^m\\{[\\max\\{0,-\\zeta_{r,i}+2R(h_i(z)-r_i)\\}]^2-(\\zeta_{r,i})^2\\}\\}\\leq 0 $$ для таких $z,$ можем записать, что $f(z_{p,r}^0)\\leq f(z)\\,\\,\\forall\\,z\\in{\\cal D}_{p,r}^0,$ то есть выделенный указанным образом элемент $z_{p,r}^0$ действительно является оптимальным в задаче ($P_{p,r}$). Наконец, если для некоторых $\\zeta_p\\in H,$ $\\zeta_r\\in \\mathbb{R}^m,$ $\\zeta_r\\leq 0,$ $\\langle\\zeta_r,h(z_{p,r}^0)-r\\rangle=0,$ выполняется неравенство \\eqref{28.05.2019_1}, то выполняется равенство \\eqref{04.11.2019} и неравенство \\eqref{28.05.2019}. Стало быть, рассуждая и далее в <<обратном>> порядке, выполняется равенство \\eqref{04.11.2019_1}, то есть в задаче минимизации \\eqref{27.05.2019} оптимальной является пара $(z_{p,r}^0,-(h(z_{p,r}^0)-r)),$ и, как следствие, неравенство \\eqref{26_05_2019}, а также и неравенство \\eqref{25_05_2019}, то есть в силу леммы \\ref{2l2_1} получаем включение $\\zeta=(\\zeta_p,\\zeta_r)\\in\\partial^P\\beta(p,r).$ \\hfill$\\square$ \\begin{Theorem}\\label{KT_28.05.2019} $[$Модифицированная параметрическая теорема Куна--Таккера в не\\-дифференциальной форме в нелинейной задаче на условный экстремум$]$ Пусть в задаче ($P_{p,r}$) имеет место равенство $\\beta_0(p,r)=\\beta(p,r)\\,\\,\\forall\\,(p,r)\\in H\\times \\mathbb{R}^m$ и $(p,r)\\in H\\times \\mathbb{R}^m$ такая точка, что $\\beta(p,r)<+\\infty.$ Тогда справедливо следующее состоящее из двух частей утверждение. Если $z_{p,r}^0\\in{\\cal D}_{p,r}^0\\equiv\\{z\\in{\\cal D}:\\,g(z)-p=0,\\,\\,h(z)\\leq r\\}$ --- оптимальный элемент в задаче $(P_{p,r}),$ то есть $f(z_{p,r}^0)=\\beta(p,r),$ и $\\zeta\\in\\partial^P\\beta(p,r),$ где $\\partial^P\\beta(p,r)$ --- проксимальный субградиент функции значений $\\beta,$ то для множителей Лагранжа $\\lambda\\in H,\\,\\,\\mu\\in \\mathbb{R}^m_+,$ $(\\lambda,\\mu)=-\\zeta,$ и некоторого $c>0$ выполняются соотношения \\begin{equation}\\label{04.11.2019_2} L_{p,r}^{P,c}(z_{p,r}^0,\\lambda,\\mu)\\leq L_{p,r}^{P,c}(z,\\lambda,\\mu)\\,\\,\\forall\\,z\\in{\\cal D},\\,\\,\\,\\,\\mu_i(h_i(z_{p,r}^0)-r_i)=0,\\,\\,\\,i=1,\\dots,m, \\end{equation} %$$ %L_{p,r}^c(z,\\lambda,\\mu)\\equiv %f(z)+\\langle\\lambda,g(z)-p\\rangle+\\frac c2\\|g(z)-p\\|^2+ %$$ %$$ %\\frac1{2c}\\sum_{i=1}^m\\{[\\max\\{0,\\mu_i+c(h_i(z)-r_i)\\}]^2-(\\mu_i)^2\\}, %$$ и при этом $-\\zeta=(\\lambda,\\mu)$ --- обобщенный вектор Куна--Таккера задачи $(P_{p,r}),$ то есть вектор, удовлетворяющий неравенству $f(z_{p,r}^0)\\leq L_{p,r}^{P,c}(z,\\lambda,\\mu)\\,\\,\\forall\\,z\\in{\\cal D}.$ И, наоборот, если $\\tilde z\\in{\\cal D}_{p,r}^0$ такой элемент, что при некоторых $\\lambda\\in H,\\,\\,\\,\\mu\\in \\mathbb{R}^m_+$ выполняются соотношения \\eqref{04.11.2019_2} с заменой $z_{p,r}^0$ на $\\tilde z,$ то этот элемент оптимален в задаче $(P_{p,r}),$ то есть $\\tilde z=z_{p,r}^0,$ пара $(\\lambda,\\mu)$ является вектором Куна--Таккера для нее и одновременно $(-\\lambda,-\\mu)\\in\\partial^P\\beta(p,r).$ \\end{Theorem} \\textbf{2.5. Модифицированная теорема Куна--Таккера в предположении непустоты субдифференциала Фреше. } Докажем в данном разделе модифицированную недифференциальную теорему Куна--Таккера для нелинейной задачи на условный экстремум, аналогичную теореме \\ref{KT_28.05.2019}, но в которой основным предположением, в отличие от этой теоремы, будет предположение непустоты субдифференциала Фреше функции значений. Ради упрощения изложения ограничимся здесь рассмотрением задачи ($P_{p,r}$) предыдущего раздела без ограничений-неравенств, то есть параметрической задачи на условный экстремум в гильбертовом пространстве с операторным ограничением-равенством $$ f(z)\\to\\min,\\,\\,\\,g(z)=p,\\,\\,\\,\\,z\\in{\\cal D}\\subset Z. \\leqno(P_p) $$ %где $p\\in H$ --- параметр, $f:\\,{\\cal D}\\to \\mathbb{R}^1$ --- непрерывная %функция, $g:\\,{\\cal D}\\to H$ --- непрерывный оператор, ${\\cal %D}\\subset Z$ --- ограниченное замкнутое множество, $Z,\\,H$ --- %гильбертовы пространства. Все условия на исходные данные считаем такими же, как и в предыдущем разделе с естественным учетом того, что в задаче ($P_p$) отсутствуют ограничения-неравенства. Опять предполагаем для простоты, что имеет место равенство $\\beta(p)=\\beta_0(p)\\,\\,\\forall\\,p\\in H.$ Как и ранее, обозначаем через $z_p^0\\in{\\cal D}_p^0$ решение задачи ($P_p$), в случае его существования. Пусть в задаче ($P_p$) оптимальный элемент существует и не пуст субдифференциал Фреше $\\hat\\partial^F\\beta(p)\\not=\\emptyset$ и $\\zeta\\in\\hat\\partial^F\\beta(p).$ Тогда применяя лемму \\ref{2l2_3}, можем утверждать, что для любого $R>0$ найдется $\\delta(R)>0$ (зависящие от точки $p$ и элемента $\\zeta$) такие, что \\begin{equation}\\label{25_05_2019_27_03_2020} \\beta(p)-\\langle\\zeta,p\\rangle\\leq \\beta(p^\\prime)-\\langle\\zeta,p^\\prime\\rangle+ R\\|p^\\prime-p\\|\\,\\,\\,\\forall\\,p^\\prime\\in S_{\\delta(R)}(p)\\equiv\\{p^\\prime\\in H:\\,\\|p^\\prime-p\\|\\leq\\delta(R)\\}. \\end{equation} Из неравенства (\\ref{25_05_2019_27_03_2020}) получаем, взяв $g(z)$ в качестве $p^\\prime$ и учитывая, что $f(z)\\geq\\beta(p^\\prime),$ если $z\\in{\\cal D},$ $g(z)=p^\\prime$ и $\\|g(z)-p\\|\\leq\\delta(R),$ \\begin{equation}\\label{21_02_2020} f(z_p^0)-\\langle\\zeta,g(z_p^0)-p\\rangle\\leq f(z)-\\langle\\zeta,g(z)-p\\rangle+R\\|g(z)-p\\|\\,\\,\\,\\forall\\,z\\in\\{x\\in{\\cal D}:\\,\\,\\,\\|g(x)-p\\|\\leq\\delta(R)\\}. \\end{equation} Учитывая ограниченность $\\beta$ и $\\mbox{dom}\\,\\beta$ (в силу условий \\eqref{cond_0_05_02_25.05.2019} и ограниченности ${\\cal D}$), из неравенства \\eqref{25_05_2019_27_03_2020} одновременно следует, что найдется такое $L>0,$ для которого $\\beta(p)-\\langle\\zeta,p\\rangle\\leq \\beta(p^\\prime)-\\langle\\zeta,p^\\prime\\rangle+ L\\|p^\\prime-p\\|\\,\\,\\,\\forall\\,p^\\prime\\in H.$ Из последнего неравенства, в свою очередь, получаем, взяв $g(z)$ в качестве $p^\\prime$ и учитывая, что при этом $f(z)\\geq\\beta(p^\\prime),$ если $z\\in{\\cal D}$ и $g(z)=p^\\prime$ \\begin{equation}\\label{25_05_2019_1} f(z_p^0)-\\langle\\zeta,g(z_p^0)-p\\rangle\\leq f(z)-\\langle\\zeta,g(z)-p\\rangle+L\\|g(z)-p\\|\\,\\,\\,\\forall\\,z\\in{\\cal D}. \\end{equation} Как неравенство в \\eqref{21_02_2020} при условии $\\|g(z)-p\\|\\leq\\delta(R),$ так и неравенство \\eqref{25_05_2019_1} представляют собою необходимые условия оптимальности элемента $z_p^0.$ Для формулировки недифференциального принципа Лагранжа, а, точнее, теоремы Куна--Таккера (множитель при целевой функции равен единице) в недифференциальной форме в задаче ($P_p$) осталось показать, что неравенство \\eqref{25_05_2019_1} является и достаточным условием для того, чтобы точка $z_p^0,$ удовлетворяющая ему, была оптимальной в задаче ($P_p$). Действительно, пусть некоторый допустимый элемент, обозначаемый через $z_p^0,$ $z_p^0\\in{\\cal D}_p^0,$ удовлетворяет этому неравенству. Тогда рассматриваем $z\\in{\\cal D}$ такие, что $g(z)=p.$ Подставляя такие $z$ в \\eqref{25_05_2019_1}, можем записать, что $f(z_p^0)\\leq f(z)\\,\\,\\forall\\,z\\in{\\cal D}_p^0,$ то есть выделенный указанным образом элемент $z_p^0$ действительно является оптимальным в задаче ($P_p$). Если же, одновременно, для любого $R>0$ найдется такое $\\delta(R)>0,$ что выполняются соотношения \\eqref{21_02_2020}, то рассуждая в обратном порядке, можно заметить, что выполняются и соотношения \\eqref{25_05_2019_27_03_2020}, что, в силу леммы \\ref{2l2_3}, означает справедливость включения $\\zeta\\in\\hat\\partial^F\\beta(p).$ Определим модифицированную функцию Лагранжа ($\\lambda=-\\zeta,$ $c=R$) $$ L_{p}^{F,c}(z,\\lambda)\\equiv f(z)+\\langle\\lambda,g(z)-p\\rangle+c\\|g(z)-p\\|, $$ где верхний индекс $F$ означает, что ее конструкция является следствием непустоты субдифференциала Фреше $\\hat\\partial^F\\beta(p).$ Тогда следствием проведенных рассуждений является \\begin{Theorem}\\label{KT_06.11.2019} $[$Модифицированная параметрическая теорема Куна--Таккера в не\\-дифференциальной форме в нелинейной задаче на условный экстремум$]$ Пусть в задаче ($P_p$) $\\beta_0(p)=\\beta(p)\\,\\,\\forall\\,p\\in H$ и $p\\in H$ такая точка, что $\\beta(p)<+\\infty.$ Тогда справедливо следующее состоящее из двух частей утверждение. Если $z_p^0\\in{\\cal D}_p^0\\equiv\\{z\\in{\\cal D}:\\,g(z)-p=0\\}$ --- оптимальный элемент в задаче $(P_p),$ то есть $f(z_p^0)=\\beta(p),$ и $\\zeta\\in\\hat\\partial^F\\beta(p),$ где $\\hat\\partial^F\\beta(p)$ --- субдифференциал Фреше функции значений $\\beta,$ то для множителя Лагранжа $\\lambda\\in H,$ $\\lambda=-\\zeta,$ и любого $R>0$ существует $\\delta(R)>0$ такое, что выполняется неравенство \\begin{equation}\\label{06.11.2019_1} L_p^{F,R}(z_p^0,\\lambda)\\leq L_p^{F,R}(z,\\lambda)\\,\\,\\forall\\,z\\in\\{x\\in{\\cal D}:\\,\\,\\,\\|g(x)-p\\|\\leq\\delta(R)\\}, \\end{equation} %$$ %L_p^R(z,\\lambda)\\equiv %f(z)+\\langle\\lambda,g(z)-p\\rangle+R\\|g(z)-p\\|, %$$ следствием которого является неравенство \\begin{equation}\\label{21.02.2020_1} L_p^{F,c}(z_p^0,\\lambda)\\leq L_p^{F,c}(z,\\lambda)\\,\\,\\forall\\,z\\in{\\cal D} \\end{equation} при некотором $c>0.$ При этом $-\\zeta=\\lambda$ --- обобщенный вектор Куна--Таккера задачи $(P_p),$ то есть вектор, удовлетворяющий неравенству $f(z_p^0)\\leq L_p^{F,c}(z,\\lambda)\\,\\,\\forall\\,z\\in{\\cal D}.$ И, наоборот, если $\\tilde z\\in{\\cal D}_p^0$ такой элемент, что при некотором $\\lambda\\in H$ выполняются соотношения \\eqref{21.02.2020_1} с заменой $z_p^0$ на $\\tilde z,$ то этот элемент оптимален в задаче $(P_p),$ то есть $\\tilde z=z_p^0,$ а элемент $\\lambda$ является вектором Куна--Таккера для нее. Если же для любого $R>0$ существует $\\delta(R)>0$ такое, что выполняются и соотношения \\eqref{06.11.2019_1}, то $-\\lambda\\in\\hat\\partial^F\\beta(p).$ \\end{Theorem}

About the authors

Mikhail I. Sumin

Derzhavin Tambov State University; Nizhnii Novgorod State University

Email: m.sumin@mail.ru
Doctor of Physics and Mathematics, Chief Researcher; Professor 33 Internatsionalnaya St., Tambov 392000, Russian Federation; 23 Gagarin Ave., Nizhnii Novgorod 603950, Russian Federation

References

Supplementary files