Том 25, № 131 (2020)

В работе рассматривается обобщенный интегро-дифференциальный оператор с производными от функционалов, который имеет в своей конструкции обратимый оператор в линейной части, свободной от производных. При исследовании используются ранее полученные результаты в области фундаментальных оператор-функций в банаховых пространствах, а также свойства обобщенных функций, операторов, функционалов. Для интегро-дифференциального оператора с производными от функционалов в банаховых пространствах получена фундаментальная оператор-функция в терминологии жордановых наборов и выявлены условия существования этой фундаментальной оператор-функции.

Для широкого класса линейных функционально-дифференциальных систем с последействием предлагается конструктивный метод оценки значений линейных функционалов на решениях в условиях неопределенности внешних возмущений. Метод может применяться для оценки решений краевых задач с произвольным конечным числом краевых условий, а также для получения оценок сверху по включению для множеств достижимости в задачах управления относительно заданного целевого вектор-функционала. Внешние возмущения стеснены только заданной системой линейных неравенств, которые предполагаются выполненными всюду на основном промежутке. Основу метода составляют общие результаты теории функционально-дифференциальных уравнений о разрешимости краевых задач с общими краевыми условиями и представлении решений. Задача оценки значений линейных функционалов сводится к обобщенной проблеме моментов. При этом существенную роль играют результаты о свойствах матрицы Коши линейной системы с последействием. Общий вид используемых функционалов позволяет охватить многие актуальные с точки зрения приложений частные случаи многоточечных и интегральных условий, а также их гибридов.

В работе приводится еще один итерационный способ построения разрешающего множества в игровой задаче удержания движений абстрактной динамической системы в заданных фазовых ограничениях. В итерационной процедуре вместо оператора программного поглощения предлагается использовать семейство операторов поглощения для отдельных программных помех. Такой подход к построению множества разрешимости опирается на теоремы о существовании и представлении общих неподвижных точках семейства отображений.

Статья посвящена получению теорем Куна-Таккера в недифференциальной форме в задачах на условный экстремум в гильбертовом пространстве. Ограничения задач задаются операторами, образы которых также вкладываются в гильбертово пространство. Эти ограничения содержат аддитивно входящие в них параметры. В основе получения недифференциальных теорем Куна-Таккера лежит так называемый метод возмущений. Статья состоит из двух основных разделов. Первый из них посвящен получению недифференциального принципа Лагранжа в том случае, когда задача на условный экстремум является выпуклой. Теорема Куна-Таккера есть «регулярная часть» этого принципа Лагранжа. Здесь приводятся также различные утверждения, связывающие множители Лагранжа со свойствами субдифференцируемости выпуклой функций значений задачи. Основное предназначение первого раздела состоит в том, чтобы проследить, как классическая конструкция функции Лагранжа в ее регулярном и нерегулярном вариантах «порождается» субдифференциалами и асимптотическими субдифференциалами функции значений. Данное обстоятельство и результаты первого раздела позволяют перекинуть естественный мостик от выпуклых параметрических задач на условный экстремум к аналогичным нелинейным параметрическим задачам второго основного раздела, в которых функция значений, вообще говоря, не является выпуклой. Центральную роль здесь играют уже не субдифференциалы в смысле выпуклого анализа, а субдифференциалы негладкого (нелинейного) анализа. Как следствие, в этом случае в качестве основной конструкции выступает так называемая модифицированная (не классическая) функция Лагранжа. Ее конструкция полностью зависит от того, как понимается субдифференцируемость в смысле негладкого (нелинейного) анализа.