Периодические движения в жидкости тела, управляемого силой его взаимодействия с внутренней массой
- Авторы: Глазков Т.В.1, Черноусько Ф.Л.1
-
Учреждения:
- Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского Российской академии наук
- Выпуск: Том 518, № 1 (2024)
- Страницы: 35-42
- Раздел: МЕХАНИКА
- URL: https://journals.rcsi.science/2686-7400/article/view/282873
- DOI: https://doi.org/10.31857/S2686740024050062
- EDN: https://elibrary.ru/HXMDFC
- ID: 282873
Цитировать
Полный текст
Аннотация
Рассматривается поступательное движение в жидкости тела (корпуса) с внутренней подвижной массой. Внешнее сопротивление пропорционально квадрату скорости тела и зависит от направления движения. Управление осуществляется при помощи силы взаимодействия внутреннего тела с корпусом. Построены и проанализированы движения с периодическим изменением скоростей. Оценена средняя скорость перемещения системы.
Ключевые слова
Полный текст
Динамика мобильных систем, управляемых при помощи внутренних подвижных масс, привлекает в последние годы значительное внимание. Роботы, движение которых основано на целенаправленном перемещении внутренних масс, часто называются капсульными роботами или вибророботами. Эти роботы не имеют внешних подвижных элементов, могут иметь гладкие и герметичные корпуса и способны перемещаться в трубах и различных средах, выполняя операции измерения и мониторинга. Миниатюрные капсульные роботы нашли применение в медицине для диагностики и доставки медикаментов.
Периодические движения виброробота в среде с квадратичным сопротивлением изучались в работах [1–3]. Динамика мобильных систем с внутренними подвижными массами в средах с сопротивлением, включая оптимизацию таких движений, исследовалась в работах [3–11].
В работе рассматривается поступательное прямолинейное движение в жидкости твердого тела (корпуса), управляемое при помощи внутренней подвижной массы. Сила внешнего сопротивления жидкости, действующая на корпус, предполагается зависящей от направления движения и пропорциональной квадрату скорости движения корпуса.
В отличие от работ [8–11], где рассматривается кинематическое управление, при котором управляющим воздействием служит скорость движения внутренней массы относительно корпуса, в данной работе рассматривается динамическое управление. Здесь в качестве управляющего воздействия выступает сила взаимодействия внутренней массы с корпусом. При этом все скорости изменяются непрерывно и отсутствуют ударные взаимодействия тел.
Построены и проанализированы управляемые движения с периодическим изменением скоростей. Оценена средняя скорость перемещения системы.
УПРАВЛЯЕМАЯ СИСТЕМА
Рассматривается управляемая механическая система, способная передвигаться прямолинейно и поступательно в жидкости. Система состоит из двух тел: корпуса массы M и внутренней массы m, которая снабжена двигателем (актюатором) и может перемещаться относительно корпуса внутри некоторой полости длины l (рис. 1). Обозначим через R силу сопротивления жидкости, приложенную к корпусу, а через F – управляющую силу, приложенную к массе m и развиваемую актюатором; следовательно, к корпусу приложена сила –F.
Рис. 1. Механическая система.
Обозначим через x смещение корпуса относительно некоторой инерциальной системы координат, через v – скорость корпуса, через – смещение внутренней массы относительно корпуса, а через – скорость этой массы относительно корпуса. Кинематические соотношения имеют вид
, (1)
динамические уравнения представим в виде
(2)
Предполагаем, что сила сопротивления при движении корпуса вперед, т.е. при направлена против скорости и квадратичным образом зависит от скорости. Имеем
(3)
где – коэффициент сопротивления. Управляющую силу F представим в виде
(4)
где – величина управляющей силы на единицу массы корпуса, u – управление, которое будем принимать равным
Для пояснения смысла введенных соотношений и последующего перехода к безразмерным переменным рассмотрим сначала пассивное движение корпуса по инерции. Положим и получим из уравнений (1)–(3)
Разделив второе из этих уравнений на первое, получим
Интегрируя это уравнение при начальном условии , найдем
Отсюда следует, что коэффициент сопротивления с имеет размерность, обратную длине, и можно положить
(5)
где L – длина пути, на котором скорость движения по инерции уменьшается в е раз.
Рассмотрим теперь движение при максимальной по величине управляющей силе, приложенной к корпусу и направленной вдоль скорости v. Положим и подставим равенства (4) и (5) в первое уравнение (2). Получим
(6)
Интегрируя уравнение (6) при начальном условии , находим
где введено обозначение
(7)
Отсюда следует, что , где – скорость, при которой правая часть уравнения (6) обращается в нуль, т.е. предельная скорость, до которой может разогнаться корпус.
Для перехода к безразмерным переменным выберем в качестве единицы длины величину L из (5) и в качестве единицы скорости величину из (7). В качестве единицы времени возьмем
(8)
Введем безразмерные переменные соотношениями
(9)
В дальнейшем новые (безразмерные) переменные обозначаем теми же буквами, что и размерные, штрихи опускаем. Используя принятые единицы длины L и времени , введем безразмерные длину полости и период движения соотношениями, аналогичными (9):
Штрихи здесь также будем опускать.
Кинематические соотношения после замены (9) сохраняются в виде (1). Динамические уравнения (2) после перехода к безразмерным переменным с учетом соотношений (3)–(5), (7) примут вид
(10)
. (11)
При движении корпуса назад, т.е. при , сила сопротивления снова определяется формулой (3), в которой вместо коэффициента сопротивления с должен фигурировать другой коэффициент . Так как форму корпуса естественно выбирать обтекаемой, имеем Положим
(12)
После перехода к безразмерным переменным (9) первое уравнение (2) при примет вид, аналогичный (10):
(13)
Таким образом, динамика рассматриваемой системы описывается соотношениями (1), (10), (11), (13).
Ранее динамика подобной системы, управляемой при помощи внутренней массы, рассматривалась в ряде работ [8, 10, 11] в предположении, что управление задается кинематическим образом, т.е. путем выбора скорости движения внутренней массы относительно корпуса. При резком изменении относительной скорости внутренней массы в системе происходят удары, в частности, при достижении подвижной массой концов полости. Рассматриваемая в данной работе математическая модель, в которой управление осуществляется силой взаимодействия внутренней массы с корпусом, свободна от этого недостатка – здесь все скорости изменяются непрерывно.
ПЕРИОДИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
Рассматриваем движения, при которых скорость корпуса и относительная скорость внутренней массы а также смещение внутренней массы относительно корпуса изменяются периодически с периодом Т. Так как движение корпуса в сопротивляющейся среде со скоростью, сохраняющей постоянное направление, невозможно, то обязательно есть моменты времени, в которых скорость обращается в нуль. Один из таких моментов примем за начало отсчета времени. Условия периодичности скоростей примут вид
(14)
где – пока неизвестная начальная скорость внутренней массы относительно корпуса.
Обозначим через начальное смещение внутренней массы относительно корпуса. Условие периодичности смещения запишем в виде
(15)
Будем рассматривать движения, при которых управление всегда максимально по величине и принимает одно из крайних значений Без нарушения общности полагаем, что на начальном участке, и при этом . Периодическое изменение скорости будет построено в соответствии со схемой, представленной на рис. 2, где моменты времени , удовлетворяющие неравенствам
Рис. 2. Периодическое движение.
(16)
являются границами участков, на которых сохраняются знаки скорости и управления.
Имеем соотношения:
(17)
Сначала будут построены зависимости и для скоростей, а затем для смещений .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ
На интервале , в соответствии с соотношениями (17), имеем в силу уравнения (13)
(18)
Интегрируя уравнение (18) и удовлетворяя начальному условию из (14), получим
(19)
При имеем соотношения
(20)
На интервале , в соответствии с соотношениями (17), получим, согласно уравнению (13),
(21)
Проинтегрируем уравнение (21) и найдем
(22)
Для определения произвольной постоянной воспользуемся условием (20) при и получим
(23)
На основании равенств (22) и (23) находим
(24)
В момент происходит смена знака (см. рис. 2), так что . Подставляя это условие в соотношение (24), получим равенство
(25)
где определено в соотношениях (20).
Докажем неравенство, полезное для некоторых оценок:
(26)
Введем обозначение
(27)
Тогда неравенство (26), как следует из равенств (25) и (20), эквивалентно неравенству
(28)
Дифференцируя функцию , находим
(29)
При обе части неравенства (28) равны 0, а их производные также совпадают и равны 1. В силу второго неравенства (29) производная убывает при и меньше производной левой части неравенства (28). Отсюда вытекает справедливость неравенства (28) и, следовательно, неравенства (26).
На интервале , согласно соотношениям (17), имеем уравнение (10) для v в виде
(30)
Интегрируя уравнение (30) при начальном условии , получим
(31)
В конце интервала имеем
(32)
На последнем интервале , в силу соотношений (17), уравнение (10) представим в виде
(33)
Проинтегрируем уравнение (11) при начальном условии (32) и получим, аналогично равенству (24), выражение для скорости в виде
(34)
В силу условия периодичности (14) для v имеем . Тогда из соотношений (34) и (32) получим при
(35)
где определено в соотношениях (32).
Проинтегрируем уравнение (10) с учетом начальных условий (14) при . Получим
(36)
Кусочно-постоянная функция задана соотношениями (17). Вычисляя интеграл в (36), найдем
(37)
где функция определена формулами
(38)
В силу условий (14) при из (37) вытекает равенство . Следовательно, согласно (38) имеем
(39)
Таким образом, скорость корпуса задана на всем интервале соотношениями (19), (24), (31) и (34), а относительная скорость внутренней массы определена равенством (37).
Полученные соотношения содержат три неизвестных параметра − границы интервалов , для которых имеем три уравнения (25), (35) и (39). Эти параметры могут быть определены численно.
Использовался следующий алгоритм вычисления этих параметров. При помощи равенства (39) выразим через в виде
(40)
а при помощи равенств (25) и (40) выразим как функцию . Тогда уравнение (35) будет представлять собой трансцендентное уравнение относительно одного неизвестного параметра . Решая его численно, найдем все параметры . Некоторые результаты расчетов представлены ниже.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ
Проинтегрируем равенство (37), принимая во внимание второе уравнение (1) и начальные условия (14). Получим
(41)
где введено обозначение
(42)
Вычисляя интеграл (42) от кусочно-линейной функции , заданной соотношениями (38), получим
(43)
Определим , используя соотношения (43) и равенство (39). Получим
(44)
Подставим в соотношение (41) и примем во внимание условие из (15) и равенство (44). В результате получим
(45)
Обозначим через и моменты времени, в которых достигаются наименьшее и наибольшее значения функции на интервале соответственно:
(46)
В эти моменты времени имеем
а подвижная масса достигает, соответственно, левого и правого концов полости, внутри которой она перемещается:
(47)
Здесь l – безразмерная длина полости. Подставляя и в уравнение (41) и используя равенства (47), получим соотношения
(48)
(49)
В результате полный расчет искомого периодического движения на интервале состоит из следующих операций.
- Определение трех параметров при помощи уравнений (25), (35) и (39), как описано выше.
- Расчет скорости корпуса по формулам (19), (24), (31) и (34).
- Расчет перемещения корпуса путем интегрирования скорости согласно равенству
(50)
- Вычисление начальной скорости внутренней массы относительно корпуса при помощи равенства (45).
- Определение относительной скорости на интервале на основе соотношения (37).
- Определение моментов времени и согласно соотношениям (46).
- Вычисление начального перемещения внутренней массы на основе соотношения (48).
- Определение перемещения внутренней массы на интервале в соответствии с равенством (41).
Второе равенство (47) дает возможность вычислить максимальное перемещение внутренней массы, равное необходимой длине полости. Все эти вычисления зависят от безразмерных параметров . Если же период Т не фиксирован, а длина полости l задана, то потребуется провести пересчет указанных выше операций с различными Т и подобрать такое значение Т, при котором выполняется второе условие (47).
Средняя скорость перемещения корпуса при построенном периодическом движении определяется соотношением
.
ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Приведем некоторые численные результаты построенного периодического движения. Для этого положим:
Для данных значений параметров имеем, согласно равенствам (5), (4) и (8),
Выберем период Т в размерных переменных равный . Тогда имеем следующие значения безразмерных параметров:
Из уравнений (25), (35) и (39) были определены моменты времени , и (в безразмерных переменных):
Графики функций и в безразмерных переменных изображены на рис. 3, 4.
Рис. 3. Скорость корпуса.
Рис. 4. Перемещение корпуса.
Полное перемещение корпуса за период и средняя скорость перемещения корпуса в безразмерных переменных равны
.
На основе равенств (45) и (48) были определены начальная скорость внутренней массы и начальное смещение внутренней массы относительно левой границы полости . В рассматриваемом числовом примере они равны
.
Графики функций и в безразмерных переменных изображены на рис. 5, 6.
Рис. 5. Скорость внутренней массы.
Рис. 6. Перемещение внутренней массы.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Исследовано поступательное движение в жидкости твердого тела, управляемого силой его взаимодействия с внутренней массой. Построены движения с периодическим изменением скоростей движущихся тел. Дана оценка средней скорости перемещения. Полученные результаты могут представлять интерес для управления движением аппаратов, перемещающихся в жидкой среде.
ИСТОЧНИК ФИНАНСИРОВАНИЯ
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 23-11-00128, https://rscf.ru/project/23-11-00128/.
Об авторах
Т. В. Глазков
Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского Российской академии наук
Автор, ответственный за переписку.
Email: t.glazkov@bk.ru
Россия, Москва
Ф. Л. Черноусько
Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского Российской академии наук
Email: chern@ipmnet.ru
академик РАН
Россия, МоскваСписок литературы
- Нагаев Р.Ф., Тамм Е.А. Вибрационное перемещение в среде с квадратичным сопротивлением движению // Машиноведение. 1980. № 4. С. 3–8.
- Герасимов С.А. О вибрационном полете симметричной системы // Известия вузов. Машиностроение. 2005. № 8. С. 3–7.
- Егоров А.Г., Захарова О.С. Оптимальное квазистационарное движение виброробота в вязкой среде // Известия вузов. Математика. 2012. № 2. С. 57–64.
- Liu Y., Pavlovskaya E., Hendry D., Wiercigroch M. Optimization of the vibroimpact capsule system // Journal of Mechanical Engineering. 2016. V. 62. P. 430–439.
- Fang H.B., Xu J. Dynamics of a mobile system with an internal acceleration-controlled mass in a resistive medium // Journal of Sound and Vibration. 2011. V. 330. P. 4002–4018.
- Xu J., Fang H. Improving performance: recent progress on vibration-driven locomotion systems // Nonlinear Dynamics. 2019. V. 98. P. 2651–2669.
- Tahmasian S. Dynamic analysis and optimal control of a drag-based vibratory systems using averaging // Nonlinear Dynamics. 2021. V. 104. P. 2201–2217.
- Черноусько Ф.Л. Оптимальные периодические движения двухмассовой системы в сопротивляющейся среде // Прикладная математика и механика. 2008. Т. 72. Вып. 2. С. 202–215.
- Черноусько Ф.Л., Болотник Н.Н. Динамика мобильных систем с управляемой конфигурацией. М.: Физматлит, 2022. 464 с.
- Черноусько Ф.Л. Оптимизация движения тела с внутренней массой при квадратичном сопротивлении // Доклады РАН. Физика, технические науки. 2023. Т. 513. С. 80–86.
- Глазков Т.В., Черноусько Ф.Л. Оптимальное движение тела, управляемого посредством внутренней массы, в среде с сопротивлением // Прикладная математика и механика. 2024. Т. 88. № 1. С. 53–66.
Дополнительные файлы
