Периодические движения в жидкости тела, управляемого силой его взаимодействия с внутренней массой

Обложка

Цитировать

Полный текст

Аннотация

Рассматривается поступательное движение в жидкости тела (корпуса) с внутренней подвижной массой. Внешнее сопротивление пропорционально квадрату скорости тела и зависит от направления движения. Управление осуществляется при помощи силы взаимодействия внутреннего тела с корпусом. Построены и проанализированы движения с периодическим изменением скоростей. Оценена средняя скорость перемещения системы.

Полный текст

Динамика мобильных систем, управляемых при помощи внутренних подвижных масс, привлекает в последние годы значительное внимание. Роботы, движение которых основано на целенаправленном перемещении внутренних масс, часто называются капсульными роботами или вибророботами. Эти роботы не имеют внешних подвижных элементов, могут иметь гладкие и герметичные корпуса и способны перемещаться в трубах и различных средах, выполняя операции измерения и мониторинга. Миниатюрные капсульные роботы нашли применение в медицине для диагностики и доставки медикаментов.

Периодические движения виброробота в среде с квадратичным сопротивлением изучались в работах [1–3]. Динамика мобильных систем с внутренними подвижными массами в средах с сопротивлением, включая оптимизацию таких движений, исследовалась в работах [3–11].

В работе рассматривается поступательное прямолинейное движение в жидкости твердого тела (корпуса), управляемое при помощи внутренней подвижной массы. Сила внешнего сопротивления жидкости, действующая на корпус, предполагается зависящей от направления движения и пропорциональной квадрату скорости движения корпуса.

В отличие от работ [8–11], где рассматривается кинематическое управление, при котором управляющим воздействием служит скорость движения внутренней массы относительно корпуса, в данной работе рассматривается динамическое управление. Здесь в качестве управляющего воздействия выступает сила взаимодействия внутренней массы с корпусом. При этом все скорости изменяются непрерывно и отсутствуют ударные взаимодействия тел.

Построены и проанализированы управляемые движения с периодическим изменением скоростей. Оценена средняя скорость перемещения системы.

УПРАВЛЯЕМАЯ СИСТЕМА

Рассматривается управляемая механическая система, способная передвигаться прямолинейно и поступательно в жидкости. Система состоит из двух тел: корпуса массы M и внутренней массы m, которая снабжена двигателем (актюатором) и может перемещаться относительно корпуса внутри некоторой полости длины l (рис. 1). Обозначим через R силу сопротивления жидкости, приложенную к корпусу, а через F – управляющую силу, приложенную к массе m и развиваемую актюатором; следовательно, к корпусу приложена сила –F.

 

Рис. 1. Механическая система.

 

Обозначим через x смещение корпуса относительно некоторой инерциальной системы координат, через v – скорость корпуса, через ξ – смещение внутренней массы относительно корпуса, а через η – скорость этой массы относительно корпуса. Кинематические соотношения имеют вид

x˙=v,  ξ˙=η, (1)

динамические уравнения представим в виде

Mv˙=RF,  m(v˙+η˙)=F. (2)

Предполагаем, что сила сопротивления при движении корпуса вперед, т.е. при v>0, направлена против скорости и квадратичным образом зависит от скорости. Имеем

R=Mcv2 ïðè v0, (3)

где c>0 – коэффициент сопротивления. Управляющую силу F представим в виде

F=MF0u,  u1, (4)

где F0 – величина управляющей силы на единицу массы корпуса, u – управление, которое будем принимать равным ±1.

Для пояснения смысла введенных соотношений и последующего перехода к безразмерным переменным рассмотрим сначала пассивное движение корпуса по инерции. Положим F=0 и получим из уравнений (1)–(3)

x˙=v,  v˙=cv2.

Разделив второе из этих уравнений на первое, получим

dvdx=cv.

Интегрируя это уравнение при начальном условии v=0 при x=0, найдем 

v=v0ecx.

Отсюда следует, что коэффициент сопротивления с имеет размерность, обратную длине, и можно положить

ñ=L1, (5)

где L – длина пути, на котором скорость движения по инерции уменьшается в е раз.

Рассмотрим теперь движение при максимальной по величине управляющей силе, приложенной к корпусу и направленной вдоль скорости v. Положим u=1 и подставим равенства (4) и (5) в первое уравнение (2). Получим

v˙=cv2+F0. (6)

Интегрируя уравнение (6) при начальном условии v(0)=0, находим

v(t)=ve2cvt1e2cvt+1,

где введено обозначение

v=F0/c. (7)

Отсюда следует, что v(t)v при  t, где v – скорость, при которой правая часть уравнения (6) обращается в нуль, т.е. предельная скорость, до которой может разогнаться корпус.

Для перехода к безразмерным переменным выберем в качестве единицы длины величину L из (5) и в качестве единицы скорости величину  из (7). В качестве единицы времени возьмем

T0=Lv=LF0. (8)

Введем безразмерные переменные соотношениями

t=T0t',  x=Lx',  ξ=Lξ',  v=vv',  η=vη' (9)

В дальнейшем новые (безразмерные) переменные обозначаем теми же буквами, что и размерные, штрихи опускаем. Используя принятые единицы длины L и времени T0, введем безразмерные длину полости и период движения соотношениями, аналогичными (9):

l'=l/L,  T'=T/T0.

Штрихи здесь также будем опускать.

Кинематические соотношения после замены (9) сохраняются в виде (1). Динамические уравнения (2) после перехода к безразмерным переменным с учетом соотношений (3)–(5), (7) примут вид

v˙=v2u  ïðè  v0, (10)

κv˙+η˙=u,   κ=m/M. (11)

При движении корпуса назад, т.е. при v<0, сила сопротивления снова определяется формулой (3), в которой вместо коэффициента сопротивления с должен фигурировать другой коэффициент c. Так как форму корпуса естественно выбирать обтекаемой, имеем c>c. Положим

c=c/r,  r<1. (12)

После перехода к безразмерным переменным (9) первое уравнение (2) при v<0 примет вид, аналогичный (10):

v˙=v2ru при v<0. (13)

Таким образом, динамика рассматриваемой системы описывается соотношениями (1), (10), (11), (13).

Ранее динамика подобной системы, управляемой при помощи внутренней массы, рассматривалась в ряде работ [8, 10, 11] в предположении, что управление задается кинематическим образом, т.е. путем выбора скорости движения внутренней массы относительно корпуса. При резком изменении относительной скорости внутренней массы в системе происходят удары, в частности, при достижении подвижной массой концов полости. Рассматриваемая в данной работе математическая модель, в которой управление осуществляется силой взаимодействия внутренней массы с корпусом, свободна от этого недостатка – здесь все скорости изменяются непрерывно.

ПЕРИОДИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ

Рассматриваем движения, при которых скорость корпуса v(t) и относительная скорость внутренней массы η(t), а также смещение внутренней массы относительно корпуса ξ(t) изменяются периодически с периодом Т. Так как движение корпуса в сопротивляющейся среде со скоростью, сохраняющей постоянное направление, невозможно, то обязательно есть моменты времени, в которых скорость v(t) обращается в нуль. Один из таких моментов примем за начало отсчета времени. Условия периодичности скоростей примут вид

v(0)=v(T)=0,  η(0)=η(T)=η0, (14)

где η0 – пока неизвестная начальная скорость внутренней массы относительно корпуса.

Обозначим через ξ0 начальное смещение внутренней массы относительно корпуса. Условие периодичности смещения запишем в виде

ξ(0)=ξ0,  ξ(T)=ξ0. (15)

Будем рассматривать движения, при которых управление u(t) всегда максимально по величине и принимает одно из крайних значений u=±1. Без нарушения общности полагаем, что u=1 на начальном участке, и при этом v<0. Периодическое изменение скорости v(t) будет построено в соответствии со схемой, представленной на рис. 2, где моменты времени τ1, τ2, τ3, удовлетворяющие неравенствам

 

Рис. 2. Периодическое движение.

 

0<τ1<τ2<τ3<T, (16)

являются границами участков, на которых сохраняются знаки скорости и управления.

Имеем соотношения:

t0,τ1:  v<0, u=1,tτ1,τ2:  v<0, u=1,tτ2,τ3:  v>0, u=1,tτ3,T:  v>0, u=1. (17)

Сначала будут построены зависимости v(t) и η(t) для скоростей, а затем для смещений x(t) и ξ(t).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ

На интервале t0,τ1, в соответствии с соотношениями (17), имеем в силу уравнения (13)

v˙=v2r1. (18)

Интегрируя уравнение (18) и удовлетворяя начальному условию v(0)=0 из (14), получим

v(t)=r1e1t1+e1t,  e1t=e2tr   при   t0,τ1. (19)

При t=τ1 имеем соотношения

vτ1=r1e111+e11,  e11=e2τ1r. (20)

На интервале tτ1,τ2, в соответствии с соотношениями (17), получим, согласно уравнению (13),

v˙=v2r+1. (21)

Проинтегрируем уравнение (21) и найдем

r arctgvr=t+c1  при  tτ1,τ2. (22)

Для определения произвольной постоянной воспользуемся условием (20) при t=τ1 и получим

c1=r arctgv(τ1)rτ1. (23)

На основании равенств (22) и (23) находим

v(t)=vτ1+r tgtτ1/r1vτ1/rtgtτ1/r  при  tτ1,τ2. (24)

В момент t=τ2 происходит смена знака v(t) (см. рис. 2), так что vτ2=0. Подставляя это условие в соотношение (24), получим равенство

τ2=τ1+r arctg1e111+e11, (25)

где  определено в соотношениях (20).

Докажем неравенство, полезное для некоторых оценок:

τ2<2τ1. (26)

Введем обозначение

z=τ1/r. (27)

Тогда неравенство (26), как следует из равенств (25) и (20), эквивалентно неравенству

tg z>f(z)=1e2z1+e2z  при  z>0. (28)

Дифференцируя функцию f(z), находим

f'(z)=4e2z1+e2z2,    f''(z)=8e2ze2z11+e2z3<0. (29)

При z=0 обе части неравенства (28) равны 0, а их производные также совпадают и равны 1. В силу второго неравенства (29) производная f'(z) убывает при z>0 и меньше производной левой части неравенства (28). Отсюда вытекает справедливость неравенства (28) и, следовательно, неравенства (26).

На интервале tτ2,τ3, согласно соотношениям (17), имеем уравнение (10) для v в виде

v˙=v2+1. (30)

Интегрируя уравнение (30) при начальном условии vτ2=0, получим

v(t)=e21e2+1,  e2=e2(tτ2)  при  tτ2,τ3. (31)

В конце интервала τ2,τ3 имеем

vτ3=e211e21+1,  e21=e2τ3τ2. (32)

На последнем интервале tτ3,T, в силу соотношений (17), уравнение (10) представим в виде

v˙=v21. (33)

Проинтегрируем уравнение (11) при начальном условии (32) и получим, аналогично равенству (24), выражение для скорости в виде

v(t)=vτ3tgtτ31+vτ3tgtτ3  при  tτ3,T. (34)

В силу условия периодичности (14) для v имеем v(T)=0. Тогда из соотношений (34) и (32) получим при t=T

T=τ3+arctge211e21+1, (35)

где e21 определено в соотношениях (32).

Проинтегрируем уравнение (10) с учетом начальных условий (14) при t=0. Получим

κv(t)+η(t)=κη0+0tut1dt1. (36)

Кусочно-постоянная функция u(t) задана соотношениями (17). Вычисляя интеграл в (36), найдем

κv(t)+η(t)η0=φ(t), (37)

где функция φ(t) определена формулами

φ(t)=t  при  t0,τ1,2τ1t  при  tτ1,τ3,2τ12τ3+t  при  tτ3,T. (38)

В силу условий (14) при t=Ò из (37) вытекает равенство φ(Ò)=0. Следовательно, согласно (38) имеем

Ò=2τ3τ1. (39)

Таким образом, скорость корпуса  задана на всем интервале 0,T соотношениями (19), (24), (31) и (34), а относительная скорость внутренней массы  определена равенством (37).

Полученные соотношения содержат три неизвестных параметра − границы интервалов τ1,τ2 è τ3, для которых имеем три уравнения (25), (35) и (39). Эти параметры могут быть определены численно.

Использовался следующий алгоритм вычисления этих параметров. При помощи равенства (39) выразим τ1 через τ3 в виде

τ1=τ3T/2, (40)

а при помощи равенств (25) и (40) выразим τ2 как функцию τ3. Тогда уравнение (35) будет представлять собой трансцендентное уравнение относительно одного неизвестного параметра τ3. Решая его численно, найдем все параметры τ1,τ2 и τ3. Некоторые результаты расчетов представлены ниже.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ

Проинтегрируем равенство (37), принимая во внимание второе уравнение (1) и начальные условия (14). Получим

κx(t)+ξ(t)ξ0η0t=Φ(t), (41)

где введено обозначение

Φ(t)=0tφt1dt1. (42)

Вычисляя интеграл (42) от кусочно-линейной функции φ(t), заданной соотношениями (38), получим

Φ(t)=t22  ïðè  t0,τ1,2τ1tt22τ12  ïðè  tτ1,τ3,2τ1τ3t+t22τ12τ32  ïðè  tτ3,T.(43)

Определим Φ(T), используя соотношения (43) и равенство (39). Получим

Φ(T)=4τ1τ3τ323τ12=τ3τ13τ1τ3. (44)

Подставим t=Ò в соотношение (41) и примем во внимание условие ξ(T)=ξ0 из (15) и равенство (44). В результате получим

κx(T)η0T=τ3τ13τ1τ3. (45)

Обозначим через θ1 и θ2 моменты времени, в которых достигаются наименьшее и наибольшее значения функции ξ(t) на интервале 0,T соответственно:

θ1=argmin ξ(t),  θ2=argmax ξ(t),  t0,T. (46)

В эти моменты времени имеем

ηθ1=0,  ηθ2=0,

а подвижная масса достигает, соответственно, левого и правого концов полости, внутри которой она перемещается:

ξθ1=0,  ξθ2=l. (47)

Здесь l – безразмерная длина полости. Подставляя t=θ1 и t=θ2 в уравнение (41) и используя равенства (47), получим соотношения

κxθ1ξ0η0θ1=Φθ1, (48)

κxθ2+lξ0η0θ2=Φθ2. (49)

В результате полный расчет искомого периодического движения на интервале 0,T состоит из следующих операций.

  1. Определение трех параметров τ1,τ2 è τ3 при помощи уравнений (25), (35) и (39), как описано выше.
  2. Расчет скорости корпуса v(t) по формулам (19), (24), (31) и (34).
  3. Расчет перемещения корпуса x(t) путем интегрирования скорости v(t) согласно равенству

x(t)=0tv(t1)dt1,  t0,T. (50)

  1. Вычисление начальной скорости η0 внутренней массы относительно корпуса при помощи равенства (45).
  2. Определение относительной скорости η(t) на интервале 0,T на основе соотношения (37).
  3. Определение моментов времени θ1 и θ2 согласно соотношениям (46).
  4. Вычисление начального перемещения внутренней массы ξ0 на основе соотношения (48).
  5. Определение перемещения внутренней массы ξ(t) на интервале 0,T в соответствии с равенством (41).

Второе равенство (47) дает возможность вычислить максимальное перемещение внутренней массы, равное необходимой длине полости. Все эти вычисления зависят от безразмерных параметров κ, r и T. Если же период Т не фиксирован, а длина полости l задана, то потребуется провести пересчет указанных выше операций с различными Т и подобрать такое значение Т, при котором выполняется второе условие (47).

Средняя скорость перемещения корпуса при построенном периодическом движении определяется соотношением

v¯=x(T)T.

ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Приведем некоторые численные результаты построенного периодического движения. Для этого положим:

m=10 кг,  M=100 кг,  c=0.2 м1,  c=1 м1,F=50 H.

Для данных значений параметров имеем, согласно равенствам (5), (4) и (8),

L=5 м,  F0=0.5 м/с2,  T0=3.16 c.

Выберем период Т в размерных переменных равный 13.75 c. Тогда имеем следующие значения безразмерных параметров:

κ=m/M=0.1,  r=c/c=0.2,  T=4.35.

Из уравнений (25), (35) и (39) были определены моменты времени τ1, τ2 и τ3 (в безразмерных переменных):

τ1=1.42,  τ2=1.77,  τ3=3.59.

Графики функций vt и xt в безразмерных переменных изображены на рис. 3, 4.

 

Рис. 3. Скорость корпуса.

 

Рис. 4. Перемещение корпуса.

 

Полное перемещение корпуса за период xT и средняя скорость перемещения корпуса v¯ в безразмерных переменных равны

xT=0.91,   v¯=0.21.

На основе равенств (45) и (48) были определены начальная скорость внутренней массы η0 и начальное смещение внутренней массы относительно левой границы полости ξ0. В рассматриваемом числовом примере они равны

η0=3.07,   ξ0=0.43.

Графики функций ηt и ξt в безразмерных переменных изображены на рис. 5, 6.

 

Рис. 5. Скорость внутренней массы.

 

Рис. 6. Перемещение внутренней массы.

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Исследовано поступательное движение в жидкости твердого тела, управляемого силой его взаимодействия с внутренней массой. Построены движения с периодическим изменением скоростей движущихся тел. Дана оценка средней скорости перемещения. Полученные результаты могут представлять интерес для управления движением аппаратов, перемещающихся в жидкой среде.

ИСТОЧНИК ФИНАНСИРОВАНИЯ

Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 23-11-00128, https://rscf.ru/project/23-11-00128/.

×

Об авторах

Т. В. Глазков

Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского Российской академии наук

Автор, ответственный за переписку.
Email: t.glazkov@bk.ru
Россия, Москва

Ф. Л. Черноусько

Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского Российской академии наук

Email: chern@ipmnet.ru

академик РАН

Россия, Москва

Список литературы

  1. Нагаев Р.Ф., Тамм Е.А. Вибрационное перемещение в среде с квадратичным сопротивлением движению // Машиноведение. 1980. № 4. С. 3–8.
  2. Герасимов С.А. О вибрационном полете симметричной системы // Известия вузов. Машиностроение. 2005. № 8. С. 3–7.
  3. Егоров А.Г., Захарова О.С. Оптимальное квазистационарное движение виброробота в вязкой среде // Известия вузов. Математика. 2012. № 2. С. 57–64.
  4. Liu Y., Pavlovskaya E., Hendry D., Wiercigroch M. Optimization of the vibroimpact capsule system // Journal of Mechanical Engineering. 2016. V. 62. P. 430–439.
  5. Fang H.B., Xu J. Dynamics of a mobile system with an internal acceleration-controlled mass in a resistive medium // Journal of Sound and Vibration. 2011. V. 330. P. 4002–4018.
  6. Xu J., Fang H. Improving performance: recent progress on vibration-driven locomotion systems // Nonlinear Dynamics. 2019. V. 98. P. 2651–2669.
  7. Tahmasian S. Dynamic analysis and optimal control of a drag-based vibratory systems using averaging // Nonlinear Dynamics. 2021. V. 104. P. 2201–2217.
  8. Черноусько Ф.Л. Оптимальные периодические движения двухмассовой системы в сопротивляющейся среде // Прикладная математика и механика. 2008. Т. 72. Вып. 2. С. 202–215.
  9. Черноусько Ф.Л., Болотник Н.Н. Динамика мобильных систем с управляемой конфигурацией. М.: Физматлит, 2022. 464 с.
  10. Черноусько Ф.Л. Оптимизация движения тела с внутренней массой при квадратичном сопротивлении // Доклады РАН. Физика, технические науки. 2023. Т. 513. С. 80–86.
  11. Глазков Т.В., Черноусько Ф.Л. Оптимальное движение тела, управляемого посредством внутренней массы, в среде с сопротивлением // Прикладная математика и механика. 2024. Т. 88. № 1. С. 53–66.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
2. Рис. 1. Механическая система.

Скачать (91KB)
3. Рис. 2. Периодическое движение.

Скачать (37KB)
4. Рис. 3. Скорость корпуса.

Скачать (45KB)
5. Рис. 4. Перемещение корпуса.

Скачать (45KB)
6. Рис. 5. Скорость внутренней массы.

Скачать (46KB)
7. Рис. 6. Перемещение внутренней массы.

Скачать (47KB)

© Российская академия наук, 2024

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».