Periodic movements in the fluid of a body controlled by the force of its interaction with the internal mass

Full Text

Динамика мобильных систем, управляемых при помощи внутренних подвижных масс, привлекает в последние годы значительное внимание. Роботы, движение которых основано на целенаправленном перемещении внутренних масс, часто называются капсульными роботами или вибророботами. Эти роботы не имеют внешних подвижных элементов, могут иметь гладкие и герметичные корпуса и способны перемещаться в трубах и различных средах, выполняя операции измерения и мониторинга. Миниатюрные капсульные роботы нашли применение в медицине для диагностики и доставки медикаментов.

Периодические движения виброробота в среде с квадратичным сопротивлением изучались в работах [1–3]. Динамика мобильных систем с внутренними подвижными массами в средах с сопротивлением, включая оптимизацию таких движений, исследовалась в работах [3–11].

В работе рассматривается поступательное прямолинейное движение в жидкости твердого тела (корпуса), управляемое при помощи внутренней подвижной массы. Сила внешнего сопротивления жидкости, действующая на корпус, предполагается зависящей от направления движения и пропорциональной квадрату скорости движения корпуса.

В отличие от работ [8–11], где рассматривается кинематическое управление, при котором управляющим воздействием служит скорость движения внутренней массы относительно корпуса, в данной работе рассматривается динамическое управление. Здесь в качестве управляющего воздействия выступает сила взаимодействия внутренней массы с корпусом. При этом все скорости изменяются непрерывно и отсутствуют ударные взаимодействия тел.

Построены и проанализированы управляемые движения с периодическим изменением скоростей. Оценена средняя скорость перемещения системы.

УПРАВЛЯЕМАЯ СИСТЕМА

Рассматривается управляемая механическая система, способная передвигаться прямолинейно и поступательно в жидкости. Система состоит из двух тел: корпуса массы M и внутренней массы m, которая снабжена двигателем (актюатором) и может перемещаться относительно корпуса внутри некоторой полости длины l (рис. 1). Обозначим через R силу сопротивления жидкости, приложенную к корпусу, а через F – управляющую силу, приложенную к массе m и развиваемую актюатором; следовательно, к корпусу приложена сила –F.

 

Рис. 1. Механическая система.

 

Обозначим через x смещение корпуса относительно некоторой инерциальной системы координат, через v – скорость корпуса, через $\xi$ – смещение внутренней массы относительно корпуса, а через $\eta$ – скорость этой массы относительно корпуса. Кинематические соотношения имеют вид

$\dot{x}=v,\dot{\xi }=\eta$, (1)

динамические уравнения представим в виде

$M\dot{v}=R-F,m(\dot{v}+\dot{\eta })=F.$ (2)

Предполагаем, что сила сопротивления при движении корпуса вперед, т.е. при $v>\mathrm{0,}$ направлена против скорости и квадратичным образом зависит от скорости. Имеем

$R=-Mc{v}^2\text{ ïðè }v\ge \mathrm{0,}$ (3)

где $c>0$ – коэффициент сопротивления. Управляющую силу F представим в виде

$F=M{F}_{0}u,\left|u\right|\le \mathrm{1,}$ (4)

где $F_0$ – величина управляющей силы на единицу массы корпуса, u – управление, которое будем принимать равным $\pm 1.$

Для пояснения смысла введенных соотношений и последующего перехода к безразмерным переменным рассмотрим сначала пассивное движение корпуса по инерции. Положим $F=0$ и получим из уравнений (1)–(3)

$\dot{x}=v,\dot{v}=-c{v}^2.$

Разделив второе из этих уравнений на первое, получим

$\frac{dv}{dx}=-cv.$

Интегрируя это уравнение при начальном условии $v=0\text{ при }x=0$, найдем 

$v=v_0{e}^{-cx}.$

Отсюда следует, что коэффициент сопротивления с имеет размерность, обратную длине, и можно положить

$ñ=L^{-1},$ (5)

где L – длина пути, на котором скорость движения по инерции уменьшается в е раз.

Рассмотрим теперь движение при максимальной по величине управляющей силе, приложенной к корпусу и направленной вдоль скорости v. Положим $u=-1$ и подставим равенства (4) и (5) в первое уравнение (2). Получим

$\dot{v}=-c{v}^2+F_0.$ (6)

Интегрируя уравнение (6) при начальном условии $v\left(0\right)=0$, находим

$v\left(t\right)=v_{\ast }\frac{e^{2c{v}_{\ast }t}-1}{e^{2c{v}_{\ast }t}+1},$

где введено обозначение

$v_{\ast }=\sqrt{F_0/c}.$ (7)

Отсюда следует, что $v\left(t\right)\to v_{\ast }\text{ при }t\to \infty$, где $v_{\ast }$ – скорость, при которой правая часть уравнения (6) обращается в нуль, т.е. предельная скорость, до которой может разогнаться корпус.

Для перехода к безразмерным переменным выберем в качестве единицы длины величину L из (5) и в качестве единицы скорости величину  из (7). В качестве единицы времени возьмем

$T_0=\frac{L}{v_{\ast }}=\sqrt{\frac{L}{F_0}}.$ (8)

Введем безразмерные переменные соотношениями

$t=T_0{t}^{\text{'}},x=L{x}^{\text{'}},\xi =L{\xi }^{\text{'}},v=v_{\ast }{v}^{\text{'}},\eta =v_{\ast }{\eta }^{\text{'}}\text{. }$ (9)

В дальнейшем новые (безразмерные) переменные обозначаем теми же буквами, что и размерные, штрихи опускаем. Используя принятые единицы длины L и времени $T_0$, введем безразмерные длину полости и период движения соотношениями, аналогичными (9):

$l^{\text{'}}=l/L,T^{\text{'}}=T/T_0.$

Штрихи здесь также будем опускать.

Кинематические соотношения после замены (9) сохраняются в виде (1). Динамические уравнения (2) после перехода к безразмерным переменным с учетом соотношений (3)–(5), (7) примут вид

$\dot{v}=-v^2-u\text{ ïðè }v\ge \mathrm{0,}$ (10)

$\kappa \left(\dot{v}+\dot{\eta }\right)=u,\kappa =m/M$. (11)

При движении корпуса назад, т.е. при $v<0$, сила сопротивления снова определяется формулой (3), в которой вместо коэффициента сопротивления с должен фигурировать другой коэффициент $c_{-}$. Так как форму корпуса естественно выбирать обтекаемой, имеем $c_{-}>c.$ Положим

$c_{-}=c/r,r<1.$ (12)

После перехода к безразмерным переменным (9) первое уравнение (2) при $v<0$ примет вид, аналогичный (10):

$\dot{v}=\frac{v^2}{r}-u\text{ при }v<0.$ (13)

Таким образом, динамика рассматриваемой системы описывается соотношениями (1), (10), (11), (13).

Ранее динамика подобной системы, управляемой при помощи внутренней массы, рассматривалась в ряде работ [8, 10, 11] в предположении, что управление задается кинематическим образом, т.е. путем выбора скорости движения внутренней массы относительно корпуса. При резком изменении относительной скорости внутренней массы в системе происходят удары, в частности, при достижении подвижной массой концов полости. Рассматриваемая в данной работе математическая модель, в которой управление осуществляется силой взаимодействия внутренней массы с корпусом, свободна от этого недостатка – здесь все скорости изменяются непрерывно.

ПЕРИОДИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ

Рассматриваем движения, при которых скорость корпуса $v\left(t\right)$ и относительная скорость внутренней массы $\eta \left(t\right),$ а также смещение внутренней массы относительно корпуса $\xi \left(t\right)$ изменяются периодически с периодом Т. Так как движение корпуса в сопротивляющейся среде со скоростью, сохраняющей постоянное направление, невозможно, то обязательно есть моменты времени, в которых скорость $v\left(t\right)$ обращается в нуль. Один из таких моментов примем за начало отсчета времени. Условия периодичности скоростей примут вид

$v\left(0\right)=v\left(T\right)=\mathrm{0,}\eta \left(0\right)=\eta \left(T\right)={\eta }_0,$ (14)

где ${\eta }_0$ – пока неизвестная начальная скорость внутренней массы относительно корпуса.

Обозначим через ${\xi }_0$ начальное смещение внутренней массы относительно корпуса. Условие периодичности смещения запишем в виде

$\xi \left(0\right)={\xi }_0,\xi \left(T\right)={\xi }_0.$ (15)

Будем рассматривать движения, при которых управление $u\left(t\right)$ всегда максимально по величине и принимает одно из крайних значений $u=\pm 1.$ Без нарушения общности полагаем, что $u=1$ на начальном участке, и при этом $v<0$. Периодическое изменение скорости $v\left(t\right)$ будет построено в соответствии со схемой, представленной на рис. 2, где моменты времени ${\tau }_1,{\tau }_2,{\tau }_3$, удовлетворяющие неравенствам

 

Рис. 2. Периодическое движение.

 

$0<{\tau }_1<{\tau }_2<{\tau }_3<T,$ (16)

являются границами участков, на которых сохраняются знаки скорости и управления.

Имеем соотношения:

$\begin{array}{l}t\in \left(\mathrm{0,}{\tau }_1\right):v<\mathrm{0,}u=\mathrm{1,}\\ t\in \left({\tau }_1,{\tau }_2\right):v<\mathrm{0,}u=-\mathrm{1,}\\ t\in \left({\tau }_2,{\tau }_3\right):v>\mathrm{0,}u=-\mathrm{1,}\\ t\in \left({\tau }_3,T\right):v>\mathrm{0,}u=1.\end{array}$ (17)

Сначала будут построены зависимости $v\left(t\right)$ и $\eta \left(t\right)$ для скоростей, а затем для смещений $x\left(t\right)\text{ и }\xi \left(t\right)$.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ

На интервале $t\in \left(\mathrm{0,}{\tau }_1\right)$, в соответствии с соотношениями (17), имеем в силу уравнения (13)

$\dot{v}=\frac{v^2}{r}-1.$ (18)

Интегрируя уравнение (18) и удовлетворяя начальному условию $v\left(0\right)=0$ из (14), получим

$v\left(t\right)=-\sqrt{r}\frac{1-e_1\left(t\right)}{1+e_1\left(t\right)},e_1\left(t\right)=e^{-\frac{2t}{\sqrt{r}}}\text{ при }t\in \left[\mathrm{0,}{\tau }_1\right].$ (19)

При $t={\tau }_1$ имеем соотношения

$v\left({\tau }_1\right)=-\sqrt{r}\frac{1-e_{11}}{1+e_{11}},e_{11}=e^{-\frac{2{\tau }_1}{\sqrt{r}}}.$ (20)

На интервале $t\in \left({\tau }_1,{\tau }_2\right)$, в соответствии с соотношениями (17), получим, согласно уравнению (13),

$\dot{v}=\frac{v^2}{r}+1.$ (21)

Проинтегрируем уравнение (21) и найдем

$\sqrt{r}\text{ arctg}\frac{v}{\sqrt{r}}=t+c_1\text{ при }t\in \left[{\tau }_1,{\tau }_2\right].$ (22)

Для определения произвольной постоянной воспользуемся условием (20) при $t={\tau }_1$ и получим

$c_1=\sqrt{r}\text{ arctg}\frac{v\left({\tau }_1\right)}{\sqrt{r}}-{\tau }_1.$ (23)

На основании равенств (22) и (23) находим

$\begin{array}{c}v\left(t\right)=\frac{v\left({\tau }_1\right)+\sqrt{r}\text{ tg}\left[\left(t-{\tau }_1\right)/\sqrt{r}\right]}{1-\left[v\left({\tau }_1\right)/\sqrt{r}\right]\text{tg}\left[\left(t-{\tau }_1\right)/\sqrt{r}\right]}\\ \text{при }t\in \left[{\tau }_1,{\tau }_2\right].\end{array}$ (24)

В момент $t={\tau }_2$ происходит смена знака $v\left(t\right)$ (см. рис. 2), так что $v\left({\tau }_2\right)=0$. Подставляя это условие в соотношение (24), получим равенство

${\tau }_2={\tau }_1+\sqrt{r}\text{ arctg}\frac{1-e_{11}}{1+e_{11}},$ (25)

где  определено в соотношениях (20).

Докажем неравенство, полезное для некоторых оценок:

${\tau }_2<2{\tau }_1.$ (26)

Введем обозначение

$z={\tau }_1/\sqrt{r}.$ (27)

Тогда неравенство (26), как следует из равенств (25) и (20), эквивалентно неравенству

$\text{tg }z>f\left(z\right)=\frac{1-e^{-2z}}{1+e^{-2z}}\text{ при }z>0.$ (28)

Дифференцируя функцию $f\left(z\right)$, находим

$f^{\text{'}}\left(z\right)=\frac{4e^{-2z}}{{\left(1+e^{-2z}\right)}^2},f^{\text{'}\text{'}}\left(z\right)=\frac{8e^{-2z}\left(e^{-2z}-1\right)}{{\left(1+e^{-2z}\right)}^3}<0.$ (29)

При $z=0$ обе части неравенства (28) равны 0, а их производные также совпадают и равны 1. В силу второго неравенства (29) производная $f^{\text{'}}\left(z\right)$ убывает при $z>0$ и меньше производной левой части неравенства (28). Отсюда вытекает справедливость неравенства (28) и, следовательно, неравенства (26).

На интервале $t\in \left({\tau }_2,{\tau }_3\right)$, согласно соотношениям (17), имеем уравнение (10) для v в виде

$\dot{v}=-v^2+1.$ (30)

Интегрируя уравнение (30) при начальном условии $v\left({\tau }_2\right)=0$, получим

$v\left(t\right)=\frac{e_2-1}{e_2+1},e_2=e^{2(t-{\tau }_2)}\text{ при }t\in \left[{\tau }_2,{\tau }_3\right].$ (31)

В конце интервала $\left[{\tau }_2,{\tau }_3\right]$ имеем

$v\left({\tau }_3\right)=\frac{e_{21}-1}{e_{21}+1},e_{21}=e^{2\left({\tau }_3-{\tau }_2\right)}.$ (32)

На последнем интервале $t\in \left[{\tau }_3,T\right]$, в силу соотношений (17), уравнение (10) представим в виде

$\dot{v}=-v^2-1.$ (33)

Проинтегрируем уравнение (11) при начальном условии (32) и получим, аналогично равенству (24), выражение для скорости в виде

$v\left(t\right)=\frac{v\left({\tau }_3\right)-\text{tg}\left(t-{\tau }_3\right)}{1+v\left({\tau }_3\right)\text{tg}\left(t-{\tau }_3\right)}\text{ при }t\in \left[{\tau }_3,T\right].$ (34)

В силу условия периодичности (14) для v имеем $v\left(T\right)=0$. Тогда из соотношений (34) и (32) получим при $t=T$

$T={\tau }_3+\text{arctg}\frac{e_{21}-1}{e_{21}+1},$ (35)

где $e_{21}$ определено в соотношениях (32).

Проинтегрируем уравнение (10) с учетом начальных условий (14) при $t=0$. Получим

$\kappa \left[v\left(t\right)+\eta \left(t\right)\right]=\kappa {\eta }_0+\underset{0}{\overset{t}{\int }}u\left(t_1\right)d{t}_1.$ (36)

Кусочно-постоянная функция $u\left(t\right)$ задана соотношениями (17). Вычисляя интеграл в (36), найдем

$\kappa \left[v\left(t\right)+\eta \left(t\right)-{\eta }_0\right]=\phi \left(t\right),$ (37)

где функция $\phi \left(t\right)$ определена формулами

$\phi \left(t\right)=\left\{\begin{array}{l}t\text{ при }t\in \left[\mathrm{0,}{\tau }_1\right],\\ 2{\tau }_1-t\text{ при }t\in \left[{\tau }_1,{\tau }_3\right],\\ 2{\tau }_1-2{\tau }_3+t\text{ при }t\in \left[{\tau }_3,T\right].\end{array}\right.$ (38)

В силу условий (14) при $t=Ò$ из (37) вытекает равенство $\phi \left(Ò\right)=0$. Следовательно, согласно (38) имеем

$Ò=2\left({\tau }_3-{\tau }_1\right).$ (39)

Таким образом, скорость корпуса  задана на всем интервале $\left[\mathrm{0,}T\right]$ соотношениями (19), (24), (31) и (34), а относительная скорость внутренней массы  определена равенством (37).

Полученные соотношения содержат три неизвестных параметра − границы интервалов ${\tau }_1,{\tau }_2\text{ è }{\tau }_3$, для которых имеем три уравнения (25), (35) и (39). Эти параметры могут быть определены численно.

Использовался следующий алгоритм вычисления этих параметров. При помощи равенства (39) выразим ${\tau }_1$ через ${\tau }_3$ в виде

${\tau }_1={\tau }_3-T/2,$ (40)

а при помощи равенств (25) и (40) выразим ${\tau }_2$ как функцию ${\tau }_3$. Тогда уравнение (35) будет представлять собой трансцендентное уравнение относительно одного неизвестного параметра ${\tau }_3$. Решая его численно, найдем все параметры ${\tau }_1,{\tau }_2\text{ и }{\tau }_3$. Некоторые результаты расчетов представлены ниже.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ

Проинтегрируем равенство (37), принимая во внимание второе уравнение (1) и начальные условия (14). Получим

$\kappa \left[x\left(t\right)+\xi \left(t\right)-{\xi }_0-{\eta }_{0}t\right]=\Phi \left(t\right),$ (41)

где введено обозначение

$\Phi \left(t\right)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}\phi \left(t_1\right)d{t}_1.$ (42)

Вычисляя интеграл (42) от кусочно-линейной функции $\phi \left(t\right)$, заданной соотношениями (38), получим

$\Phi \left(t\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{t^2}{2}\text{ ïðè }t\in \left[\mathrm{0,}{\tau }_1\right],\\ 2{\tau }_{1}t-\frac{t^2}{2}-{\tau }_1^2\text{ ïðè }t\in \left[{\tau }_1,{\tau }_3\right],\\ 2\left({\tau }_1-{\tau }_3\right)t+\frac{t^2}{2}-{\tau }_1^2-{\tau }_3^2\text{ ïðè }t\in \left[{\tau }_3,T\right].\end{array}\right.$(43)

Определим $\Phi \left(T\right)$, используя соотношения (43) и равенство (39). Получим

$\Phi \left(T\right)=4{\tau }_1{\tau }_3-{\tau }_3^2-3{\tau }_1^2=\left({\tau }_3-{\tau }_1\right)\left(3{\tau }_1-{\tau }_3\right).$ (44)

Подставим $t=Ò$ в соотношение (41) и примем во внимание условие $\xi \left(T\right)={\xi }_0$ из (15) и равенство (44). В результате получим

$\kappa \left[x\left(T\right)-{\eta }_{0}T\right]=\left({\tau }_3-{\tau }_1\right)\left(3{\tau }_1-{\tau }_3\right).$ (45)

Обозначим через ${\theta }_1$ и ${\theta }_2$ моменты времени, в которых достигаются наименьшее и наибольшее значения функции $\xi \left(t\right)$ на интервале $\left[\mathrm{0,}T\right]$ соответственно:

${\theta }_1=\text{argmin\hspace{0.05em}}\xi \left(t\right),{\theta }_2=\text{argmax\hspace{0.05em}}\xi \left(t\right),t\in \left[\mathrm{0,}T\right].$ (46)

В эти моменты времени имеем

$\eta \left({\theta }_1\right)=\mathrm{0,}\eta \left({\theta }_2\right)=\mathrm{0,}$

а подвижная масса достигает, соответственно, левого и правого концов полости, внутри которой она перемещается:

$\xi \left({\theta }_1\right)=\mathrm{0,}\xi \left({\theta }_2\right)=l.$ (47)

Здесь l – безразмерная длина полости. Подставляя $t={\theta }_1$ и $t={\theta }_2$ в уравнение (41) и используя равенства (47), получим соотношения

$\kappa \left[x\left({\theta }_1\right)-{\xi }_0-{\eta }_0{\theta }_1\right]=\Phi \left({\theta }_1\right),$ (48)

$\kappa \left[x\left({\theta }_2\right)+l-{\xi }_0-{\eta }_0{\theta }_2\right]=\Phi \left({\theta }_2\right).$ (49)

В результате полный расчет искомого периодического движения на интервале $\left[\mathrm{0,}T\right]$ состоит из следующих операций.

1. Определение трех параметров ${\tau }_1,{\tau }_2\text{ è }{\tau }_3$ при помощи уравнений (25), (35) и (39), как описано выше.
2. Расчет скорости корпуса $v\left(t\right)$ по формулам (19), (24), (31) и (34).
3. Расчет перемещения корпуса $x\left(t\right)$ путем интегрирования скорости $v\left(t\right)$ согласно равенству

$x\left(t\right)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}v(t_1)d{t}_1,t\in \left[\mathrm{0,}T\right].$ (50)

4. Вычисление начальной скорости ${\eta }_0$ внутренней массы относительно корпуса при помощи равенства (45).
5. Определение относительной скорости $\eta \left(t\right)$ на интервале $\left[\mathrm{0,}T\right]$ на основе соотношения (37).
6. Определение моментов времени ${\theta }_1$ и ${\theta }_2$ согласно соотношениям (46).
7. Вычисление начального перемещения внутренней массы ${\xi }_0$ на основе соотношения (48).
8. Определение перемещения внутренней массы $\xi \left(t\right)$ на интервале $\left[\mathrm{0,}T\right]$ в соответствии с равенством (41).

Второе равенство (47) дает возможность вычислить максимальное перемещение внутренней массы, равное необходимой длине полости. Все эти вычисления зависят от безразмерных параметров $\kappa ,r\text{ и }T$. Если же период Т не фиксирован, а длина полости l задана, то потребуется провести пересчет указанных выше операций с различными Т и подобрать такое значение Т, при котором выполняется второе условие (47).

Средняя скорость перемещения корпуса при построенном периодическом движении определяется соотношением

$\overline{v}=\frac{x\left(T\right)}{T}$.

ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Приведем некоторые численные результаты построенного периодического движения. Для этого положим:

$\begin{array}{l}m=10\text{\hspace{0.33em}кг},M=100\text{\hspace{0.33em}кг},c=0.2{\text{\hspace{0.33em}м}}^{-1},c_{-}=1{\text{\hspace{0.33em}м}}^{-\text{1}},\\ F=50\text{\hspace{0.33em}H}.\end{array}$

Для данных значений параметров имеем, согласно равенствам (5), (4) и (8),

$L=5\text{\hspace{0.33em}м},F_0=0.5\text{\hspace{0.33em}м}/{с}^{\text{2}},T_0=3.16\text{\hspace{0.33em}c.}$

Выберем период Т в размерных переменных равный $13.75\text{\hspace{0.33em}c}$. Тогда имеем следующие значения безразмерных параметров:

$\kappa =m/M=\mathrm{0.1,}r=c/c_{-}=\mathrm{0.2,}T=\mathrm{4.35.}$

Из уравнений (25), (35) и (39) были определены моменты времени ${\tau }_1$, ${\tau }_2$ и ${\tau }_3$ (в безразмерных переменных):

${\tau }_1=\mathrm{1.42,}{\tau }_2=\mathrm{1.77,}{\tau }_3=\mathrm{3.59.}$

Графики функций $v\left(t\right)$ и $x\left(t\right)$ в безразмерных переменных изображены на рис. 3, 4.

 

Рис. 3. Скорость корпуса.

 

Рис. 4. Перемещение корпуса.

 

Полное перемещение корпуса за период $x\left(T\right)$ и средняя скорость перемещения корпуса $\overline{v}$ в безразмерных переменных равны

$x\left(T\right)=\mathrm{0.91,}\overline{v}=0.21$.

На основе равенств (45) и (48) были определены начальная скорость внутренней массы ${\eta }_0$ и начальное смещение внутренней массы относительно левой границы полости ${\xi }_0$. В рассматриваемом числовом примере они равны

${\eta }_0=-\mathrm{3.07,}{\xi }_0=0.43$.

Графики функций $\eta \left(t\right)$ и $\xi \left(t\right)$ в безразмерных переменных изображены на рис. 5, 6.

 

Рис. 5. Скорость внутренней массы.

 

Рис. 6. Перемещение внутренней массы.

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Исследовано поступательное движение в жидкости твердого тела, управляемого силой его взаимодействия с внутренней массой. Построены движения с периодическим изменением скоростей движущихся тел. Дана оценка средней скорости перемещения. Полученные результаты могут представлять интерес для управления движением аппаратов, перемещающихся в жидкой среде.

ИСТОЧНИК ФИНАНСИРОВАНИЯ

Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 23-11-00128, https://rscf.ru/project/23-11-00128/.

About the authors

T. V. Glazkov

Ishlinsky Institute for Problems in Mechanics of the Russian Academy of Sciences

Author for correspondence.
Email: t.glazkov@bk.ru
Russian Federation, Moscow

F. L. Chernousko

Ishlinsky Institute for Problems in Mechanics of the Russian Academy of Sciences

Email: chern@ipmnet.ru

Academician of the RAS

Russian Federation, Moscow

References

Supplementary files