Synthesis of an algorithm for estimating parameters of a multiposition surveillance system and research of filtering divergence

Full Text

Введение

Гражданская авиация является активно развивающейся отраслью промышленности и играет важную роль в обеспечении экономического развития Российской Федерации. Увеличение интенсивности воздушного движения послужило началом модернизации Единой системы организации воздушного движения (ЕС ОрВД). Для обеспечения эффективного функционирования системы УВД предлагается использовать многопозиционную систему наблюдения (МПСН).

Системный анализ принципов построения и функционирования МПСН показал значительные преимущества МПСН по сравнению с существующими классическими средствами наблюдения – возможность использования системы в труднодоступных районах для радиолокационных средств, а также простота обслуживания [Исследование…, 2023; Лежанкин и др., 2019].

Точность измерения местоположения воздушных судов (ВС) напрямую влияет на безопасность полётов и является одной из важнейших тактических характеристик. Внедрение новых перспективных средств наблюдения, таких как МПСН, может значительно повысить уровень эффективности использования воздушного пространства [Синтез…, 2022]. При этом важное значение имеет исследование точностных характеристик МПСН в зависимости от конфигурации параметров системы.

Точность определения местоположения ВС характеризуется качеством измерения времени прихода сигнала в условиях влияния шумов и помех [Арефьев и др., 2021; Применение…, 2021; Туринцев и др., 2022]. Случайные возмущения необходимо учитывать для обеспечения качественной работы МПСН, что достигается путем применения методов Калмановской теории фильтрации [Формирование…, 2008; Using…, 2022]. При синтезе алгоритмов оценки параметров МПСН, необходимо учитывать случайные возмущения для обеспечения качественной работы в условиях действующих шумов и помех, что достигается путем применения различных методов, в том числе, методов Калмановской теории фильтрации. Эффективность применения фильтра Калмана (ФК) существенно зависит от степени соответствия математических моделей реальным процессам. Неточности моделей, связанные с функционированием радионавигационных систем, приводят к появлению эффекта расходимости ФК.

На основе анализа вышеизложенного можно сделать вывод о том, что исследование точностных характеристик МПСН и повышение эффективности определения координат ВС в условиях воздействия случайных возмущений является актуальной научно-исследовательской задачей.

Цель работы – разработка алгоритма определения переменных вектора состояния многопозиционной системы наблюдения и исследование расходимости процессов фильтрации.

Постановка задачи

В основе принципа работы МПСН при определении положения приёмоответчика ВС лежат измерения на приемных пунктах значений псевдозадержки принятых сигналов, которые можно представить в виде:

$U_{вх}\left(t\right)=\underset{}{\overset{}{\sum _{i=1}^n}}{S}_i\left(t,\check{\tau },{\check{f}}_{Дi}\right)+n\left(t\right)$,

$S_i\left(t,\check{\tau },{\check{f}}_{Дi}\right)=A_i{G}_{ДК}\left(t-{\check{\tau }}_i\right)G_{НС}\left(t-{\check{\tau }}_i\right)\cos \left({\omega }_{0i}\right(t-{\check{\tau }}_i)+{\varphi }_{0i})=$

$= A_i{G}_{ДК}\left(t-{\check{\tau }}_i\right)G_{НС}\left(t-{\check{\tau }}_i\right)\cos ({\omega }_{0i}t+2\pi {\int }_0^t{\check{f}}_{Дi}\left(v\right)dv+{\varphi }_{0i})$

где $S_i\left(t,\check{\tau },{\check{f}}_{Дi}\right)$ – принимаемый i-ым ПП сигнал с амплитудой А_i,; ω_0i – несущая частота; φ_0i – случайная начальная фаза; ${\check{\tau }}_i$ – псевдозадержка; ${\check{f}}_{Дi}$ – псевдодоплеровское смещение частоты; $G_{ДК}\left(t-{\check{\tau }}_i\right), G_{НС}\left(t-{\check{\tau }}_i\right)$ – координатная часть в виде преамбулы и информационное сообщение, содержащее данные о воздушном судне, параметрах его движения; $n\left(t\right)$ – белый гауссовский шум (БГШ).

Измеренную псевдодальность представим в виде:

${\check{D}}_i=c{\check{\tau }}_i=D_i+{\tilde{D}}_i=\sqrt{{(x_i-x)}^2+{(y_i-y)}^2+{(z_i-z)}^2}+{\tilde{D}}_i$ , (1)

где $D_i$ – расстояние от ВС до i-й приемной станции; $x,y,z$ – координаты ВС; ${\check{\tau }}_i$ – измеренное значение времени прихода сигнала от ВС до приемного пункта; с – скорость распространения радиоволн; ${\tilde{D}}_i$ – погрешность измерения дальности.

Все псевдодальномерные измерения можно объединить в вектор, состоящий из сигналов n видимых приемных станций:

$y\left(t_{\nu }\right)={\left[S_1\left(t_{\nu },{\check{\tau }}_1,{\check{f}}_{Д1}\right)+n_{j1}, S_2\left(t_{\nu },{\check{\tau }}_2,{\check{f}}_{Д2}\right)+n_{j2},\dots , S_n\left(t_{\nu },{\check{\tau }}_n,{\check{f}}_{Дn}\right)+n_{jn}\right]}^T$ , (2)

где $n_{jl},l=\overline{\mathrm{1,}n}$ – дискретные БГШ (ДБГШ) с нулевыми математическими ожиданиями и дисперсией ${\sigma }_n^2=N_0/\left(2T_d\right)$; $T_d=t_j-t_{j-1}$ – шаг дискретизации.

Синтез алгоритма

Применительно к задаче дискретной фильтрации, в предположении Марковского характера процесса ${\mathbf{x}}_{\mathrm{\nu }}$, алгоритм вычисления значений апостериорной плотности вероятности (АПВ) имеет вид:

$p\left(\left.x_{\mathrm{\nu }}\right|{\mathit{\xi }}_0^{\nu }\right)=cp\left(\left.y_{\mathrm{k}}\right|{\mathit{x}}_{\nu }\right)p\left({\mathit{x}}_{\mathrm{\nu }}|{\mathit{\xi }}_0^{\nu -1}\right)$ , (3)

$p\left({\mathit{x}}_{\mathrm{\nu }}|{\mathit{\xi }}_0^{\nu -1}\right)={\int }_{-\infty }^{\infty }p\left({\mathit{x}}_{\mathrm{\nu }-1}|{\mathit{\xi }}_0^{\nu -1}\right)cp\left({\mathit{x}}_{\mathrm{\nu }}|{\mathit{x}}_{\mathrm{\nu }-1}\right)d{\mathit{x}}_{\mathrm{\nu }-1}$ , (4)

$p\left({\mathit{x}}_0|{\mathit{\xi }}_0^0\right)=p_{ap}\left(x_0\right)$ . (5)

Уравнения (3) – (5) позволяют рекуррентно вычислять значение АПВ $p\left({\mathit{x}}_{\mathrm{\nu }}|{\mathit{\xi }}_0^{\nu }\right)$ на ν-м шаге по соответствующему значению той же плотности на предыдущем шаге. Начальные условия для такой рекуррентной процедуры описываются выражением (5).

При использовании метода максимума правдоподобия для обработки аддитивной смеси полезного сигнала и шума напряжение на выходе дискриминатора запишем в виде

$u_{Д\nu }\left({\stackrel{\mathrm{~}}{x}}_{\mathrm{\nu }}\right)={\left(\frac{\partial \ln p\left({\xi }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{M}}\mathrm{,}x\right)}{\partial \mathit{x}}\right)}^T\left|\begin{array}{c}\\ x={\tilde{\mathbf{x}}}_{\mathrm{\nu }}\text{'}\end{array}\right.$,

где ${\mathbf{\xi }}_1^{\mathrm{M}}=\{{\mathrm{y}}_{\mathrm{\nu }-1,1}, {\mathrm{y}}_{\mathrm{\nu }-1,2},..., {\mathrm{y}}_{\mathrm{\nu }-1,\mathrm{M}}\}$– принимаемые сигналы на интервале $\left[t_{\nu -\mathrm{1,1}}, t_{\nu -\mathrm{1,}M}\right]$, вектор состояния $\mathit{x}={\left|\tau f_{Д}\right|}^T; p\left({\xi }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{M}}\mathrm{,}x\right)$– функция правдоподобия.

Применительно к рассматриваемой задаче АПВ $p\left({\xi }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{M}}\mathrm{,}x\right)$ представим в виде:

$p\left({\xi }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{M}}\mathrm{,}x\right)\cong \text{exp}\left(\sum _{l=1}^M{S}^T\left(t_{\nu -\mathrm{1,}l},\check{\tau },{\check{f}}_D,{\vartheta }_{NS}\right){\mathit{D}}_{\text{n}}^{-1}\left(y\left(t_{\nu -\mathrm{1,}l}\right)-\frac{1}{2}S\left(t_{\nu -\mathrm{1,}l},\check{\tau },{\check{f}}_D,{\vartheta }_{NS}\right)\right)\right)$ , (6)

На основании выражений (3) – (6) вычисляются оценки времени задержки $\widehat{\tau }$ и доплеровского сдвига частоты ${\widehat{f}}_{Д}$, соответствующие максимуму АПВ:

$\left\{\widehat{\tau },{\widehat{f}}_{Д}\right\}=\underset{\tau ,f_{Д}}{max}p\left(\tau ,f_{Д}\left|Y_{t_0}^{t_0+T}\right.\right)$ .

Модель динамики параметров МПСН представим в виде:

${\tau }_{\nu }={\tau }_{\nu -1}+T{V}_{\tau ,\nu -1},$ (7)

$V_{\tau ,\nu }=V_{\tau ,\nu -1}+n_{\tau ,\nu -1},$ (8)

где T – время наблюдения; $n_{\tau ,\nu }$ – ДБГШ с известной дисперсией $D_{n_{\tau }}$; $V_{\tau }$ – скорость изменения времени задержки сигнала; ν – временной индекс.

Уравнение наблюдения представим в виде:

${\xi }_{\nu }={\tau }_{\nu }+n_{\xi ,\nu },$ (9)

где $n_{\xi ,\nu }$ – ДБГШ с дисперсией $D_{n_{\xi }}$.

На основе моделей (7) – (9) синтезирован алгоритм оценки параметров МПСН в скалярном виде:

${\widehat{\tau }}_v={\tilde{\tau }}_v+K_{\mathrm{1,}v}\left({\xi }_v-{\tilde{\tau }}_v\right),$ 

${\tilde{\tau }}_v={\widehat{\tau }}_{v-1}+T{\widehat{V}}_{\tau ,v-1}$ ,

${\widehat{V}}_{\tau ,v}={\widehat{V}}_{\tau ,v-1}+K_{\mathrm{2,}v}\left({\xi }_v-{\tilde{\tau }}_v\right), K_1$

$K_{\mathrm{1,}v}=\frac{R_{\mathrm{11,}v}}{D_{n\xi }},K_{\mathrm{2,}v}=\frac{R_{\mathrm{12,}v}}{D_{n\xi }}$ ,

где $K_{i,v}$ – коэффициенты усиления фильтра Калмана в выражениях для оценки соответствующих переменных; R_ij – элементы главной диагонали матрицы ошибок R [Assad et al., 2019].

Матрица R вычисляется на основе выражений:

${\mathit{R}}_{\mathrm{\nu }}^{-1}\mathbf{=}{\tilde{\mathbf{R}}}_{\mathrm{\nu }}^{-1}+{\mathbf{H}}^{\mathbf{\text{T}}}\mathbf{H}/{\mathrm{D}}_{{\mathrm{n}}_{\mathrm{\xi }}},$

${\tilde{\mathbf{R}}}_{\mathrm{\nu }}^{ }{={\mathbf{Ф}}_{\mathrm{\nu },\mathrm{\nu }-1}{\tilde{\mathbf{R}}}_{\mathrm{\nu }-1}\mathbf{Ф}}_{\mathrm{\nu },\mathrm{\nu }-1}^{\mathrm{T}}+{\text{GG}}^{\mathrm{T}}{\mathrm{D}}_{{\mathrm{n}}_{\mathrm{\tau }}},$

где ${\tilde{\mathbf{R}}}_{\mathrm{\nu }}^{ }$ – экстраполированная матрица.

При реализации перехода от скалярного вида к векторно-матричному получаем следующую форму записи уравнений (7) – (9):

 ${\mathit{x}}_{\mathrm{\nu }}={\mathbf{Ф}}_{\mathrm{\nu },\mathrm{\nu }-1}{\mathit{x}}_{\mathrm{\nu }-1}{+{\mathit{G}}_{\mathrm{\nu },\mathrm{\nu }-1}\mathit{n}}_{\mathrm{x},\mathrm{\nu }-1},$                                                                                          

${\mathit{\xi }}_{\mathrm{\nu }}={\mathbf{H}}_{\mathrm{\nu }}{\mathbf{x}}_{\mathrm{\nu }}+{\mathbf{n}}_{\mathrm{\xi },\mathrm{\nu }},$                                                                                                           

$\mathbf{Ф}=\left|\begin{array}{cc}1& T\\ 0& 1\end{array}\right|, \mathbf{G}=\left|\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right|, \mathbf{H}=\left|\begin{array}{cc}1& 0\end{array}\right|.$                                                                                       

Алгоритм оптимальной фильтрации вектора состояния представим в векторно-матричном виде:

${\widehat{\mathbf{x}}}_{\mathrm{v}}={{\widehat{\mathbf{x}}}_{\mathrm{\nu }/\mathrm{\nu }-1}}_{}+{\mathbf{K}}_{\mathrm{\nu }}\left({\mathbf{\xi }}_{\mathrm{\nu }}-{\mathbf{H}}_{\mathrm{\nu }}{\widehat{\mathbf{x}}}_{\mathrm{\nu }/\mathrm{\nu }-1}\right)$ , (10)

${\tilde{\mathbf{R}}}_{\mathrm{\nu }}{{={\mathbf{Ф}}_{\mathrm{\nu },\mathrm{\nu }-1}\mathbf{R}}_{\mathrm{\nu }-1}\mathbf{Ф}}_{\mathrm{\nu },\mathrm{\nu }-1}^{\mathrm{T}}{+{\mathbf{G}}_{\mathrm{\nu },\mathrm{\nu }-1}{\mathbf{Q}}_{\mathrm{\nu }-1}\mathbf{G}}_{\mathrm{\nu },\mathrm{\nu }-1}^{\mathrm{T}}$ ,

${\mathbf{K}}_{\mathrm{\nu }}{={\tilde{\mathbf{R}}}_{\mathrm{\nu }}\mathbf{H}}_{\mathrm{\nu }}^{\mathrm{T}}{\left[{\mathbf{H}{{}_{\mathrm{\nu }}\tilde{\mathbf{R}}}_{\mathrm{\nu }-1}\mathbf{H}}_{\mathrm{\nu }}^{\mathrm{T}}+{\mathbf{V}}_{\mathrm{\nu }}\right]}^{-1}$ ,

${\mathbf{R}}_{\mathrm{\nu }}=\left[{\mathbf{I}-{\mathbf{K}}_{\mathrm{\nu }}\mathbf{H}}_{\mathrm{\nu }}\right]{\tilde{\mathbf{R}}}_{\mathrm{\nu }}$, (11)

Алгоритм позволяет решить задачу фильтрации параметров МПСН, состоящую в нахождении наилучшей оценки времени прихода сигнала по результатам псевдодальномерных измерений при наличии ошибок, вызванных действием случайных возмущений.

Результаты моделирования и исследования

В работе выполнено исследование характеристик алгоритма оптимальной фильтрации параметров МПСН на основе специализированного программного обеспечения. В качестве исходных данных выбраны значения параметров, которые представлены в [Исследование…, 2023; Лежанкин и др., 2019].

Для оценки качества измерений разности времён прихода переданного приемоответчиком объекта сигнала на рис. 1 представлены ошибки оценки $\tau -\widehat{\tau }$ и СКО ${\sigma }_{\tau }$, на рис. 2 приведены графики ошибки оценки $V_{\tau }-{\widehat{V}}_{\tau }$ и среднеквадратического отклонения ${\sigma }_{V\tau }$. Представленные на рисунках 1, 2 результаты показывает достаточно высокую точность оценки параметров сигналов МПСН при совпадении фактических и расчетных параметров фильтра Калмана.

 

Рисунок 1 – Ошибка оценки времени задержки

 

Рисунок 2 – Ошибка оценки скорости изменения времени задержки

 

В то же время при работе фильтра Калмана может наблюдаться расходимость процессов фильтрации, как показано на графиках, приведенных на рисунках 3 и 4, при несоответствии между принятыми моделями и реальными процессами. Такое несоответствие, как показывают результаты исследований, представленные на рисунках 3 и 4, приводит к расходимости процессов фильтрации, т. е. к отличию между расчетным значением дисперсии ошибки оценивания и действительной ошибкой.

 

Расходимость возникает из-за того, что вероятностные характеристики шума наблюдений ${\mathbf{n}}_{\mathrm{\xi },\mathrm{\nu }}$ неизвестны и не учитываются в выражениях (4), (5) алгоритма фильтрации, при этом возникают расхождения между реальными процессами и моделями, принятыми в фильтре.

Расходимость процессов фильтрации приводит к увеличению дисперсии ошибки параметров МПСН, что демонстрируется на рисунках 5, 6.

 

Рисунок 5 – Дисперсия ошибки оценки времени задержки: 1 – при корректной работе; 2 – при расходимости.

 

Рисунок 6 – Дисперсия ошибки оценки скорости изменения времени задержки: 1 – при корректной работе; 2 – при расходимости.

 

Анализ представленных результатов показывает необходимость исследования эффекта расходимости процессов фильтрации и разработки новых подходов к оценке параметров МПСН для устранения данной проблемы, что и предопределяет актуальность выбранного направления исследований.

Анализ проблемы расходимости процессов фильтрации

При использовании алгоритмов Калмановского типа при обработке информации в МПСН возникают ситуации, когда действительные ошибки фильтрации превышают теоретически рассчитанные значения. Это явление называется расходимостью (неустойчивостью) фильтра Калмана. Причины расходимости заключаются в неточном задании моделей процессов сообщения и наблюдения, отсутствии достоверной информации о реальных физических процессах. Расходимость вызывают ошибки моделирования шумов в условиях статистической неопределенности их вероятностных характеристик [Болелов, 2021].

Основная причина расходимости процесса фильтрации – быстрое стремление к нулю коэффициента передачи (усиления) К фильтра Калмана, как показано на рисунках 7, 8. При этом процесс оценивания перестает быть зависимым от обновляющей информации, содержащейся в последовательности наблюдений, и рост ошибки не влияет на формирования оценки.

 

Рисунок 7 – Коэффициент усиления фильтра ${\mathit{K}}_{\mathbf{1}\mathbf{,}\mathbf{v}}$ 

 

Рисунок 8 – Коэффициент усиления фильтра ${\mathit{K}}_{\mathbf{2}\mathbf{,}\mathbf{v}}$

 

Следует отметить, что эффект расходимости – явление сложное и противоречивое, требующее проведения глубоких исследований применительно к решению конкретной задачи повышения эффективности функционирования МПСН.

В работе [Сейдж и др., 1976] рассматриваются методы устранения расходимости применительно к различным задачам. В основе рассмотренных методов лежит идея ограничения коэффициента усиления, чтобы избежать «нечувствительности» процесса фильтрации к вновь поступающей последовательности наблюдений.

Для уменьшения матричного коэффициента усиления предлагается использовать процедуру, состоящую в ограничении элементов матрицы снизу некоторой заранее выбранной величиной, либо можно добавить к элементам матрицы некоторую величину [Марковские модели…, 2019]. Например, в работе [Schmidt et al., 1968] для расчета матричного коэффициента усиления предлагается использовать следующее выражение:

${\mathbf{K}}_{\mathrm{\nu }}=\mathbf{[}{\tilde{\mathbf{R}}}_{\mathrm{\nu }}+\mathrm{\epsilon }\mathbf{I}\mathbf{]}{\mathbf{H}}_{\mathrm{\nu }}^{\mathrm{T}}{\left[H_{\mathrm{\nu }}^{}{\stackrel{\mathrm{~}}{R}}_{\mathrm{\nu }}{H}_{\mathrm{\nu }}^{\mathrm{T}}+V_{\mathrm{\nu }}\right]}^{-1}$ .

Предложенный подход можно использовать для ограничения элементов матрицы дисперсий ошибок ${\mathbf{R}}_{\nu }$. В работе [Andrews, 1968] был развит другой подход, позволяющий контролировать нестабильность, который состоит в вычислении квадратного корня из матрицы ${\mathbf{R}}_{\nu }$. При рассмотрении данного способа вносится предположение, что шум модели равен нулю. Уравнение для матрицы ковариаций ${\mathbf{R}}_{\nu }$ при ${\mathbf{G}}_{\mathrm{\nu }}=0$ записывается в виде:

${\mathbf{R}}_{\mathrm{\nu }}=\left[\mathbf{I}-{\mathbf{K}}_{\mathrm{\nu }}{\mathbf{H}}_{\mathrm{\nu }}\right]{\stackrel{\mathbf{~}}{\mathbf{R}}}_{\mathrm{\nu }}$ ,

где ${\tilde{\mathbf{R}}}_{\mathrm{\nu }}{=\mathbf{ }{\mathbf{Ф}}_{\mathrm{\nu },\mathrm{\nu }-1}{\mathbf{R}}_{\mathrm{\nu }-1}\mathbf{Ф}}_{\mathrm{\nu },\mathrm{\nu }-1}^{\mathrm{T}}$ – экстраполированная матрица ковариаций.

Показано, что корень из матрицы ${\mathbf{R}}_{\mathrm{\nu }}$ равен

${\tilde{\mathbf{R}}}_{\mathrm{\nu }}^{1/2}{{={\mathbf{Ф}}_{\mathrm{\nu },\mathrm{\nu }-1}\mathbf{R}}_{\mathrm{\nu }-1}^{1/2}\mathbf{Ф}}_{\mathrm{\nu },\mathrm{\nu }-1}^{\mathrm{T}}$ ;

${\mathbf{R}}_{\mathrm{\nu }}={\mathbf{R}}_{\mathrm{\nu }-1}^{\frac{1}{2}}\left[\mathbf{I}-{\left[{\tilde{\mathbf{R}}}_{\mathrm{\nu }}^{\frac{1}{2}}\right]}^{\mathrm{T}}{\mathbf{H}}_{\mathrm{\nu }}{\left({\left\{{\mathbf{V}}_{\mathrm{\nu }}+{{\mathbf{H}}_{\mathrm{\nu }}{\stackrel{\mathbf{~}}{\mathbf{R}}}_{\mathbf{\nu }}\mathbf{H}}_{\mathrm{\nu }}^{\mathrm{T}}\right\}}^{\frac{1}{2}}\right)}^{-1}{{\left({\left\{{\mathbf{V}}_{\mathrm{\nu }}+{\mathbf{H}}_{\mathrm{\nu }}{{\stackrel{\mathbf{~}}{\mathbf{R}}}_{\mathrm{\nu }}\mathbf{H}}_{\mathrm{\nu }}^{\mathrm{T}}\right\}}^{\frac{1}{2}}\right)}^{-1}{\mathbf{H}}_{\mathrm{\nu }}^{\mathrm{T}}\mathbf{R}}_{\mathrm{\nu }-1}^{\frac{1}{2}}\right]$ ,

где используется нижняя треугольная матрица корней из дисперсий. Для случая непрерывного времени аналогичные выражения были предложены в [Andrews, 1968].

Перспективным направлением устранения эффекта расходимости является применение адаптивных алгоритмов фильтрации. Применение адаптивных алгоритмов представляется более эффективным ввиду того, что из-за расходимости величина ошибки становится относительно большой, что даёт возможность использовать большее количество информации для адаптации [Воскобойников, 2015]. Разработка и исследование алгоритмов адаптивной фильтрации параметров МПСН рассматривается в качестве приоритетного направления дальнейших исследований.

Заключение

Разработан алгоритм оценки переменных вектора состояния МПСН при использовании АЗН-В: времени, скорости и ускорения изменения времени задержки прихода сигнала на основе Калмановской теории фильтрации. Проведены исследования точностных характеристик МПСН наблюдения с применением специализированного программного обеспечения. Анализ представленных результатов показывает высокую точность оценки параметров при совпадении фактических и расчетных параметров фильтра Калмана. В то же время при несоответствии между принятыми моделями фильтра Калмана и реальными процессами на выходе алгоритма наблюдается расходимость процессов фильтрации, которая проявляется в отличии между расчётной и действительной ошибкой оценивания. Показано, что расходимость процессов фильтрации приводит к увеличению дисперсии ошибки оценки параметров МПСН. Обоснована необходимость разработки новых подходов к оценке переменных вектора состояния для устранения расходимости. Рассмотрены методы устранения неустойчивости функционирования разработанного алгоритма, при этом разработка и исследование алгоритмов адаптивной фильтрации параметров МПСН выбраны в качестве приоритетного направления дальнейших исследований.

About the authors

Vyacheslav V. Erokhin

Moscow State Technical University of Civil Aviation (Irkutsk Branch)

Author for correspondence.
Email: ww_erohin@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-5549-3952

Doctor of Technical Science

Russian Federation, 664047, Irkutsk, Kommunarov, 3

Boris V. Lezhankin

Moscow State Technical University of Civil Aviation (Irkutsk Branch)

Email: lezhbor@mail.ru
ORCID iD: 0000-0001-5504-0884

Candidate of technical sciences, Associate Professor

Russian Federation, 664047, Irkutsk, Kommunarov, 3

Dmitry Y. Urbansky

East Siberian branch of FSUE «VNIIFTRI»

Email: urbdim.ru@gmail.com
ORCID iD: 0009-0000-2574-512X
Russian Federation, 664056, Irkutsk, Borodina, 57

References

Supplementary files