Том 24, № 4 (2024)

Предлагается полуаналитическая аппроксимация нормальной производной теплового потенциала простого слоя  вблизи границы двумерной области с гладкостью $C^{5}$. Вычисление интегралов, возникающих после кусочно-квадратичной интерполяции функции плотности по переменной длины дуги $s$, осуществляется c помощью аналитического интегрирования по переменной $\rho =\sqrt{r^{2} -d^{2} } $, где $r$ и $d$ — расстояния от точки наблюдения до точки интегрирования и до границы области соответственно. Для этого подынтегральная функция представляется в виде суммы двух произведений, каждое из которых состоит из двух множителей, а именно: гладкой в приграничной области функции, содержащей якобиан перехода от переменной интегрирования $s$ к переменной $\rho $, и весовой функции, содержащей особенность при $r=0$ и равномерно абсолютно интегрируемой в приграничной области. Гладкие функции аппроксимируются с помощью кусочно-квадратичной интерполяции по переменной $\rho$, и тогда аналитическое интегрирование становится возможно. Аналитическое интегрирование по $\rho $ осуществляется на фиксированном по ширине участке границы, содержащем проекцию точки наблюдения, а на остальной части границы интегралы по $s$ вычисляются с помощью формул Гаусса. Интегрирование по параметру $C_{0}$-полугруппы, образованной операторами сдвига по времени, также осуществляется аналитически. Для этого $C_{0}$-полугруппа аппроксимируется с помощью кусочно-квадратичной интерполяции по ее параметру. Доказано, что предлагаемые аппроксимации обладают устойчивой кубической сходимостью в банаховом пространстве непрерывных функций с равномерной нормой, причем такая сходимость равномерна в замкнутой приграничной области. Приведены результаты вычислительных экспериментов по нахождению нормальной производной  решений второй начально-краевой задачи теплопроводности в единичном круге с нулевым начальным условием, подтверждающие равномерную кубическую сходимость предлагаемых аппроксимаций нормальной производной  теплового потенциала простого слоя.

Работа посвящена исследованию одного класса бесконечных систем нелинейных двумерных  уравнений с выпуклой и монотонной нелинейностью. Данный класс нелинейных систем уравнений имеет как теоретическую, так и практическую значимость, в частности, при изучении дискретных аналогов задач  динамической теории $p$-адических открыто-замкнутых струн, кинетической теории газов, математической биологии при исследовании пространственно-временного распределения эпидемии. Доказаны теоремы существования и единственности положительного решения в определённом классе неотрицательных и ограниченных матриц. Выявлены некоторые качественные свойства решения. Доказанные результаты дополняют и обобщают некоторые ранее полученные авторами утверждения. Приведены наглядные примеры соответствующих матриц и нелинейностей (в том числе и прикладного характера), удовлетворяющих всем условиям сформулированных теорем.

Рассматриваются только конечные группы. $\frak F$-проекторы и $\frak F$-покрывающие подгруппы, где $\frak F$ — некоторый класс групп, введены в рассмотрение В. Гашюцем в качестве естественного обобщения силовских и холловых подгрупп в конечных группах. Развивая идею В. Гашюца, В. А. Ведерниковым и М. М. Сорокиной были определены $\frak F^{\omega}$-проекторы и $\frak F^{\omega}$-покрывающие подгруппы, где $\omega$ — непустое множество простых чисел, и установлены их ключевые характеристики. Цель настоящей работы — изучение свойств $\frak F^{\omega}$-проекторов и $\frak F^{\omega}$-покрывающих подгрупп, устанавливающих их взаимосвязь с другими подгруппами в группах. Решены следующие задачи: для непустого $\omega$-примитивно замкнутого гомоморфа $\frak F$ и заданного множества $\pi$ простых чисел установлены условия совпадения $\frak F^{\omega}$-проектора группы с ее $\pi$-холловой подгруппой; для заданной формации $\frak F$ установлена взаимосвязь между $\frak F^{\omega}$-покрывающими подгруппами группы $G=A\rtimes B$ и $\frak F^{\omega}$-покрывающими подгруппами группы $B$. В работе используются классические методы доказательств теории конечных групп, а также методы теории классов групп.

В статье рассматривается кинематика и динамика «парадоксального» механизма П. Л. Чебышёва. В конфигурационном пространстве этого механизма есть шесть особых точек, которые последовательно проходятся при полном обороте ведущего звена. В этих точках голономные связи, наложенные на систему, становятся линейно зависимыми, поэтому применить стандартный вывод уравнений движения в этих точках не представляется возможным. Свойства парадоксального механизма основаны на свойствах лямбда-механизма. Траектория вершины лямбда-механизма в «парадоксальном» механизме расположена между двумя окружностями и касается каждой окружности в трех точках. В соответствующих положениях «парадоксального» механизма возникают особенности конфигурационного пространства. В статье показано, что в окрестности особой точки конфигурационное пространство является объединением двух гладких кривых, которые пересекаются под ненулевым углом. Для численного и аналитического моделирования параметров «парадоксального» механизма приводятся основные формулы из трудов П. Л. Чебышёва. Для описания динамики «парадоксальный» механизм представляется как объединение лямбда-механизма и сингулярного маятника, движения которых ограничены двумя голономными связями. Выписаны уравнения движения и найдены возникающие силы реакции. Показано, что при малом увеличении длины звена двойного маятника конфигурационное пространство распадается на две непересекающиеся кривые. Чем меньше становится возмущение звена, тем больше по величине множители Лагранжа около особых конфигураций.

В работе исследуется механическая система, состоящая из трубопровода с камерой сгорания авиационного двигателя на одном конце и с датчиком, предназначенным для измерения давления в камере сгорания, на другом конце. Чувствительным элементом датчика, передающим информацию о давлении, является упругая пластина. Предложена математическая модель системы измерения давления с учетом передачи теплового потока по трубопроводу с рабочей средой (газом или жидкостью) от двигателя к упругому элементу. Для описания колебаний чувствительного элемента датчика рассмотрена линейная модель твердого деформируемого тела, учитывающая распределение температуры по толщине упругого элемента. С помощью метода малого параметра получена связанная система асимптотических дифференциальных уравнений в частных производных, описывающая совместную динамику газожидкостной среды в трубопроводе и упругого чувствительного элемента датчика давления. Исследовались случаи шарнирного и жесткого закрепления концов чувствительного элемента. На основе метода Бубнова – Галёркина задача сведена к исследованию связанной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. С помощью системы компьютерной алгебры Mathematica 12.0 произведены численные эксперименты для конкретных параметров механической системы.

Методами асимптотического интегрирования проведено моделирование распространения пучка сдвиговых волн вдоль образующей нелинейно-упругой цилиндрической оболочки модели Сандерса – Койтера. Считается, что оболочка изготовлена из материала, характеризующегося кубической зависимостью между интенсивностями напряжений и деформаций, а безразмерные параметры тонкостенности и физической нелинейности являются величинами одного порядка малости. Используется разновидность метода многомасштабных разложений, позволяющая из уравнений линейного приближения определить скорость распространения волны, а в первом существенно нелинейном приближении — получить разрешающее нелинейное квазигиперболическое уравнение для главного члена разложения сдвиговой компоненты смещения. Выведенное уравнение представляет собой кубически нелинейную модификацию уравнения Линя – Рейснера – Цзяна, моделирующего нестационарное околозвуковое течение газа, и может быть преобразовано в модифицированное уравнение Заболотской – Хохлова, используемое для описания узких пучков в акустике. Решение выведенного уравнения отыскивается в виде одной гармоники с медленно меняющейся комплексной амплитудой, поскольку в деформируемых средах с кубической нелинейностью эффект самовоздействия волны существенно преобладает над эффектом генерации высших гармоник. В результате для комплексной амплитуды получено возмущенное нелинейное уравнение Шредингера дефокусирующего типа, для которого отсутствует возможность развития модуляционной неустойчивости. В терминах эллиптической функции Якоби построено точное физически состоятельное решение, периодическое по безразмерной окружной координате.

В работе представлена инженерная оценка уровня разброса значений таких физико-механических свойств кварцевого стекла, как плотность и модуль упругости. Наличие разброса значений рассматриваемых параметров по объему материала приводит к появлению негативного эффекта — расщеплению рабочей собственной частоты резонатора гироскопа. Оценка проводится на основе рассмотрения микроструктуры кварцевого стекла и переменности ее параметров. Как результат, представлены значения расщепления частоты резонатора от расчетных уровней разброса свойств конструкционного материала.

Оценка уровня мошенничества в автостраховании представляет собой актуальную и сложную задачу, что обусловлено деятельностью мошеннических групп. Для уверенности менеджмента страховых компаний в стратегии противодействия мошенничеству необходим инструмент, позволяющий оценить текущее состояние портфеля претензий. Современные методы машинного обучения позволяют проводить такую оценку, используя данные о страхователях и страховых случаях. При применении данных подходов возникает ряд проблем, не позволяющих достичь необходимого качества выявления мошенничества. К ним можно отнести дисбаланс классов и так называемый дрейф концепции (concept drift), возникающий вследствие изменения сценариев схем мошенников и субъективности экспертной оценки конкретного страхового случая. В настоящем исследовании предлагается подход, позволяющий улучшить метрики моделей для выявления мошенничества в портфеле претензий. Численный эксперимент на двух открытых наборах данных показал прирост полноты выявления страхового мошенничества на 49 п.п. и 19 п.п. в сравнении с классическим моделированием.