Rate of interpolation of analytic functions with regularly decreasing coefficients by simple partial fractions
- Authors: Komarov M.A.1
-
Affiliations:
- Vladimir State University
- Issue: Vol 23, No 2 (2023)
- Pages: 157-168
- Section: Articles
- URL: https://journals.rcsi.science/1816-9791/article/view/250840
- DOI: https://doi.org/10.18500/1816-9791-2023-23-2-157-168
- EDN: https://elibrary.ru/QSUBAS
- ID: 250840
Cite item
Full Text
Abstract
We consider the problems of multiple interpolation of analytic functions $f(z)=f_0+f_1z+\dots$ in the unit disk with node $z=0$ by means of simple partial fractions (logarithmic derivatives of algebraic polynomials) with free poles and with all poles on the circle $|z|=1$. We obtain estimates of the interpolation errors under a condition of the form $|f_{m-1}|< C/\sqrt{m}$, $m=1,2,\dots$. More precisely, we assume that the moduli of the Maclaurin coefficients $f_m$ of a function $f$ do not exceed the corresponding coefficients $\alpha_m$ in the expansion of $a/\sqrt{1-x}$ ($-1< x< 1$, $0< a\le a^*\approx 0.34$) in powers of $x$. To prove the estimates, the constructions of Pad\'{e} simple partial fractions with free poles developed by V. I. and D. Ya. Danchenko (2001), O. N. Kosukhin (2005), V. I. Danchenko and P. V. Chunaev (2011) and the construction of interpolating simple partial fractions with poles on the circle developed by the author (2020) are used. Our theorems complement and improve a number of results of the listed works. Using properties of the sequence $\{\alpha_m\}$ it is possible to prove, in particular, that under the condition $|f_m|\le \alpha_m$ all the poles of the Pad\'{e} simple partial fraction of a function $f$ lie in the exterior of the unit circle.
About the authors
Mikhail Anatol'evich Komarov
Vladimir State University
Author for correspondence.
Email: email@example.com
Russia, 600000, Vladimir, Gor'kogo st., 87
References
- Данченко В. И., Данченко Д. Я. О приближении наипростейшими дробями // Математические заметки. 2001. Т. 70, вып. 4. С. 553–559. https://doi.org/10.4213/mzm767
- Данченко В. И., Комаров М. А., Чунаев П. В. Экстремальные и аппроксимативные свойства наипростейших дробей // Известия вузов. Математика. 2018. № 12. С. 9–49.
- Косухин О. Н. О некоторых нетрадиционных методах приближения, связанных с комплексными полиномами : дис. . . . канд. физ.-мат. наук. Москва, 2005. 80 с.
- Кондакова Е. Н. Интерполяция наипростейшими дробями // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия : Математика. Механика. Информатика. 2009. Т. 9, вып. 2. С. 30–37. https://doi.org/10.18500/1816-9791-2009-9-2-30-37
- Комаров М. А. Критерий наилучшего равномерного приближения наипростейшими дробями в терминах альтернанса // Известия Российской академии наук. Серия математическая. 2015. Т. 79, вып. 3. С. 3–22. https://doi.org/10.4213/im8266
- Danchenko V. I., Chunaev P. V. Approximation by simple partial fractions and their generalizations // Journal of Mathematical Sciences. 2011. Vol. 176, iss. 6. P. 844–859. https://dx.doi.org/10.1007/s10958-011-0440-5
- Чунаев П. В. Об одном нетрадиционном методе аппроксимации // Труды Математического института имени В. А. Стеклова. 2010. Т. 270. С. 281–287. EDN: MVSMGZ
- Chunaev P. V. Interpolation by generalized exponential sums with equal weights // Journal of Approximation Theory. 2020. Vol. 254. Art. 105397. https://doi.org/10.1016/j.jat.2020.105397
- Бородин П. А. Приближение наипростейшими дробями с ограничением на полюсы. II // Математический сборник. 2016. Т. 207, вып. 3. С. 19–30. https://doi.org/10.4213/sm8500
- Комаров М. А. О скорости аппроксимации в единичном круге функций класса H1логарифмическими производными полиномов с корнями на границе круга // Известия Российской академии наук. Серия математическая. 2020. Т. 84, вып. 3. С. 3–14. https://doi.org/10.4213/im8901
- Duren P. L. Theory of Hp spaces. New York ; London : Academic Press, 1970. 258 p.
- Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды : в 3 т. Т. 1 : Элементарные функции. Москва : Наука, 1981. 800 с.
- Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции : в 3 т. Т. 3 : Эллиптические и автоморфные функции. Функции Ламе и Матье. Москва : Наука, 1967. 300 с.