Том 23, № 2 (2023)

В статье рассматриваются анизотропное пространство Лоренца – Караматы периодических функций многих переменных и класс  Никольского – Бесова в этом пространстве. Установлены точные по порядку оценки наилучших $M$-членных тригонометрических приближений функций из класса  Никольского – Бесова по норме другого пространства Лоренца – Зигмунда.

Рассматривается задача о приближении в метрике Хаусдорфа ограниченной (не обязательно однозначной) $2\pi$-периодической функции $f$ тригонометрическими полиномами. Построение приближающего полинома проводится в несколько этапов. Сначала по функции $f$ строится подходящая кусочно-постоянная $2\pi$-периодическая функция $g$, обладающая свойством $\lambda$-монотонности, для которой получены оценки хаусдорфова уклонения от $f$, модуля непрерывности и вариации. Затем по функции $g$ строится $2\pi$-периодическая сплайн-функция $\varphi$ порядка $r$. Получена оценка производной $\varphi^{(r)}$ через модуль непрерывности функции $f$. На последнем этапе используется классическое неравенство Джексона для наилучшего приближения гладкой функции тригонометрическими полиномами. В итоге доказана точная по порядку оценка указанного отклонения функции $f$ в метрике Хаусдорфа с явно выписанной константой. По порядку оценка совпадает с известными результатами Б. Сендова и В. А. Попова, но лучше с точки зрения выбора константы.

Представлены результаты вычислений поля напряжений цилиндрической оболочки, ослабленной круговым отверстием и находящейся под воздействием различных нагрузок:  одноосного растяжения, внутреннего давления и кручения. Шесть упрощенных уравнений теории цилиндрических оболочек с большим показателем изменяемости (совпадающие с уравнениями теории пологих оболочек) сводятся к уравнению математической физики относительно потенциала напряжений, которое решается методом Фурье. Основным препятствием к получению ответа является необходимость поиска коэффициентов в разложении решения в сумму базисных функций, при которых это решение удовлетворяет граничным условиям. Также это уравнение зависит от параметра $\beta$, ответственного за отношение между геометрическими характеристиками оболочки и отверстия. С механической точки зрения для малых и средних отверстий этот параметр имеет ограничения $\beta \leq 4$, тaк как при б\'ольших значениях отверстие считается больш\'им, и для описания напряженно-деформированного состояния применяются общие уравнения теории цилиндрических оболочек.  При этом детальное изучение классических работ привело к пониманию того, что ни один из до сих пор предложенных методов поиска коэффициентов нельзя считать окончательно удачным, а результаты, полученные этими методами, разнятся. Среди разнообразия работ советских и западных ученых 60--70-х гг. ХХ в. выделяются численные результаты инженера Ван Дайка, которые он получил методом коллокаций. В отличие от своих современников, раскладывающих решение в ряд по малому параметру $\beta$ и оттого получающих только результаты,  близкие к плоскому случаю, Ван Дайк впервые опубликовал численные результаты для всего рабочего диапазона параметра $\beta$ в рамках рассмотрения малых и средних отверстий. В данной статье предложен новый подход, основанный на разложении базисных функций в ряд Фурье. Впервые удалось составить бесконечную систему линейно независимых уравнений для нахождения неизвестных коэффициентов.  Существенно, что предложенный метод, в отличие от известного метода малого параметра, не имеет математических ограничений и может применяться не только для значений параметра $\beta$, близких к нулю, а для любых значений. Ограничения вплоть до $\beta=4$ наложены механической моделью. Составлены системы для нахождения неизвестных коэффициентов при базисных функциях для трех типов нагрузок, проведено сравнение результатов, полученных авторами, с результатами, полученными численным методом. При этом если в большинстве источников приводятся только результаты вычисления окружных напряжений на границе отверстия, то в предлагаемой работе найдено поле напряжений для всей цилиндрической оболочки, возникающее ввиду наличия отверстия, в зависимости от полярных координат $(r,\theta)$.

Приведена методика решения задачи о релаксации остаточных напряжений после двухстороннего поверхностного упрочнения полого цилиндра в условиях ползучести при жестко зафиксированных первоначально заданных осевой деформации и угла закручивания. Решение построено для сложных режимов нагружения, включающих чистую термоэкспозицию, осевую нагрузку, крутящий момент, внутреннее давление и их комбинации. Численный анализ выполнен на примере тонкостенного цилиндра из стали Х18Н10Т при температуре $T\!=\!600\,^\circ$C, внутренняя и внешняя поверхности которого упрочнены в режиме ультразвукового упрочнения. Реконструкция начальных полей остаточных напряжений и пластических деформаций выполнена на основании известной экспериментальной информации о распределении осевой и окружной компонент тензора напряжений в тонких поверхностно упрочненных областях на внешней и внутренней поверхностях. Построена феноменологическая модель ползучести стали Х18Н10Т при $T\!=\!600\,^\circ$C. Задача реологического деформирования в пределах первых двух стадий ползучести решалась численно с использованием дискретизации по времени и по радиусу. Расчетным путем установлено, что при наличии жестких ограничений на угловые и осевые линейные перемещения наблюдается уменьшение скорости релаксации остаточных напряжений по сравнению со случаем, когда эти ограничения отсутствуют. Приведены графики, отражающие кинетику остаточных напряжений в зависимости от последовательности приложения температурно-силовых нагрузок в различные временные сечения. 

При разработке электронных стрелковых тренажеров для ручного автоматического оружия, не использующих боеприпасы, необходимо добиться максимально реалистичного моделирования траектории полета пули для каждого выстрела с учетом множества факторов. Традиционно при моделировании траектории используется система дифференциальных уравнений внешней баллистики. Использование в такой математической модели постоянного значения баллистического коэффициента не позволяет добиться высокой точности моделирования траектории по таким важным для решения «задачи встречи» параметрам, как полное время полета и превышение траектории для всех прицельных дальностей стрелкового оружия. Начальными значениями в математической модели на основе системы дифференциальных уравнений внешней баллистики являются угол бросания (зависит от установок прицела), начальная скорость и баллистический коэффициент пули, а рассчитываются такие параметры, как текущее превышение, дальность, время, скорость и направление. Приводятся оценки погрешностей расчета координат баллистической траектории при различных подходах к использованию значения баллистического коэффициента. Сделан вывод о том, что на текущий момент при моделировании траектории полета пули вполне оправданным является упрощение, основанное на использовании постоянного значения баллистического коэффициента, но при соответствующих требованиях тактико-технического задания актуальным будет вопрос исследования способов повышения точности моделирования траектории. Одним из таких способов является вариант использования значения баллистического коэффициента, зависимого от угла бросания, предложенный в настоящей статье.