Том 25, № 1 (2025)
Математика
Об одном следствии чебышевского альтернанса
Аннотация
Рассматривается классическая задача наилучшего приближения непрерывной функции полиномом по чебышевской системе функций. Известно, что решение задачи характеризуется альтернансом. Кроме того, имеет место линейная функция роста отклонения целевой функции коэффициентов полинома от ее минимального значения относительно отклонения вектора коэффициентов от оптимального. C помощью средств выпуклого анализа получена формула точного коэффициента этого линейного роста. В отличие от полученных ранее, она выражена в конструктивной для реализации форме через значения функций чебышевской системы в точках, реализующих альтернанс.
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2025;25(1):4-14
4-14
Хопфовы аддитивные группы колец
Аннотация
Группа называется хопфовой, если она не изоморфна никакой своей собственной факторгруппе, или любой ее эпиморфизм на себя является изоморфизмом, т. е. автоморфизмом. Это свойство было впервые доказано швейцарским математиком Х. Хопфом для фундаментальных групп римановых поверхностей. Результаты настоящей работы концентрируются вокруг проблемы исследования общих свойств хопфовых абелевых групп и описания хопфовых групп в некоторых классах абелевых групп. Среди вопросов, связанных с хопфовыми абелевыми группами, важное место занимает вопрос об изучении свойства хопфовости в таком специфическом классе абелевых групп, как аддитивные группы колец. Аддитивные группы колец — одна из линий, связывающих теорию абелевых групп с теорией колец. По методам исследования и характеру результатов это новое направление, возникшее в середине прошлого века, традиционно относят к теории абелевых групп. При рассмотрении аддитивных групп конкретных классов колец возникают интересные примеры хопфовых абелевых групп. В работе изучается свойство хопфовости в аддитивных группах $E$-колец (называющихся также $E$-группами) и артиновых колец. Доказывается, что аддитивная группа $E$-кольца является хопфовой, а также дается полное описание строения хопфовых аддитивных групп артиновых колец.
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2025;25(1):15-23
15-23
Теорема единственности для периодических в среднем функций на гипергруппе Бесселя – Кингмана
Аннотация
Одно из свойств периодической функции на вещественной оси состоит в том, что она полностью определяется своими значениями на периоде. Этот факт допускает следующее нетривиальное обобщение на многомерный случай: если функция $f\in C^\infty (\mathbb R^n)$ $(n\ge 2)$ с нулевыми интегралами по всем сферам (или шарам) фиксированного радиуса $r$ равна нулю в некотором шаре радиуса $r$, то $f$ является нулевой на $\mathbb R^n$. Условие бесконечной гладкости функции $f$ в этом утверждении ослабить нельзя. В данной работе изучается подобное явление для решений уравнений свертки, связанных с оператором обобщенного сдвига Бесселя. Сначала рассматривается случай, когда свертывателем уравнения является индикатор отрезка, симметричного относительно нуля. Показано, что решения такого уравнения определяется своими значениями на указанном отрезке. Далее приводится обобщение этого свойства для общего уравнения свертки Бесселя. Полученные результаты являются аналогами известных теорем единственности для периодических в среднем функций, принадлежащих Ф. Йону, Ю. И. Любичу и А. Ф. Леонтьеву.
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2025;25(1):24-33
24-33
О структуре изоморфизмов универсальных графовых автоматов
Аннотация
Теория автоматов — один из разделов математической кибернетики, изучающий преобразователи информации, возникающие во многих прикладных задачах. Основная цель теории автоматов — разработка методов, с помощью которых можно описывать и анализировать динамическое поведение дискретных систем. В зависимости от исследуемых задач рассматриваются автоматы, у которых множество состояний и множество выходных сигналов наделены дополнительной математической структурой, согласованной с функциями переходов и выходов автомата. Мы исследуем автоматы над графами и называем их графовыми автоматами. Универсальный графовый автомат $\mathrm{Atm}(G,H)$ является универсально притягивающим объектом в категории таких автоматов. Полугруппа входных сигналов такого автомата имеет вид $S(G,H) = \mathrm{End}\ G \times \mathrm{Hom}(G,H)$. Её можно рассматривать как производную алгебраическую систему математического объекта $\mathrm{Atm}(G,H)$, содержащую полезную информацию об исходном автомате. Известно, что свойства полугруппы взаимосвязаны со свойствами алгебраической структуры автомата. Следовательно, можно изучать универсальные графовые автоматы, исследуя их полугруппы входных сигналов. Ранее авторы доказали, что широкий класс таких автоматов определяется (с точностью до изоморфизма) своими полугруппами входных сигналов. В данной работе исследуется связь изоморфизмов универсальных графовых автоматов с изоморфизмами их компонент — полугрупп входных сигналов и графов состояний и выходных сигналов.
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2025;25(1):34-45
34-45
Об одном методе решения задачи Пуанкаре для обобщенных гармонических функций в круговых областях
Аннотация
В статье рассматривается краевая задача типа задачи Пуанкаре для одного эллиптического дифференциального уравнения второго порядка, порождающего класс обобщенных гармонических функций. Устанавливается, что в случае круговых областей решение рассматриваемой краевой задачи, по сути, сводится к решению дифференциальной краевой задачи типа Римана в классах аналитических функций комплексного переменного. Кроме того, получены необходимые и достаточные условия разрешимости исследуемой задачи, а также установлена ее нетеровость.
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2025;25(1):46-52
46-52
Ранги планарности многообразий полугрупп нётеровых по уравнениям
Аннотация
Изучается проблема описания многообразий полугрупп конечного ранга планарности. В дополнение к ранее полученным результатам автор указывает новые бесконечные счётные серии многообразий полугрупп конечного ранга планарности.
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2025;25(1):53-56
53-56
Механика
Динамика парадоксального механизма П. Л. Чебышёва
Аннотация
Рассматривается парадоксальный механизм П. Л. Чебышёва. Этот механизм может быть представлен как объединение лямбда-механизма и двойного маятника, свободные вершины которых соединены шарнирно. Одно из звеньев двойного маятника обычно заменяется массивным диском. Среди известных механизмов П. Л. Чебышёва только в парадоксальном механизме возникают особые точки конфигурационного пространства, или точки ветвления. В соответствующих конфигурациях механизма стержни двойного маятника становятся параллельными или антипараллельными. Механизм может продолжить движение из особых точек двумя различными способами, которые отличаются направлением вращения диска. В одном случае при полном обороте ведущего звена диск делает два полных оборота, а в другом случае — четыре полных оборота. Траектория свободной вершины лямбда-механизма в парадоксальном механизме находится между двумя концентрическими окружностями и поочередно касается каждой окружности в трех точках. В статье рассматривается обобщение для случая, когда количество последовательных точек касания с двумя окружностями является произвольным четным числом. Доказывается, что в этом случае возможно получить любое заданное количество оборотов диска за один оборот ведущего звена механизма. Для парадоксального механизма записаны основные уравнения динамики, получено выражение для момента сил инерции диска. Сравнивается работа внешнего момента, который приложен к ведущему звену механизма, и работа сил инерции диска.
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2025;25(1):57-69
57-69
Численное моделирование гидродинамики обтекания тела в режиме суперкавитации
Аннотация
Работа посвящена исследованию высокоскоростного обтекания удлиненного тела в водной среде на различных глубинах в режиме суперкавитации. Целью исследования является изучение состояния окружающей среды в окрестности тела, погруженного в воду, и возможного влияния возмущений среды на движение в воде группы метаемых тел. При моделировании обтекания применялась математическая модель сжимаемой среды на основе уравнений Навье – Стокса. Учитывались двухфазность, турбулентность и процесс фазового перехода с использованием моделей Смеси, $k-\epsilon$ и полной модели кавитации Сингхала. В работе рассматривались удлиненные конические ударники с различными диаметрами кавитатора и обтекаемые потоком жидкости с различной скоростью. Численные результаты приводились в сравнении с экспериментальными результатами, полученными при метании ударников на гидробаллистической трассе на базе Научно-исследовательского института прикладной математики и механики Томского государственного университета. В результате численного моделирования было показано, что предложенная математическая модель позволяет точно предсказывать геометрическую форму и размеры каверны. Численные результаты также хорошо согласуются с полуэмпирической аппроксимационной формулой для формы каверны. Расчеты показывают, что в окрестности тела формируется ударно-волновая картина течения и возмущения потока распространяются на достаточное удаление от тела. На прямом уступе с переднего торца тела — кавитатора — происходит срыв потока, а за скачком уплотнения происходит резкое понижение давления до значений давления насыщенного пара. Геометрические размеры каверны зависят от скорости и окружающего давления: чем больше скорость потока, тем больше размеры каверны. Из расчетов следует, что при повышении давления среды, в случае имитации глубоководного метания при одних и тех же условиях для скорости, происходит уменьшение объема каверны и сокращение области распространения возмущений среды, что может положительно сказываться на кучности метания группы тел в воде.
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2025;25(1):70-79
70-79
Асимптотическая теория нестационарных упругих волн в оболочках вращения при ударных торцевых воздействиях изгибающего типа
Аннотация
Работа посвящена завершению построения асимптотической схемы расчленения нестационарного напряжённо-деформированного состояния тонкостенных оболочек вращения при ударных торцевых нагрузках изгибающего типа на составляющие с различными показателями изменяемости по пространственным координатам и динамичности по времени. Используются разработанные ранее асимптотически приближённые уравнения таких составляющих, как изгибная составляющая по теории Кирхгофа – Лява, высокочастотная антисимметричная коротковолновая составляющая и антисимметричный гиперболический погранслой в окрестности фронта волны расширения. Доказана полнота описания нестационарных волн с помощью указанных компонент. Для этого выделены в фазовой плоскости области согласования соседних составляющих. Найдены асимптотические оценки границ этих областей согласования и доказано совпадение там асимптотик разрешающих уравнений.
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2025;25(1):80-90
80-90
Расчет параметров упругих и гиперупругих моделей кожи лица
Аннотация
Результаты одноосных механических испытаний кожи лица (лба) in vitro были сопоставлены с линейной, билинейной и нелинейной экспоненциальной, а также пятью гиперупругими моделями. Результаты показали, что деформационные свойства тканей наилучшим образом описываются экспоненциальной функцией. В рамках феноменологической модели определены параметры упругого дифференциального модуля (минимальные, средние и максимальные значения). Рассмотрены линейная и билинейная упругие модели и определены численные значения параметров моделей. Для изучения гиперупругих свойств кожи были использованы неогуковская, Муни – Ривлина, Огдена, Веронда – Вестманн и полиномиальная модели. С целью поиска наиболее совершенных алгоритмов расчеты производились в системе компьютерной алгебры Mathcad 15.0 и многоцелевом программном пакете Ansys 2022 R2. Определены параметры моделей и теснота корреляционной связи между экспоненциальной кривой и расчетными данными, коэффициент корреляции использовался как критерий соответствия моделей. Наибольшую корреляцию с данными феноменологической модели продемонстрировала полиномиальная модель и модель Огдена, наименьшую — неогуковская. Значения модулей Юнга и других упругих и гиперупругих характеристик тканей сравнивались для изучения факторов, влияющих на механическое поведение кожи лица человека, и могут быть использованы при расчетах в конечно-элементном анализе и разработке замещающих материалов для пластических операций.
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2025;25(1):91-105
91-105
Информатика
Мультиагентное моделирование эвакуации из помещений с учетом столкновений агентов
Аннотация
Предложена программная реализация развитой мультиагентной модели эвакуации людей различных возрастных групп из помещений сложной формы. Реализованная модель отличается возможностью учета физических столкновений агентов, их возрастных габаритов в соответствии с методиками из приказа МЧС России от 2022 г. В поведении агентов заложено целенаправленное стремление к выходу, при этом при возникновении заторов они могут ожидать, пока место для движения освободится. Это позволяет более точно учесть особенности организованной эвакуации. Для моделирования столкновений агентов друг с другом и с препятствиями используется модель частично упругого удара. Была проведена серия экспериментов для различных возрастных групп: дети, подростки, взрослые и смешанные группы. Для каждой возрастной группы было рассчитано и усреднено время полной эвакуации из помещения. Программа предоставляет возможность визуализировать процесс эвакуации людей, задавая их начальную расстановку случайно или вручную. Полученные результаты были сопоставлены с данными аналогичного эксперимента по методикам из приказа МЧС России от 2009 г. Сравнение показало, что в данном эксперименте дети и подростки эвакуируются примерно с такой же скоростью. Однако группа взрослых людей достигает выхода быстрее. Результаты сравнения позволили предположить, что особенности используемого мультиагентного подхода с учетом способности агентов ожидать выхода позволяет увеличивать степень организованности моделируемого поведения группы, что дает возможность существенно сократить время эвакуации (более чем в два раза для 100 человек). Полученные и перспективные результаты проекта предназначены для использования в разработке цифровых двойников процессов эвакуации из помещений коммерческого и общественного назначения.
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2025;25(1):106-115
106-115
Разработка и анализ алгоритма обнаружения множественных экземпляров объекта на микроскопических изображениях с использованием численных методов
Аннотация
В данной работе представлен метод обнаружения объектов на изображениях микроскопии, сфокусированный на поиске частиц. Основная цель исследования заключается в разработке алгоритма, способного эффективно находить множественные экземпляры объектов в различных сценариях, сохраняя при этом специфичность для структур интереса. Алгоритм базируется на использовании экстремальных областей в качестве кандидатов для обнаружения с последующей оценкой этих областей при помощи обученных параметров. Одним из ключевых элементов алгоритма является встроенное ограничение на неперекрытие, что позволяет ему эффективно обрабатывать кластеризацию частиц. Результаты экспериментов на различных наборах микроскопических данных подтверждают устойчивость метода к изменениям в интенсивности изображений, плотности и размеров частиц. Данный алгоритм является полезным инструментом для разработки методов обнаружения объектов на изображениях микроскопии и может быть применен в научных и медицинских исследованиях.
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2025;25(1):116-127
116-127
Метод формирования оптимальной маршрутной матрицы сетей массового обслуживания с групповым обслуживанием требований
Аннотация
Рассматривается открытая сеть массового обслуживания большой размерности. В сеть обслуживания из источника поступает пуассоновский поток требований одного класса. Связь между системами сети массового обслуживания определяется маршрутной матрицей. Каждая система сети состоит из одного прибора и очереди бесконечной длины. Прибор обслуживает требования только группами заданного размера. Длительность обслуживания группы требований является экспоненциально распределенной случайной величиной. После окончания обслуживания требования из обслуженной группы маршрутизируются между системами обслуживания по одному независимо друг от друга. Сеть обслуживания построена таким образом, что число систем обслуживания, в которые могут перейти требования после обслуживания группы требований, намного больше размера этой группы. Предполагается, что вероятности переходов требований между системами сети обслуживания сравнимы. Предлагается метод формирования оптимальной маршрутной матрицы, которая обеспечивает минимальные значения математических ожиданий длительностей пребывания требований в системах сети обслуживания. Приводятся условие для относительных интенсивностей потоков, при котором топология сети массового обслуживания является радиальной (звездообразной), и выражения для вычисления оптимальных интенсивностей входящих потоков требований в системы сети обслуживания. Приведены примеры формирования оптимальной маршрутной матрицы и применения предложенного метода формирования маршрутной матрицы для коррекции потоков в сети массового обслуживания с изменяющимся числом связей между системами сети обслуживания.
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2025;25(1):128-139
128-139
Математические модели для обработки и интерпретации сейсмических данных в новом методе сейсморазведки
Аннотация
В настоящей работе для применения в новом методе сейсморазведки с вертикально расположенными сейсмоприемниками представлена полуаналитическая математическая модель, описывающая распространение акустического импульса по вертикали в слоистой среде с наклонными границами раздела сред, учитывающая основные параметры горных пород, такие как толщина слоев, плотность, скорость распространения акустических волн в породах, а также добротность этих сред и углы наклона границ. Проводится сравнение теоретической сейсмограммы по полуаналитической модели с результатами точного моделирования в программном комплексе Comsol Multiphysics. Построен алгоритм фильтрации сигналов в экспериментальных сейсмограммах для выделения сигналов, приходящих по вертикали. Для определения акустических и геологических параметров горных пород в автоматическом режиме (без участия геолога-интерпретатора) построен метод наименьших квадратов для поиска глобального минимума целевой функции, проверенный сравнением рассчитанных параметров с данными конкретного геологического разреза.
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2025;25(1):140-149
140-149