Том 86, № 1 (2022)

Изучаются асимптотические свойства совместно ортогональных многочленов Эрмита, которые определяются соотношениями ортогональности относительно двух весов Эрмита (распределениями Гаусса) со сдвинутыми максимумами. Стартовой точкой асимптотического анализа являются четырехчленные рекуррентные соотношения, связывающие многочлены с соседними номерами. Получены асимптотические разложения при согласованном росте номера многочлена и его переменной (так называемые асимптотики типа Планшереля–Ротаха). Использованы две методики: построения разложений базисов однородных разностных уравнений и подход, основанный на сведении разностного уравнения к псевдодифференциальному с последующим использованием теории канонического оператора Маслова. Оба подхода демонстрируют согласованные результаты.Библиография: 37 наименований.

Пусть $G$ – конечная группа лиева типа $F_4$ и $W$ – группа Вейля группы $G$. Для каждого максимального тора $T$ группы $G$ найден минимальный порядок добавления к тору $T$ в его алгебраическом нормализаторе $N(G,T)$. В частности, найдены все максимальные торы, имеющие дополнение в группе $N(G,T)$. Пусть тор $T$ соответствует элементу $w$ группы $W$. Найдены минимальные порядки поднятий элементов $w$ в группе $N(G,T)$.Библиография: 20 наименований.

Экспоненциальная сумма – это линейная комбинация характеров аддитивной группы пространства $\mathbb C^n$. Мы рассматриваем $\mathbb{C}^n$, как аналог тора $(\mathbb{C}\setminus0)^n$, экспоненциальную сумму – как аналог полинома Лорана, а экспоненциальное аналитическое множество ($\mathrm{EA}$-множество), т. е. множество совместных нулей конечной системы экспоненциальных сумм, – как аналог алгебраического подмногообразия тора. Используя эти аналогии, мы определяем индекс пересечения $\mathrm{EA}$-множеств и, применяя алгоритм Де Кончини и Прочези, строим кольцо условий (ring of conditions) соответствующей теории пересечений. Построения индекса пересечения и кольца условий основаны на сопоставлении $\mathrm{EA}$-множеству алгебраического подмногообразия некоторого многомерного комплексного тора и на применении метода тропической геометрии. Вычисление индекса пересечений дивизоров произвольных экспоненциальных сумм $f_1,…,f_n$ приводит к формуле плотности $\mathrm{EA}$-множества совместных нулей возмущенной системы $f_i(z+w_i)$, верной для множества возмущений $\{w_1,…,w_n\}$ относительно полной меры в пространстве $\mathbb{C}^{n\times n}$. Эта формула аналогична формуле для количества совместных нулей полиномов Лорана.Библиография: 22 наименования.