Том 88, № 4 (2024)

We introduce two new conditions for bounded domains, namely $A^p$-completeness and boundary blow down type, and show that, for two bounded domains $D_1$ and $D_2$ that are $A^p$-complete and not of boundary blow down type, if there exists a linear isometry from $A^p(D_1)$ to $A^{p}(D_2)$ for some real number $p>0$ with $p\neq $ even integers, then $D_1$ and $D_2$ must be holomorphically equivalent, where, for a domain $D$, $A^p(D)$ denotes the space of $L^p$ holomorphic functions on $D$.Bibliography: 13 titles.

Для уравнения смешанного типа с оператором Лаврентьева–Бицадзе в прямоугольной области изучена первая граничная задача. Показано, что корректность постановки задачи существенным образом зависит от отношения сторон прямоугольника из гиперболической части смешанной области. Установлен критерий единственности решения. Само решение построено в виде суммы ряда Фурье. При обосновании равномерной сходимости ряда возникает проблема малых знаменателей. В связи с чем установлены оценки малых знаменателей об отделенности от нуля с соответствующей асимптотикой. Эти оценки позволили доказать сходимость ряда в классе регулярных решений данного уравнения. Доказаны оценки об устойчивости решения от заданных граничных функций и правой части.Библиография: 17 наименований.

Рассматривается класс нелинейных интегральных уравнений с монотонным оператором Немыцкого на положительной полупрямой. Указанный класс интегральных уравнений встречается во многих направлениях современного естествознания. В частности, такие уравнения при различных ограничениях на нелинейность и ядро возникают в динамической теории $p$-адических струн для скалярного поля тахионов, в кинетической теории газов и плазмы в рамках обычной и модифицированной нелинейных моделей Бхатнагара–Гросса–Крука для кинетического уравнения Больцмана. Уравнения подобного характера встречаются также в теории нелинейного переноса излучения в неоднородных средах и в математической теории распространения эпидемических заболеваний в рамках модифицированной модели Дикмана–Капера. Доказывается конструктивная теорема существования ограниченного положительного и непрерывного решения. Получается равномерная оценка разности между предыдущей и последующей итерациями, притом эти последовательные приближения равномерно сходятся к ограниченному непрерывному решению рассматриваемого уравнения. Исследуется асимптотическое поведение построенного решения на бесконечности. В частности, доказывается, что решение на бесконечности имеет положительный предел, который однозначно определяется из некоторого характеристического уравнения. Доказывается также, что разность между пределом и решением является суммируемой функцией на положительной полуоси. Используя некоторые геометрические оценки для выпуклых и вогнутых функций, а также опираясь на доказанную теорему об интегральной асимптотике, доказывается единственность решения в определенном подклассе неотрицательных нетривиальных непрерывных и ограниченных функций. С помощью полученных результатов удается также исследовать специальный класс нелинейных интегральных уравнений урысоновского типа на положительной полупрямой. В частности, доказывается существование положительного и ограниченного решения данного класса уравнений, а также изучаются некоторые качественные свойства построенного решения. Приводятся конкретные примеры прикладного характера соответствующего ядра и нелинейности для иллюстрации важности полученных результатов.Библиография: 52 наименования.