An iterative method for solving one class of nonlinear integral equations with the Nemytskii operator on the positive half-line

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

A class of nonlinear integral equations with a monotone Nemytskii operator on the positive half-line is considered. This class of integral equations occurs in many areas of modern natural science. In particular, such equations, under various restrictions on the nonlinearity and the corresponding kernel, arise in the dynamical theory $p$-adic strings for the scalar field of tachyons, in the kinetic theory of gases and plasmas in the framework of the conventional and modified nonlinear Bhatnagar-Gross-Krook model for the Boltzmann kinetic equation. Equations of a similar nature are also found in the theory of nonlinear radiative transfer in inhomogeneous media and even in the mathematical theory of the spread of epidemic diseases in the framework of the modified Diekmann-Kaper model. A constructive existence theorem for a bounded positive and continuous solution is proved. A uniform estimate of the difference between the previous and next iterations is obtained, and these successive approximations uniformly converge to a bounded continuous solution of the considered equation. We also study the asymptotic behavior of the constructed solution at infinity. In particular, it is proved that the solution at infinity has a positive limit, which is uniquely determined from some characteristic equation. It is also proved that the difference between the limit and the solution is an integrable function on the positive semi-axis. Using certain geometric inequalities for convex and concave functions, as well as relying on the proven integral asymptotics theorem, it is possible to prove the uniqueness of the solution in a certain subclass of non-negative non-trivial continuous and bounded functions. With the help of the results obtained, it is also possible to study a special class of nonlinear integral equations of the Urysohn type on the positive half-line. In particular, the existence of a positive and bounded solution of this class of equations is proved, and some qualitative properties of the constructed solution are studied. At the end of the paper, concrete examples of the applied nature of the corresponding kernel and nonlinearity are given to illustrate the importance of the results obtained.

About the authors

Khachatur Aghavardovich Khachatryan

Yerevan State University

Email: khachatur.khachatryan@ysu.am
ORCID iD: 0000-0002-4835-943X
Scopus Author ID: 24461615400
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

Haykanush Samvelovna Petrosyan

National Agrarian University of Armenia

Email: Haykuhi25@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-7172-4730
Scopus Author ID: 57201727643
Candidate of physico-mathematical sciences, Associate professor

References

  1. I. Ya. Aref'eva, B. G. Dragovic, I. V. Volovich, “Open and closed $p$-adic strings and quadratic extensions of number fields”, Phys. Lett. B, 212:3 (1988), 283–291
  2. В. С. Владимиров, Я. И. Волович, “О нелинейном уравнении динамики в теории $p$-адической струны”, ТМФ, 138:3 (2004), 355–368
  3. В. С. Владимиров, “К вопросу неcуществования решений уравнений $p$-адических струн”, ТМФ, 174:2 (2013), 208–215
  4. В. С. Владимиров, “О нелинейных уравнениях $p$-адических открытых, замкнутых и открыто-замкнутых струн”, ТМФ, 149:3 (2006), 354–367
  5. C. Atkinson, G. E. H. Reuter, “Deterministic epidemic waves”, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 80:2 (1976), 315–330
  6. O. Diekmann, “Thresholds and travelling waves for the geographical spread of infection”, J. Math. Biol., 6:2 (1978), 109–130
  7. А. Х. Хачатрян, Х. А. Хачатрян, “О разрешимости некоторых нелинейных интегральных уравнений в задачах распространения эпидемии”, Математическая физика и приложения, Сборник статей. К 95-летию со дня рождения академика Василия Сергеевича Владимирова, Труды МИАН, 306, МИАН, М., 2019, 287–303
  8. O. Diekmann, H. G. Kaper, “On the bounded solutions of a nonlinear convolution equation”, Nonlinear Anal., 2:6 (1978), 721–737
  9. C. Cercignani, The Boltzmann equation and its applications, Appl. Math. Sci., 67, Springer-Verlag, New-York, 1988, xii+455 pp.
  10. C. Villani, “Cercignani's conjecture is sometimes true and always almost true”, Comm. Math. Phys., 234:3 (2003), 455–490
  11. А. Х. Хачатрян, Х. А. Хачатрян, “О некоторых вопросах разрешимости нелинейного стационарного уравнения Больцмана в рамках БГК-модели”, Тр. ММО, 77, № 1, МЦНМО, М., 2016, 103–130
  12. Н. Б. Енгибарян, “Об одной задаче нелинейного переноса излучения”, Астрофизика, 2:1 (1966), 31–36
  13. Н. Б. Енгибарян, “Об одной нелинейной задаче переноса излучения”, Астрофизика, 1:3 (1965), 297–302
  14. W. Okrasinski, “On the existence and uniqueness of nonnegative solutions of a certain nonlinear convolution equation”, Ann. Polon. Math., 36:1 (1979), 61–72
  15. W. Okrasinski, “Nonlinear Volterra equations and physical applications”, Extracta Math., 4:2 (1989), 51–80
  16. П. Урысон, “Об одном типе нелинейных интегральных уравнений”, Матем. сб., 31:2 (1923), 236–255
  17. A. Hammerstein, “Nichtlineare Integralgleichungen nebst Anwendungen”, Acta Math., 54:1 (1930), 117–176
  18. М. А. Красносельский, “Неподвижные точки операторов, сжимающих или растягивающих конус”, Докл. АН СССР, 135:3 (1960), 527–530
  19. П. П. Забрейко, Р. И. Качуровский, М. А. Красносельский, “Об одном принципе неподвижной точки для операторов в гильбертовом пространстве”, Функц. анализ и его прил., 1:2 (1967), 93–94
  20. F. E. Browder, “Nonlinear operators in Banach spaces”, Math. Ann., 162 (1965/1966), 280–283
  21. F. E. Browder, “Fixed point theorems for nonlinear semicontractive mappings in Banach spaces”, Arch. Ration. Mech. Anal., 21 (1966), 259–269
  22. F. E. Browder, C. P. Gupta, “Monotone operators and nonlinear integral equations of Hammerstein type”, Bull. Amer. Math. Soc., 75 (1969), 1347–1353
  23. П. П. Забрейко, А. И. Поволоцкий, “Квазилинейные операторы и уравнение Гаммерштейна”, Матем. заметки, 12:4 (1972), 453–464
  24. П. П. Забрейко, Е. И. Пустыльник, “О непрерывности и полной непрерывности нелинейных интегральных операторов в пространствах $L_p$”, УМН, 19:2(116) (1964), 204–205
  25. М. А. Красносельский, Положительные решения операторных уравнений, Физматгиз, М., 1962, 394 с.
  26. G. Emmanuele, “An existence theorem for Hammerstein integral equations”, Port. Math., 51:4 (1994), 607–611
  27. H. Brezis, F. E. Browder, “Existence theorems for nonlinear integral equations of Hammerstein type”, Bull. Amer. Math. Soc., 81:1 (1975), 73–78
  28. С. Н. Асхабов, “Нелинейные интегральные уравнения с ядрами типа потенциала на отрезке”, Труды Седьмой Международной конференции по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям (Москва, 22–29 августа, 2014). Часть 3, СМФН, 60, РУДН, М., 2016, 5–22
  29. Х. Гаевский, К. Грeгер, К. Захариас, Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения, Мир, М., 1978, 336 с.
  30. Х. А. Хачатрян, А. С. Петросян, “О разрешимости одного класса нелинейных интегральных уравнений Гаммерштейна–Стилтьеса на всей прямой”, Труды МИАН, 308, Дифференциальные уравнения и динамические системы (2020), 253–264
  31. Л. Г. Арабаджян, “Решения одного интегрального уравнения типа Гаммерштейна”, Изв. НАН Армении. Матем., 32:1 (1997), 21–28
  32. Х. А. Хачатрян, А. С. Петросян, “Однопараметрические семейства положительных решений для некоторых классов нелинейных интегральных уравнений типа свертки”, Сиб. журн. чист. и прикл. матем., 17:1 (2017), 91–108
  33. Х. А. Хачатрян, “Об одном классе нелинейных интегральных уравнений с некомпактными операторами”, Изв. НАН Армении. Матем., 46:2 (2011), 71–86
  34. Х. А. Хачатрян, “Однопараметрическое семейство решений одного класса нелинейных уравнений типа Гаммерштейна на полуоси”, Докл. РАН, 429:5 (2009), 595–599
  35. Х. А. Хачатрян, “О положительной разрешимости некоторых классов нелинейных интегральных уравнений типа Гаммерштейна на полуоси и на всей прямой”, Изв. РАН. Сер. матем., 79:2 (2015), 205–224
  36. Х. А. Хачатрян, “Об одном классе интегральных уравнений типа Урысона с сильной нелинейностью”, Изв. РАН. Сер. матем., 76:1 (2012), 173–200
  37. Х. А. Хачатрян, А. С. Петросян, “О построении суммируемого решения одного класса нелинейных интегральных уравнений типа Гаммерштейна–Немыцкого на всей прямой”, Тр. ИММ УрО РАН, 26, № 2, 2020, 278–287
  38. H. S. Petrosyan, “On solution of a class of Hammerstein type nonlinear integral equations on the positive half-line in the critical case”, Proc. Yerevan State Univ., 48:3(235) (2014), 31–39
  39. Т. Г. Сардарян, “Суммируемое решение одного нелинейного интегрального уравнения типа Гаммерштейна–Вольтерра на полуоси”, Вестник РАУ Физ.-мат. науки, 2015, № 1, 5–16
  40. В. С. Владимиров, “О решениях $p$-адических струнных уравнений”, ТМФ, 167:2 (2011), 163–170
  41. В. С. Владимиров, “Об уравнении $p$-адической открытой струны для скалярного поля тахионов”, Изв. РАН. Сер. матем., 69:3 (2005), 55–80
  42. Х. А. Хачатрян, “О разрешимости некоторых классов нелинейных интегральных уравнений в теории $p$-адической струны”, Изв. РАН. Сер. матем., 82:2 (2018), 172–193
  43. Х. А. Хачатрян, А. С. Петросян, “О качественных свойствах решения одной нелинейной граничной задачи в динамической теории $p$-адических струн”, Вестн. С.-Петербург. ун-та. Сер. 10. Прикл. матем. Информ. Проц. упр., 16:4 (2020), 423–436
  44. Х. А. Хачатрян, “Существование и единственность решения одной граничной задачи для интегрального уравнения свертки с монотонной нелинейностью”, Изв. РАН. Сер. матем., 84:4 (2020), 198–207
  45. А. С. Петросян, Х. А. Хачатрян, “О единственности решения одного класса интегральных уравнений с суммарно-разностным ядром и с выпуклой нелинейностью на положительной полупрямой”, Матем. заметки, 113:4 (2023), 529–543
  46. M. H. Avetisyan, “On solvability of a nonlinear discrete system in the spread theory of infection”, Proc. Yerevan State Univ., 54:2 (2020), 87–95
  47. A. Kh. Khachatryan, Kh. A. Khachatryan, “On solvability of one infinite system of nonlinear functional equations in the theory of epidemics”, Eurasian Math. J., 11:2 (2020), 52–64
  48. Х. А. Хачатрян, “О некоторых системах нелинейных интегральных уравнений типа Гаммерштейна на полуоси”, Укр. матем. журн., 62:4 (2010), 552–566
  49. Х. А. Хачатрян, А. С. Петросян, “О разрешимости одной системы нелинейных интегральных уравнений с оператором Гаммерштейна–Стилтьеса на полуоси”, Дифференц. уравнения, 59:3 (2023), 380–388
  50. Г. Г. Геворкян, Н. Б. Енгибарян, “Новые теоремы для интегрального уравнения восстановления”, Изв. НАН Армении. Матем., 32:1 (1997), 5–20
  51. А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин, Элементы теории функций и функционального анализа, 4-е перераб. изд., Наука, М., 1976, 544 с.
  52. Г. Полиа, Г. Сеге, Задачи и теоремы из анализа, Часть 1. Ряды, интегральное исчисление, теория функций, 3-е изд., Наука, М., 1978, 391 с.

Copyright (c) 2024 Хачатрян Х.A., Петросян А.S.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies