Том 87, № 1 (2023)

In this paper, we are concerned with the following Schrödinger–Poisson system$$\begin{cases}-\Delta u+u+\lambda\phi u= Q(x)|u|^{4}u+\mu\dfrac{|x|^\beta}{1+|x|^\beta}|u|^{q-2}u&in \mathbb{R}^3,-\Delta \phi=u^{2} &in \mathbb{R}^3,\end{cases}$$where $0< \beta<3$, $60$ are real parameters. By the variational method and the Nehari method, we obtain that the system has $k$ positive solutions.Bibliography: 31 titles.

Детально изучена динамика слабо диссипативных волновых уравнений в ограниченных трехмерных областях в случае, когда коэффициент диссипации явно зависит от времени и может менять знак. Показано, что в случае нелинейностей, растущих быстрее чем линейно, рассматриваемые уравнения остаются диссипативными, если некоторое весовое среднее коэффициента диссипации положительно, также продемонстрирована недостаточность подобного рода условий в случае линейных уравнений. Рассмотрены два принципиально различных случая. В первом случае, когда упомянутое выше среднее является равномерным (что соответствует случаю детерминистской диссипации), показано, что рассматриваемая динамическая система обладает гладким равномерным аттрактором, а также неавтономным экспоненциальным аттрактором конечной фрактальной размерности. Во втором случае, когда среднее диссипации не является равномерным (что соответствует случайной диссипации, например, порождаемой схемой Бернулли), построен случайный аттрактор умеренного роста. В отличие от стандартной ситуации, этот аттрактор видимо может иметь бесконечную хаусдорфову и фрактальную размерность. Упрощенный модельный пример, демонстрирующий бесконечномерность случайного аттрактора, также приведен.Библиография: 66 наименований.