A prox-regular sweeping process coupled with a maximal monotone differential inclusion

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

A coupled system consisting of a sweeping process and an evolution
maximal monotone inclusion is considered. The values of moving set of
the sweeping process are prox-regular sets that depend on time and state
of the system. The right-hand side of the sweeping process contains the sum
of two multivalued time- and state-dependent perturbations with
different semicontinuity properties. The perturbation in the right-hand
side of maximal monotone inclusion is a single-valued function.
A solution to the sweeping process is a right continuous function of
bounded variation (a BV-solution). A solution to the maximal monotone
inclusion is an absolutely continuous function. A theorem on existence
of a solution to this system is proved, and when the perturbations are
convex, a theorem on compactness of the solution set is established.

About the authors

Alexander Alexandrovich Tolstonogov

Matrosov Institute for System Dynamics and Control Theory of Siberian Branch of Russian Academy of Sciences, Irkutsk

Email: aatol@icc.ru; alexander.tolstonogov@gmail.com
ORCID iD: 0000-0003-2916-145X
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

References

  1. J. J. Moreau, “On unilateral constraints, friction and plasticity”, New variational techniques in mathematical physics (Bressanone, 1973), C.I.M.E. Summer Sch., 63, Springer, Heidelberg; Fondazione C.I.M.E., Florence, 2011, 171–322
  2. J. J. Moreau, “An introduction to unilateral dynamics”, Novel approaches in civil engineering, Lect. Notes Appl. Comput. Mech., 14, Springer, Berlin, 2004, 1–46
  3. M. D. P. Monteiro Marques, Differential inclusions in nonsmooth mechanical problems. Shocks and dry friction, Progr. Nonlinear Differential Equations Appl., 9, Burkhäuser Verlag, Basel, 1993, x+179 pp.
  4. S. Adly, R. Cibulka, H. Massias, “Variational analysis and generalized equations in electronics. Stability and simulation issues”, Set-Valued Var. Anal., 21:2 (2013), 333–358
  5. B. Brogliato, L. Thibault, “Existence and uniqueness of solutions for non-autonomous complementarity dynamical systems”, J. Convex Anal., 17:3-4 (2010), 961–990
  6. D. Goeleven, Complementarity and variational inequalities in electronics, Math. Anal. Appl., Academic Press, London, 2017, xv+192 pp.
  7. S. Adly, M. Sofonea, “Time-dependent inclusions and sweeping processes in contact mechanics”, Z. Angew. Math. Phys., 70:2 (2019), 39, 19 pp.
  8. F. Nacry, M. Sofonea, “A class of nonlinear inclusions and sweeping processes in solid mechanics”, Acta Appl. Math., 171 (2021), 16, 26 pp.
  9. Ba Khiet Le, “On a class of Lur'e dynamical systems with state-dependent set-valued feedback”, Set-Valued Var. Anal., 28:3 (2020), 537–557
  10. B. Brogliato, A. Tanwani, “Dynamical systems coupled with monotone set-valued operators: formalisms, applications, well-posedness, and stability”, SIAM Rev., 62:1 (2020), 3–129
  11. J. Venel, “A numerical scheme for a class of sweeping processes”, Numer. Math., 118:2 (2011), 367–400
  12. S. Saidi, “Second-order evolution problems by time and state-dependent maximal monotone operators and set-valued perturbations”, Int. J. Nonlinear Anal. Appl., 14:1 (2023), 699–715
  13. R. A. Poliquin, R. T. Rockafellar, L. Thibault, “Local differentiability of distance functions”, Trans. Amer. Math. Soc., 352:11 (2000), 5231–5249
  14. H. Brezis, Operateurs maximaux monotones et semi-groupes de contractions dans les espaces de Hilbert, North-Holland Math. Stud., 5, Notas Mat., 50, North-Holland Publishing Co., Amsterdam–London; American Elsevier Publishing Co., Inc., New York, 1973, vi+183 pp.
  15. S. Adly, F. Nacry, L. Thibault, “Discontinuous sweeping process with prox-regular sets”, ESAIM Control Optim. Calc. Var., 23:4 (2017), 1293–1329
  16. F. Nacry, J. Noel, L. Thibault, “On first and second order state-dependent prox-regular sweeping processes”, Pure Appl. Funct. Anal., 6:6 (2021), 1453–1493
  17. J. J. Moreau, “Evolution problem associated with a moving convex set in a Hilbert space”, J. Differential Equations, 26:3 (1977), 347–374
  18. C. J. Himmelberg, “Measurable relations”, Fund. Math., 87 (1975), 53–72
  19. H. Attouch, “Familles d'operateurs maximaux monotones et mesurabilite”, Ann. Mat. Pura Appl. (4), 120 (1979), 35–111
  20. N. Dinculeanu, Vector measures, Hochschulbücher für Math., 64, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1966, x+432 pp.
  21. P. Mattila, Geometry of sets and measures in Euclidean spaces. Fractals and rectifiability, Cambridge Stud. Adv. Math., 44, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1995, xii+343 pp.
  22. J. Diestel, J. J. Uhl, Jr., Vector measures, Math. Surveys, 15, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1977, xiii+322 pp.
  23. J. J. Moreau, “Sur les mesures differentielles des fonctions vectorielles à variation localement bornee”, Travaux du seminaire d'analyse convexe, v. 5, Univ. Sci. Tech. Languedoc, U.E.R. de Math., Montpellier, 1975, Exp. No. 17, 39 pp.
  24. L. Thibault, “Moreau sweeping process with bounded truncated retraction”, J. Convex Anal., 23:4 (2016), 1051–1098
  25. Shui-Hung Hou, “On property $(Q)$ and other semicontinuity properties of multifunctions”, Pacific J. Math., 103:1 (1982), 39–56
  26. D. Fraňkova, “Regulated functions”, Math. Bohem., 116:1 (1991), 20–59
  27. D. Azzam-Laouir, S. Izza, L. Thibault, “Mixed semicontinuous perturbation of nonconvex state-dependent sweeping process”, Set-Valued Var. Anal., 22:1 (2014), 271–283
  28. Z. Denkowski, S. Migorski, N. S. Papageorgiou, An introduction to nonlinear analysis. Theory, Kluwer Acad. Publ., Boston, MA, 2003, xvi+689 pp.
  29. A. A. Tolstonogov, “Upper semicontinuous convex-valued selectors of a Nemytskii operator with nonconvex values and evolution inclusions with maximal monotone operators”, J. Math. Anal. Appl., 526:1 (2023), 127197, 29 pp.
  30. T. Ważewski, “Systèmes des equations et des inegalites differentielles ordinaires aux deuxièmes membres monotones et leurs applications”, Ann. Soc. Polon. Math., 23 (1950), 112–166
  31. Ky Fan, “Fixed point and minimax theorems in locally convex topological linear spaces”, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 38:2 (1952), 121–126
  32. A. A. Vladimirov, “Nonstationary dissipative evolution equations in a Hilbert space”, Nonlinear Anal., 17:6 (1991), 499–518
  33. M. Benguessoum, D. Azzam-Laouir, Ch. Castaing, “On a time and state dependent maximal monotone operator coupled with a sweeping process with perturbations”, Set-Valued Var. Anal., 29:1 (2021), 191–219
  34. D. Azzam-Laouir, M. Benguessoum, “Multi-valued perturbations to a couple of differential inclusions governed by maximal monotone operators”, Filomat, 35:13 (2021), 4369–4380
  35. K. Dib, D. Azzam-Laouir, “Existence solutions for a couple of differential inclusions involving maximal monotone operators”, Appl. Anal., 102:9 (2023), 2628–2650
  36. S. Saïdi, “Coupled problems driven by time and state-dependent maximal monotone operators”, Numer. Algebra Control Optim., 14:3 (2024), 547–580
  37. C. Castaing, C. Godet-Thobie, S. Saïdi, “On fractional evolution inclusion coupled with a time and state dependent maximal monotone operator”, Set-Valued Var. Anal., 30:2 (2022), 621–656
  38. C. Castaing, A. G. Ibrahim, M. Yarou, “Some contributions to nonconvex sweeping process”, J. Nonlinear Convex Anal., 10:1 (2009), 1–20
  39. S. Lounis, T. Haddad, M. Sene, “Non-convex second-order Moreau's sweeping processes in Hilbert spaces”, J. Fixed Point Theory Appl., 19:4 (2017), 2895–2908
  40. S. Adly, Ba Khiet Le, “Second-order state dependent sweeping process with unbounded and nonconvex constraints”, Pure Appl. Funct. Anal., 3:2 (2018), 271–285
  41. F. Aliouane, D. Azzam-Laouir, C. Castaing, M. D. P. Monteiro Marques, “Second-order time and state-dependent sweeping process in Hilbert space”, J. Optim. Theory Appl., 182:1 (2019), 153–188
  42. S. Adly, F. Nacry, “An existence result for discontinuous second-order nonconvex state-dependent sweeping processes”, Appl. Math. Optim., 79:2 (2019), 515–546

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2025 Tolstonogov A.A.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».