Variations of $v$-change of time in an optimal control problem with state and mixed constraints

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

For a general optimal control problem with state and regular mixed constraints we propose a proof of the maximum principle by means of the so-called $v-$change of time $t \mapsto \tau,$ under which the original time becomes one more state variable subject to equation $dt/d\tau = v(\tau),$ while the additional control $v(\tau)\ge 0$ is piecewise constant and its values become arguments of the new problem.

About the authors

Andrei Venediktovich Dmitruk

Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences

Email: avdmi@cemi.rssi.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

References

  1. Р. В. Гамкрелидзе, “Оптимальные процессы управления при ограниченных фазовых координатах”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 24:3 (1960), 315–356
  2. M. R. Hestenes, Calculus of variations and optimal control theory, John Wiley & Sons, Inc., New York–London–Sydney, 1966, xii+405 pp.
  3. R. F. Hartl, S. P. Sethi, R. G. Vickson, “A survey of the maximum principles for optimal control problems with state constraints”, SIAM Rev., 37:2 (1995), 181–218
  4. A. Dmitruk, I. Samylovskiy, “On the relation between two approaches to necessary optimality conditions in problems with state constraints”, J. Optim. Theory Appl., 173:2 (2017), 391–420
  5. А. Я. Дубовицкий, А. А. Милютин, “Задачи на экстремум при наличии ограничений”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 5:3 (1965), 395–453
  6. А. А. Милютин, “Принцип максимума в регулярной задаче оптимального управления”, Необходимое условие в оптимальном управлении, Гл. 1–5, Наука, М., 1990
  7. А. А. Милютин, А. В. Дмитрук, Н. П. Осмоловский, Принцип максимума в оптимальном управлении, МГУ, мех.-матем. ф-т, М., 2004, 168 с.
  8. А. А. Милютин, “Общие схемы получения необходимых условий экстремума и задачи оптимального управления”, УМН, 25:5(155) (1970), 110–116
  9. А. Я. Дубовицкий, А. А. Милютин, “Необходимые условия слабого экстремума в задачах оптимального управления со смешанными ограничениями типа неравенства”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 8:4 (1968), 725–779
  10. А. Я. Дубовицкий, А. А. Милютин, Необходимые условия слабого экстремума в общей задаче оптимального управления, Наука, Ин-т хим. физики АН СССР, М., 1971, 113 с.
  11. А. Я. Дубовицкий, А. А. Милютин, “Теория принципа максимума”, Методы теории экстремальных задач в экономике, ред. В. Л. Левин, Наука, ЦЭМИ, М., 1981, 6–47
  12. K. Makowski, L. W. Neustadt, “Optimal control problems with mixed control-phase variable equality and inequality constraints”, SIAM J. Control, 12:2 (1974), 184–228
  13. А. М. Тер-Крикоров, “Выпуклое программирование в пространстве, сопряженном пространству Банаха, и выпуклые задачи оптимального управления с фазовыми ограничениями”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 16:2 (1976), 351–358
  14. А. Н. Дюкалов, А. Е. Илютович, “Признак оптимальности в нелинейных задачах оптимального управления со смешанными ограничениями. I”, Автомат. и телемех., 1977, № 3, 96–106
  15. А. В. Дмитрук, “Принцип максимума для общей задачи оптимального управления с фазовыми и регулярными смешанными ограничениями”, Оптимальность управляемых динамических систем, 14, Наука, ВНИИСИ, М., 1990, 26–42
  16. Р. В. Гамкрелидзе, “О скользящих оптимальных режимах”, Докл. АН СССР, 143:6 (1962), 1243–1245
  17. E. N. Devdariani, Yu. S. Ledyaev, “Maximum principle for implicit control systems”, Appl. Math. Optim., 40:1 (1999), 79–103
  18. M. d. R. de Pinho, J. F. Rosenblueth, “Necessary conditions for constrained problems under Mangasarian–Fromowitz conditions”, SIAM J. Control Optim., 47:1 (2008), 535–552
  19. F. Clarke, M. R. de Pinho, “Optimal control problems with mixed constraints”, SIAM J. Control Optim., 48:7 (2010), 4500–4524
  20. H. A. Biswas, M. d. R. de Pinho, “A maximum principle for optimal control problems with state and mixed constraints”, ESAIM Control Optim. Calc. Var., 21:4 (2015), 939–957
  21. A. Boccia, M. D. R. de Pinho, R. B. Vinter, “Optimal control problems with mixed and pure state constraints”, SIAM J. Control Optim., 54:6 (2016), 3061–3083
  22. An Li, J. J. Ye, “Necessary optimality conditions for optimal control problems with nonsmooth mixed state and control constraints”, Set-Valued Var. Anal., 24:3 (2016), 449–470
  23. R. Andreani, V. A. de Oliveira, J. T. Pereira, G. N. Silva, “A weak maximum principle for optimal control problems with mixed constraints under a constant rank condition”, IMA J. Math. Control Inform., 37:3 (2020), 1021–1047
  24. Л. С. Понтрягин, В. Г. Болтянский, Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Мищенко, Математическая теория оптимальных процессов, Физматгиз, М., 1961, 391 с.
  25. А. В. Дмитрук, Н. П. Осмоловский, “О доказательстве принципа максимума Понтрягина с помощью игольчатых вариаций”, Фундамент. и прикл. матем., 19:5 (2014), 49–73
  26. Г. Г. Магарил-Ильяев, “Принцип максимума Понтрягина. Ab ovo usque ad mala”, Оптимальное управление, Сборник статей. К 105-летию со дня рождения академика Льва Семеновича Понтрягина, Труды МИАН, 291, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2015, 215–230
  27. А. В. Дмитрук, Н. П. Осмоловский, “Вариации типа $v$-замены времени в задачах с фазовыми ограничениями”, Выпуск посвящен 70-летнему юбилею Александра Георгиевича Ченцова, Тр. ИММ УрО РАН, 24, № 1, 2018, 76–92
  28. A. V. Dmitruk, N. P. Osmolovskii, “Proof of the maximum principle for a problem with state constraints by the $v$-change of time variable”, Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. B, 24:5 (2019), 2189–2204
  29. А. В. Дмитрук, “Аппроксимационная теорема для нелинейной управляемой системы со скользящими режимами”, Динамические системы и оптимизация, Сборник статей. К 70-летию со дня рождения академика Дмитрия Викторовича Аносова, Труды МИАН, 256, Наука, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2007, 102–114
  30. А. А. Милютин, Принцип максимума в общей задаче оптимального управления, Физматлит, М., 2001, 303 с.
  31. A. V. Dmitruk, “On the development of Pontryagin's maximum principle in the works of A. Ya. Dubovitskii and A. A. Milyutin”, Control Cybernet., 38:4A (2009), 923–957
  32. “Необходимые условия экстремума (принцип Лагранжа)”, Оптимальное управление, Гл. 3, ред. В. М. Тихомиров, Н. П. Осмоловский, МЦНМО, М., 2008, 89–122
  33. A. A. Milyutin, N. P. Osmolovskii, “First order conditions”, Calculus of variations and optimal control, Transl. from the Russian manuscript, Transl. Math. Monogr., 180, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1998
  34. А. В. Дмитрук, А. М. Каганович, “Принцип максимума для задач оптимального управления с промежуточными ограничениями”, Нелинейная динамика и управление, 6, Физматлит, М., 2008, 101–136
  35. A. V. Dmitruk, N. P. Osmolovskii, “Necessary conditions for a weak minimum in optimal control problems with integral equations subject to state and mixed constraints”, SIAM J. Control Optim., 52:6 (2014), 3437–3462
  36. A. Dmitruk, N. Osmolovskii, “A general Lagrange multipliers theorem”, 2017 Constructive nonsmooth analysis and related topics (dedicated to the memory of V. F. Demyanov), CNSA-2017 (St. Petersburg, 2017), IEEE, 2017, 82–84
  37. A. V. Dmitruk, N. P. Osmolovskii, “A general Lagrange multipliers theorem and related questions”, Control systems and mathematical methods in economics, Lecture Notes in Econom. and Math. Systems, 687, Springer, Cham, 2018, 165–194

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2023 Dmitruk A.V.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».