Elliptic boundary layer in shells of revolution under surface shock loading of normal type

全文:

1. Введение. При ударных воздействиях нормального типа NW (в соответствии с классификацией У.К. Нигула [1, 2]), возникает эллиптический погранслой, определяющий особый тип нестационарного напряженно-деформированного состояния (НДС) в тонких пластинах и оболочках в окрестности условного фронта поверхностных волн Рэлея. Данный погранслой и выделяет нормальный тип ударного воздействия NW среди других видов ударных воздействий – продольного, изгибающего типа (LM) и продольного, тангенциального типа (LT).

Асимптотический подход к выводу уравнений теории оболочек был впервые разработан в трудах А.Л. Гольденвейзера [3, 4]. Концепция изменяемости напряженно-деформированного состояния (НДС) по координатам и её количественная оценка через показатели изменяемости позволила сформулировать принципы асимптотического интегрирования точных трёхмерных уравнений теории упругости в статике и получить этим методом уточнённые уравнения теории оболочек. Также удалось выделить составляющие НДС (безмоментная составляющая, простой краевой эффект и др.) как в статике, так и стационарной динамике, а также построить асимптотические методы их определения.

Разработанный для задач статики и стационарной динамики асимптотический подход дал возможность создать принципиально новую асимптотическую теорию нестационарных процессов деформации тонких оболочек [5–8], основанную на варианте метода сращиваемых разложений, позволяющего разделить фазовую область на различные участки, обладающие теми специфическими значениями показателей изменяемости и динамичности, которые соответствуют известным особенностям поведения нестационарных волн. В качестве таких особенностей, отличающих нестационарные задачи от задач статики и стационарной динамики, являются различные виды фронтов и квазифронтов, отражающих ударный характер приложения нагрузки.

В рамках разрабатываемой асимптотической теории нестационарных волн появилась необходимость нахождения новых асимптотических методов вывода приближенных теорий из точных трёхмерных уравнений теории упругости. Асимптотические уравнения двумерных составляющих, соответствующих классической теории Кирхгофа–Лява, получены в работе [5]. Общий подход к выводу уравнений для НДС в окрестностях фронтов волн и волновых квазифронтов изложен наиболее полно в работах [6–8]. В итоге были выделены безмоментная и изгибная составляющая двумерной теории Кирхгофа–Лява, гиперболические погранслои в окрестностях фронтов волн расширения и сдвига, параболический погранслой в окрестности квазифронта, связанного с ложным фронтом волны растяжения-сжатия по двумерной теории Кирхгофа–Лява и эллиптический погранслой в окрестности условного фронта поверхностных волн Рэлея. При различных типах ударных воздействий эти компоненты применяются в разных комбинациях, но полнота таких представлений доказывается наличием и определением расположения так называемых областей согласования соседних составляющих.

Проведённые исследования показали, что ни одна из известных двумерных теорий не может описать полностью рассматриваемую волновую картину вследствие высокой изменяемости и принципиально разного поведения нестационарного НДС в малых окрестностях фронтов и квазифронтов.

В работах [8, 9] окончательно описано построение асимптотически оптимальных уравнений эллиптического погранслоя в окрестности условного фронта поверхностных волн Рэлея. Выявлены уникальные свойства этого погранслоя: поведение решения вне лицевых поверхностей оболочки описывается эллиптическими уравнениями, а на поверхности для потенциальных функций, определяющих решение, описывается гиперболическими уравнениями. Отметим, что такие качественные свойства решения базируются на анализе дальнего поля волны Рэлея в случае упругой полуплоскости в классической задаче Лэмба [10], объясняющего эффект так называемых поверхностных волн. В работе [9] также получено решение для эллиптического погранслоя в случае цилиндрической оболочки: используются интегральные преобразования Лапласа по времени и Фурье по продольной координате.

В общем случае оболочек вращения, когда разрешающие уравнения содержат переменные коэффициенты, метод их решения, разработанный в [9], неприменим. В данной статье описывается новый разработанный асимптотический метод решения искомых уравнений в случае нормальной ударной нагрузки на лицевые поверхности произвольных оболочек вращения. Используются асимптотические методы в пространстве интегрального преобразования Лапласа по времени. В качестве примера приведены результаты расчёта нормального напряжения для сферической оболочки.

2. Постановка задачи. Рассмотрим оболочку вращения, изображенную на рис.1, где система координат ($\alpha$, $\theta$, z) привязана к срединной поверхности: $\alpha$ – длина дуги вдоль образующей, $\theta$ – угол в окружном направлении, z – внешняя нормаль к срединной поверхности. Напряжения и перемещения оболочки обозначим как $\sigma$_ij и v_i (i, j = 1, 2).

Рис. 1. Полубесконечная оболочка вращения.

Для определенности рассмотрим осесимметричное НДС.

Граничные условия на лицевых поверхностях оболочки выберем в форме, аналогичной [9]:

${\sigma }_{33}=-P\left(\alpha ,t\right), {\sigma }_{13}=0 при z=\pm h, \left|\alpha \right|\le L,$

${\sigma }_{33}=\mathrm{0,} {\sigma }_{13}=0приz=\pm h, \left|\alpha \right|>L,$

где h – полутолщина оболочки, t – время, L – ширина кольца нагрузки на поверхности. Ударное воздействие P(a, t) определяется следующим образом

$\begin{array}{c}P=pH\left(L-\alpha \right)H\left(t\right) при \alpha \ge \mathrm{0,}\\ P=pH\left(L+\alpha \right)H\left(t\right) при\alpha \le 0.\end{array}$

Здесь p – амплитуда нагрузки, а H(t) – единичная функция Хевисайда. При этом рассматриваются однородные начальные условия

$v_i=\frac{\partial v_i}{\partial t}=0 \left(i=\mathrm{1,}3\right) при t=0.$

Разрешающие уравнения эллиптического погранслоя при рассматриваемых воздействиях описаны в [8]. В исходной форме они записываются относительно объёмных и сдвиговых потенциалов $\phi$_i, $\psi$_i(i = 1, 2), когда потенциальные функции $\phi$₁, $\psi$₁ определяют распространение возмущений в положительном направлении оси z, а $\phi$₂ и $\psi$₂ – в отрицательном. Ограничиваясь рассмотрением только волны, инициируемой лицевой поверхностью z = -h, выпишем, соответственно, разрешающую систему уравнений только для потенциалов $\phi$₁, $\psi$₁ (индекс «1» опускаем) в безразмерной форме в координатах $\xi$ = a/h, z = z/h, $\zeta$ = c₂t/h (c₂ – скорость волны сдвига). Тогда уравнения, описывающие НДС рассматриваемого погранслоя, имеют форму

$\begin{array}{c}{a}^2\frac{{\partial }^2\phi }{\partial {\xi }^2}+\frac{{\partial }^2\phi }{\partial {\zeta }^2}=\mathrm{0,}\\ b^2\frac{{\partial }^2\psi }{\partial {\xi }^2}+\frac{{\partial }^2\psi }{\partial {\zeta }^2}=0\end{array}$ (2.1)

и являются уравнениями эллиптического типа, где $a=\sqrt{1-{\kappa }^2{\kappa }_R^2};$ $b=\sqrt{1-{\kappa }_R^2;}$ ${\kappa }^2=c_1/c_2=\left(1-2\nu \right)/\left(2-2\nu \right);$ ${\kappa }_R=c_R/{\text{\hspace{0.05em}с}}_2;$ c₁ и c_R – скорости волн расширения и поверхностных волн Рэлея; v – коэффициент Пуассона. Граничные условия на лицевой поверхности описываются уже гиперболическими уравнениями

${\kappa }_R^2\frac{{\partial }^2\psi }{\partial {\xi }^2}-\frac{{\partial }^2\psi }{\partial {\tau }^2}+\epsilon k_c\frac{B^{\text{'}}}{B}\frac{\partial \psi }{\partial \xi }=\frac{\left(1+\nu \right)h}{E}\frac{{\kappa }_R{B}_{\omega }}{b}P, \zeta =-\mathrm{1,}$ 

$\begin{array}{c}\left(a+\frac{{\kappa }^2{\kappa }_R^2}{2a}\right)\frac{{\partial }^2\phi }{\partial {\xi }^2}-\frac{{\kappa }^2}{2a}\frac{{\partial }^2\phi }{\partial {\tau }^2}+\epsilon \frac{1}{2a}\frac{B^{\text{'}}}{B}\frac{\partial \phi }{\partial \xi }+\\ +\left(g+\frac{{\kappa }_R^2}{2}\right)\frac{{\partial }^2\psi }{\partial {\xi }^2}-\frac{1}{2}\frac{{\partial }^2\psi }{\partial {\tau }^2}+\epsilon \frac{B^{\text{'}}}{B}\frac{\partial \phi }{\partial \xi }=\mathrm{0,} \zeta =\pm \mathrm{1,}\end{array}$ (2.2)

где E – модуль Юнга, $\epsilon$ = h/R – малый параметр тонкостенности оболочки, R – характерное значение радиусов кривизны, B – расстояние до оси вращения, а постоянные g, k_c, $B_{\omega }$ определяются выражениями

$g=1-\frac{{\kappa }_R^2}{2}, B_{\omega }=2{\left[\frac{{\kappa }_R}{1-{\kappa }_R^2}+\frac{\kappa {\kappa }_R}{1-{\kappa }^2{\kappa }_R^2}-\frac{4{\kappa }_R}{2-{\kappa }_R^2}\right]}^{-1}, k_c=2+{\kappa }_R{B}_{\omega }.$

Отметим, что поведение НДС в области рассматриваемого погранслоя можно наглядно анализировать на примере нормального напряжения $\sigma$₃₃, выражающегося через потенциалы следующим образом:

3. Асимптотическое решение для эллиптического погранслоя в оболочках вращения при ударном воздействии нормального типа на лицевые поверхности. В цитируемой работе [8] приведено решение для рассматриваемого эллиптического погранслоя в случае цилиндрической оболочки. В этом случае уравнения (2.1)–(2.2) становятся уравнениями с постоянными коэффициентами, и для их решения были применены интегральные преобразования Лапласа по временной, а Фурье – по продольной переменной.

Разрешающие уравнения эллиптического погранслоя для рассматриваемого общего случая оболочек вращения имеют переменные коэффициенты, и поэтому вышеизложенная методика для нашего общего случая не подходит. Однако переменные коэффициенты являются при этом медленно изменяющимися по продольной координате. Это позволяет использовать в нашей работе, в качестве ключевого, метод экспоненциального представления в пространстве преобразования Лапласа по временной переменной. Главной особенностью предлагаемого здесь асимптотического подхода является определение выражения для изображения по Лапласу искомого решения в рассматриваемом случае оболочек вращения через известное решение для цилиндрической оболочки.

Рассмотрим сначала поведение потенциала $\psi$ на границе $\zeta$ = -1, определяемое первым уравнением системы (2.2), которое для его изображения по Лапласу примет вид

$\begin{array}{c}{\kappa }_R^2\frac{d^2{\psi }_0^L}{d{\xi }^2}-s^2{\psi }_0^L+\epsilon k_c\frac{B^{\text{'}}}{B}\frac{d{\psi }_0^L}{d\xi }=\frac{\left(1+\nu \right)h}{E}\frac{{\kappa }_R{B}_{\omega }}{b}{P}^L,\\ {\psi }_0=\psi {|}_{\zeta =-1}, {\psi }_0^L={\int }_0^{\infty }{\psi }_0{e}^{-st}d\tau , P^L=\left\{\begin{array}{c}\frac{p}{s},\left|\xi \right|\le L,\\ \mathrm{0,}\left|\xi \right|>L,\end{array}\right. \end{array}$ (3.1)

где s – параметр преобразования Лапласа.

Проанализируем свойства решения для двойного интегрального преобразования (Лапласа по времени и Фурье по продольной координате) граничного значения потенциальной функции $\psi$₀ в случае цилиндрической оболочки. Оно легко получается из (3.1) при B($\xi$₀) = const:

${\psi }_0^{LF}=-\sqrt{\frac{2}{\pi }}\frac{\left(1+\nu \right)h}{E}p\frac{{\kappa }_R{B}_{\omega }}{b}\frac{\sin \chi L}{s\chi \left({\kappa }_R^2{\chi }^2+s^2\right)},$

${\psi }_0^F=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\infty }{\overset{\infty }{}}{\psi }_0{e}^{-i\chi \xi }d\xi .$ (3.2)

Обращение преобразования Фурье для изображения (3.2) даёт, в соответствии с [11], следующее выражение для $\psi$₀^L:

$\begin{array}{c}{\xi }_0\le L_0: {\psi }_0^L=-\frac{\left(1+\nu \right)h}{E}\frac{{\kappa }_R{B}_{\omega }}{b}p\frac{1}{s^3}\left[1-\frac{1}{2}\left(e^{\frac{ {\xi }_0-L_0}{{\kappa }_R\epsilon }s}+e^{-\frac{ {\xi }_0+L_0}{{\kappa }_R\epsilon }s}\right)\right],\\ {\xi }_0\ge L_0: {\psi }_0^L=-\frac{\left(1+\nu \right)h}{E}\frac{{\kappa }_R{B}_{\omega }}{2b}p\frac{1}{s^3}\left(e^{- \frac{ {\xi }_0-L_0}{{\kappa }_R\epsilon }s}\text{}-e^{- \frac{ {\xi }_0+L_0}{{\kappa }_R\epsilon }s}\right), L_0=\epsilon L, {\xi }_0=\frac{\alpha }{R}. \end{array}$ (3.3)

В решении (3.3) слагаемые с $e^{\pm \frac{ {\xi }_0\pm L_0}{{\kappa }_R\epsilon }s}$ определяют волны, возбуждаемые границами приложения ударной поверхностной нагрузки $\xi$₀ = ±L₀. Так, в области $\xi$₀ > 0 граница $\xi$₀ = L₀ возбуждает прифронтовое поле в окрестности условного фронта поверхностных волн Рэлея $\xi$₀ = k_Rt₀ + L₀ (слагаемое exp{-[($\xi$₀ - L₀)/(k_Re)]s} ) и прифронтовое поле в окрестности фронта $\xi$₀ = L₀ – k_Rt₀ (слагаемое exp{[($\xi$₀ - L₀)/(k_Re)]s} ). В этой же области x₀ > 0 граница $\xi$₀ = -L₀ возбуждает прифронтовое поле в окрестности фронта $\xi$₀ = k_Rt₀ - L₀ (слагаемое exp{-[($\xi$₀ + L₀)/(k_Re)]s} ).

Отметим, что решение (3.3) можно непосредственно получить из (3.1) как линейную комбинацию частного решения неоднородного уравнения и общих решений уравнения однородного, определяющих вышеописанные волновые поля. Проведенный анализ позволяет построить асимптотическое решение уравнения (3.1) для общего случая оболочек вращения. Так, решения для волновых составляющих можно получить из однородного уравнения

${\kappa }_R^2\frac{d^2{\psi }_0^L}{d{\xi }^2}-s^2{\psi }_0^L+\epsilon k_c\frac{B^{\text{'}}}{B}\frac{d{\psi }_0^L}{d\xi }=0$ (3.4)

методом экспоненциальных представлений с погрешностью O(e) в виде

${\psi }_0^L=C\left(s\right)\Psi \left({\xi }_0,s\right)e^{\lambda \left(s\right)\frac{{\xi }_0}{\epsilon }},$ (3.5)

где $\lambda$(s)$\xi$₀ /e – специальный вид функции изменяемости, C(s) – постоянная интегрирования, а $\psi$($\xi$₀, s) – медленно изменяющаяся функция интенсивности, представляемая разложением в степенной ряд по малому параметру $\epsilon$.

Подставляя (3.5) в (3.4), получаем с погрешностью O(e²) следующее уравнение

$({\kappa }_R^2{\lambda }^2-s^2)\Psi -\epsilon \left(2{\kappa }^2\lambda {\Psi }^{\text{'}}+k_c\frac{B^{\text{'}}}{B}\lambda \Psi \right)=\mathrm{0,}$

которое даёт выражение для функции изменяемости

$\lambda =\pm \frac{1}{{\kappa }_R}s$

и нулевое приближение для функции интенсивности

$\Psi \left({\xi }_0,s\right)=\frac{1}{B^{k_r}}, k_r=\frac{k_c}{2{\kappa }_R^2} .$

Поскольку частное решение неоднородного уравнения (3.1) с погрешностью O(e) записывается в виде

${\psi }_0^L=-\frac{\left(1+\nu \right)h}{E}\frac{{\kappa }_R{B}_{\omega }}{b}p\frac{1}{s^3},$

полностью соответствующему такому же частному решению в (3.3), то общее решение уравнения (3.1) может быть получено при использовании волновых решений (3.5) за счёт выбора постоянных интегрирования C(s) при условии его непрерывности в точках $\xi$₀ = ±L₀. В итоге получаем следующее решение:

$\begin{array}{c}{\xi }_0\le L_0: {\psi }_0^L=-\frac{\left(1+\nu \right)h}{E}\frac{{\kappa }_R{B}_{\omega }}{b}\frac{1}{s^3}\left[1-\frac{1}{2}{\left(\frac{B\left( L_0\right)}{B\left({\xi }_0\right)}\right)}^{k_r}\left(e^{\frac{ {\xi }_0-L_0}{{\kappa }_R\epsilon }s}\text{}+e^{- \frac{ {\xi }_0+L_0}{{\kappa }_R\epsilon }s}\right)\right], \\ {\xi }_0\ge L_0: {\psi }_0^L=-\frac{\left(1+\nu \right)h}{E}\frac{{\kappa }_R{B}_{\omega }}{2b}\frac{1}{s^3}{\left(\frac{B\left( L_0\right)}{B\left({\xi }_0\right)}\right)}^{k_r}\left(e^{- \frac{ {\xi }_0-L_0}{{\kappa }_R\epsilon }s}-e^{- \frac{ {\xi }_0+L_0}{{\kappa }_R\epsilon }s}\right). \end{array}$ (3.6)

Полученное решение (3.6) полностью обобщает соответствующее решение (3.3) для случая цилиндрической оболочки. Поскольку нас интересуют асимптотики только в малых окрестностях условных фронтов волн Рэлея, то решение (3.6) можно переписать в форме

$\begin{array}{c}{\xi }_0\le L_0: {\psi }_0^L=-\frac{\left(1+\nu \right)h}{E}\frac{{\kappa }_R{B}_{\omega }}{b}\frac{1}{s^3}{\left(\frac{B\left( L_0\right)}{B\left({\xi }_0\right)}\right)}^{k_r}\left[1-\frac{1}{2}\left(e^{\frac{ {\xi }_0-L_0}{{\kappa }_R\epsilon }s}\text{}+e^{- \frac{ {\xi }_0+L_0}{{\kappa }_R\epsilon }s}\right)\right], \\ {\xi }_0\ge L_0: {\psi }_0^L=-\frac{\left(1+\nu \right)h}{E}\frac{{\kappa }_R{B}_{\omega }}{2b}\frac{1}{s^3}{\left(\frac{B\left( L_0\right)}{B\left({\xi }_0\right)}\right)}^{k_r}\left(e^{- \frac{ {\xi }_0-L_0}{{\kappa }_R\epsilon }s}-e^{- \frac{ {\xi }_0+L_0}{{\kappa }_R\epsilon }s}\right). \end{array}$ (3.7)

Таким образом, из вида асимптотики решения (3.7) следует, что она связана с соответствующим решением для цилиндрической оболочки следующим образом:

${\psi }_0^L={\left(\frac{B\left(L_0\right)}{B\left({\xi }_0\right)}\right)}^{k_r}\text{}{\psi }_{\mathrm{0,}c}^L,$ (3.8)

где $\psi$^L_0,c является соответствующим решением для цилиндрической оболочки.

Перейдём к определению потенциалов $\phi$, $\psi$ в основной области. Анализируем систему (2.1)–(2.2) и выражение (2.3), приходим к выводу, что только первое уравнение в граничных условиях (2.2) содержит в асимптотически главной части волновой оператор, определяющий НДС в окрестностях условных фронтов поверхностных волн Рэлея. Следовательно, только в этом уравнении нужно учитывать величины нулевого и первого порядка малости; в остальных же уравнениях достаточно удерживать только асимптотически главные величины. Следовательно, аналогично зависимости (3.8), все компоненты НДС могут быть представлены в виде

${\sigma }_{ij}^L={\left(\frac{B\left(L_0\right)}{B\left({\xi }_0\right)}\right)}^{k_r}\text{}{\sigma }_{j,c}{v}_i^L={\left(\frac{B\left(L_0\right)}{B\left({\xi }_0\right)}\right)}^{k_r}\text{}{v}_{i,c}^L.$

где $\sigma$_ij,c, v^L_i,c соответствующие решения для случая цилиндрической оболочки. Следовательно, аналогичные зависимости имеют место и для оригиналов:

Окончательно, используя результаты решения задачи об эллиптическом погранслое для цилиндрической оболочки [8], получаем следующее решение для напряжения $\sigma$₃₃:

$\begin{array}{c} {\sigma }_{33}=\frac{B_{\omega }p}{2\pi {\text{κ}}_R}{\left[\frac{B\left(L_0\right)}{B\left({\xi }_0\right)}\right]}^{k_r}\left[-\text{\hspace{0.17em}arctg}\left(\frac{2La\left(\zeta +1\right)}{a^2{\left(\zeta +1\right)}^2\text{}-L^2+{\left(\xi -{\text{\hspace{0.33em}κ}}_R\tau \right)}^2}\right)+\right.\\ +\text{\hspace{0.33em}}\left.\text{arctg}\left(\frac{2Lb\left(\zeta +1\right)}{b^2{\left(\zeta +1\right)}^2-L^2+{\left(\xi -{\text{\hspace{0.33em}κ}}_R\tau \right)}^2}\right)\right].\end{array}$ (3.9)

Асимптотический анализ решения (3.9) показывает, что вне малых окрестностей условного фронта волны Рэлея его порядок уменьшается до O($\epsilon$). Отметим также следующую особенность рассматриваемого решения: вне узкой прифронтовой зоны эллиптического погранслоя [8, 9] порядка O($\epsilon$²) решение для $\sigma$₃₃ имеет порядок O(1) только в малой приторцевой зоне $\zeta$ + 1 = O($\epsilon$). Следовательно, важнейшее предположение о достаточности отдельного рассмотрения волн, инициируемых каждой лицевой поверхностью, полностью оправдывается при построении решения в этой области:

${\xi }_0-({\text{κ}}_R{\tau }_0\pm L_0)= O\left({\epsilon }^2\right),$

где, как и показывают численные расчёты, имеет место первый скачок напряжения $\sigma$₃₃.

4. Анализ решения для эллиптического погранслоя в случае сферической оболочки. Рассмотрим свойства решения для нормального напряжения $\sigma$₃₃ в зависимости от пространственных переменных и времени на примере сферической оболочки. На рис. 2 изображена схема сечения срединной поверхности такой оболочки плоскостью, проходящей через центр сферы. Для наглядности определения зависимости B (расстояния от текущей точки срединной поверхности до оси вращения) введены следующие обозначения: точка T – пересечение торцевой поверхности со срединной линией; точка A соответствует координате a₀; точка O₂ – граничная точка оси вращения; a₀ – текущая координата; углы $\theta$_T и $\theta$_a соответствуют радиусам до точек T и A. Поскольку $\theta$_a = a/R, получаем выражение для B(a₀) через a₀ и угол $\theta$_T

$B=R\sin {\theta }_R=\sin \left({\theta }_T+\frac{\alpha }{R}\right).$ (4.1)

Рис. 2. Геометрия сечения сферической оболочки.

Выражение (4.1) даёт возможность полностью определить закон распределения напряжения $\sigma$₃₃ по координатам и времени в области действия эллиптического погранслоя.

На рис. 3. изображены графики нормального напряжения s₃₃ в малой окрестности условного фронта волны Рэлея $\xi$₀ = k_Rt₀ + L₀, возбуждаемого границей приложения нагрузки $\xi$₀ = L₀. Здесь кривые 1, 2, 3 соответствуют значениям нормальной координаты z = -0.99, -0.96, -0.92. Расчёты проведены для момента безразмерного времени t₀ = 1. Геометрические и механические параметры принимались следующими: L₀ = 0.2, $\theta$_T = 0.93, n = 0.3, k_R = 0.93.

Рис. 3. График нормального напряжения $\mathit{\sigma }$₃₃ в малой окрестности условного фронта волны Рэлея $\mathit{\xi }$₀ = k_Rt₀ + L₀ в момент времени t₀ = 1 для значений нормальной координаты $\mathit{\zeta }$ = -0.99,-0.96,-0.92.

Расчёты подтверждают выводы предшествующего параграфа: первый скачок напряжения сосредоточен в узкой прифронтовой зоне и полностью сосредоточен в малой окрестности лицевой поверхности.

5. Заключение. В данной статье впервые представлен специфический асимптотический метод решения задачи для эллиптического погранслоя в произвольных оболочках вращения при ударных поверхностных нагрузках нормального типа. Он основан на решении на первом этапе базовой задачи для граничного значения потенциальной функции методом экспоненциальных представлений в пространстве интегрального преобразования Лапласа по временной переменной с последующим представлением компонент НДС через соответствующие компоненты эталонной задачи для цилиндрической оболочки. Проведённые численные расчёты полностью подтверждают правильность предложенного асимптотического подхода.

作者简介

I. Kirillova

编辑信件的主要联系方式.
Email: nano-bio@info.sgu.ru
俄罗斯联邦, Saratov

参考

补充文件

附件文件

动作

1. JATS XML

下载

2. Fig. 1. Semi-infinite shell of rotation.

下载 (57KB)

索引源数据

3. Fig. 2. Cross-sectional geometry of a spherical shell.

下载 (51KB)

索引源数据

4. Fig. 3. Plot of normal stress 33 in the small neighborhood of the Rayleigh wave front at time for values of the normal coordinate.

下载 (117KB)

索引源数据