On the Stability of Stationary Solutions of the Equations of Motion of the Goryachev–Sretensky Gyrostat

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

The equations of motion of the Goryachev–Sretensky gyrostat are studied. It has been established that one component of the angular velocity vector oscillates with zero average value on all solutions outside the set of zero level of the area integral. All stationary solutions are found, including two states of rest and two parametric families of permanent rotations. Using Chetaev’s method of integral connectives, sufficient conditions for the stability of stationary solutions are obtained. Based on the analysis of the roots of the characteristic equation, instability conditions were obtained. The possibility of gyroscopic stabilization due to the moment of circular-gyroscopic forces under certain conditions has been established.

About the authors

A. A. Kosov

Matrosov Institute for System Dynamics and Control Theory of Siberian Branch of Russian Academy of Sciences

Author for correspondence.
Email: kosov_idstu@mail.ru
664033, Irkutsk, Russia

References

  1. Голубев В.В. Лекции по интегрированию уравнений движения твердого тела около неподвижной точки. М.: Гостехиздат, 1953. 287 с.
  2. Борисов А.В., Мамаев И.С. Динамика твердого тела. Ижевск: НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, 2001. 384 с.
  3. Гашененко И.Н., Горр Г.В., Ковалев А.М. Классические задачи динамики твердого тела. Киев: Наукова думка, 2012. 401 с.
  4. Горячев Д.Н. О движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки в случае A = B = 4C // Матем. сб. 1900. Т. 21. Вып. 3. С. 431–438.
  5. Чаплыгин С.А. Новый случай вращения тяжелого твердого тела, подпертого в одной точке // Тр. Отд. физ. наук Об-ва любителей естествознания. 1901. Т. 10. Вып. 2. С. 32–34.
  6. Сретенский Л.Н. О некоторых случаях интегрируемости уравнений движения гиростата // Докл. АН СССР. 1963. Т. 149. № 2. С. 292–294.
  7. Козлов В.В. Методы качественного анализа в динамике твердого тела. Ижевск: НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, 2000. 256 с.
  8. Гашененко И.Н. О решении Д.Н. Горячева // Механика твердого тела. 2009. Вып. 39. С. 29–41.
  9. Харламов М.П. Топологический анализ интегрируемых задач динамики твердого тела. Л.: ЛГУ, 1988. 144 с.
  10. Маркеев А.П. О тождественном резонансе в одном частном случае задачи об устойчивости периодических движений твердого тела // Изв. РАН. МТТ. 2003. № 3. С. 32–37.
  11. Бардин Б.С. К задаче об устойчивости маятникообразных движений твердого тела в случае Горячева–Чаплыгина // Изв. РАН. МТТ. 2007. № 2. С. 14–21.
  12. Карапетян А.В. Инвариантные множества механических систем с симметрией // Проблемы устойчивости и управления. М.: Физматлит, 2013. С. 184–210.
  13. Щетинина Е.К. Новые решения уравнений Гриоли–Пуассона в случае инвариантного соотношения // Вiсник Донецького нацiонального унiверситету. Сер. А. Природничi науки. 2010. № 2. С. 24–28.
  14. Горр Г.В., Мазнев А.В. О решениях уравнений движения твердого тела в потенциальном силовом поле в случае постоянного модуля кинетического момента // Механика твердого тела. 2017. Вып. 47. С. 12–24.
  15. Yehia H.M. Regular precession of a rigid body (gyrostat) acted upon by an irreducible combination of three classical fields // J. Egyp. Math. Soc. 2017. V. 25. № 2. P. 216–219. https://doi.org/10.1016/j.joems.2016.08.001
  16. Зыза А.В. Компьютерное исследование полиномиальных решений уравнений динамики гиростата // Компьют. исслед. моделир. 2018. Т. 10. № 1. С. 7–25. https://doi.org/10.20537/2076-7633-2018-10-1-7-25
  17. Grioli G. Questioni di dinamica del corpo rigido // Atti. Accad. Naz. Lincei, Rend. Cl. Sci. Fis., Mat. e Natur. 1963. V. 35. f. 1–2. P. 35–39.
  18. Козлов В.В. К задаче о вращении твердого тела в магнитном поле // Изв. АН СССР. МТТ. 1985. № 6. С. 28–33.
  19. Мерцалов Н.И. Задача о движении твердого тела, имеющего неподвижную точку при A = B = 4C и интеграле площадей ≠0 // Изв. АН СССР. Отделение техн. наук. 1946. № 5. С. 697–701.
  20. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. Работы по аналитической механике. М.: Изд-во АН СССР, 1962. 535 с.
  21. Рубановский В.Н., Самсонов В.А. Устойчивость стационарных движений в примерах и задачах. М.: Наука, 1988. 304 с.
  22. Макеев Н.Н. Интегрируемость гиростатических систем в магнитном поле // Проблемы механики и управления. Нелинейные динамические системы. 2003. Вып. 5. С. 49–70.
  23. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. М.: Физматлит, 1987. 304 с.
  24. Румянцев В.В. Об устойчивости движения гиростатов // ПММ. 1961. Т. 25. Вып. 1. С. 9–16.
  25. Анчев А. О перманентных вращениях тяжелого гиростата, имеющего неподвижную точку // ПММ. 1967. Т. 31. Вып. 1. С. 49–58.
  26. Дружинин Э.И. Устойчивость стационарных движений гиростатов // Труды Казанского авиационного института Казань: Изд-во КАИ. 1966. Вып. 92. С. 12–23.
  27. Дружинин Э.И. Об устойчивости стационарных движений гиростатов в вырожденных случаях // Труды Казанского авиационного института Казань: Изд-во КАИ. 1968. Вып. 97. С. 30–48.
  28. Ковалев А.М. Устойчивость равномерных вращений тяжелого гиростата вокруг главной оси // ПММ. 1980. Т. 44. Вып. 6. С. 994–998.
  29. Vera J.A. The gyrostat with a fixed point in a Newtonian force field: Relative equilibria and stability // J. Math. Anal. Appl. 2013. V. 401. № 3. P. 836–849. https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2012.11.003
  30. de Bustos Munoz M.T., Guirao J.L.G., Vera Lopez J.A., Campuzano A.V. On sufficient conditions of stability of the permanent rotations of a heavy triaxial gyrostat // Qualit. Theory Dyn. Syst. 2015. V. 14. № 2. P. 265–280. https://doi.org/10.1007/s12346-014-0128-6
  31. Iñarrea M., Lanchares V., Pascual A.I., Elipe A. Stability of the permanent rotations of an asymmetric gyrostat in a uniform Newtonian field // Appl. Math. Comput. 2017. V. 293. P. 404–415. https://doi.org/10.1016/j.amc.2016.08.041
  32. Kosov A.A., Semenov E.I. On first integrals and stability of stationary motions of gyrostat // Physica D. Nonlin. Phenom. 2022. V. 430. P. 133103. https://doi.org/10.1016/j.physd.2021.133103
  33. Lanchares V., Iñarrea M., Pascual A.I., Elipe A. Stability conditions for permanent rotations of a heavy gyrostat with two constant rotors // Mathematics. 2022. V. 10. P. 1882. https://doi.org/10.3390/math10111882

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2023 А.А. Косов

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».