Том 33, № 6 (2025)
Бифуркации в динамических системах. Детерминированный хаос. Квантовый хаос
О взаимодействии системы с многочастотными колебаниями с хаотическим генератором
Аннотация
Цель работы: изучение влияния динамики хаотической системы на систему с многочастотной квазипериодичностью и сценарием Ландау-Хопфа. В качестве объекта исследования выбраны хаотическая система Кислова-Дмитриева и ансамбль расстроенных по частоте осцилляторов ван дер Поля с неидентичными параметрами возбуждения. Методы. Анализ проводился с помощью графиков показателей Ляпунова и использованием критерия идентификации на их основе типов квазипериодических бифуркаций. Результаты. Представлены сценарии изменения типов режимов при уменьшении величины связи подсистем. Они могут иметь определенные особенности. Так переход от трехчастотного к четырехчастотному режиму происходит не через квазипериодическую бифуркацию Хопфа, а через окно хаоса, характеризующегося тремя или четырьмя нулевыми показателями Ляпунова. Внутри этого хаотического окна возможна своеобразная бифуркация, отвечающая увеличению числа нулевых показателей Ляпунова по типу седло-узловой бифуркации Хопфа. При вариации параметра связи осцилляторов ван дер Поля наблюдается хаос с разным числом нулевых показателей. В этом случае каскад точек, отвечающих поэтапному увеличению числа нулевых показателей в хаосе, происходит по другому сценарию. Он в определенной мере аналогичен квазипериодической бифуркации Хопфа. При увеличении управляющего параметра системы Кислова-Дмитриева в объединенной системе возможно появление гиперхаоса с тремя нулевыми показателями Ляпунова. Также возможен инвертированный порядок изменения режимов – трехчастотный режим через хаотическое окно превращается в четырехчастотный. Заключение. Полученные результаты обогащают представления о высокоразмерном хаосе с несколькими нулевыми показателями Ляпунова и его трансформациях при изменении параметра.
Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика. 2025;33(6):785-803
785-803
Прикладные задачи нелинейной теории колебаний и волн
Нелинейные колебания высотного сооружения с динамическим гасителем колебаний
Аннотация
Цель. Исследование динамического поведения высотных сооружений с динамическим гасителем колебаний при различных кинематических воздействиях с учетом нелинейно упругих, вязкоупругих, упругопластических свойств материала сооружения и вязкоупругих свойств гасителя колебаний. Динамические гасители колебаний позволяют использовать их как на стадии проектирования, разработки и создания конструкций, так и в случае выявления недостатков качества конструкций в процессе их эксплуатации и настройка позволяет просто получить желаемый эффект уменьшения уровня колебаний. Методы. Предложена математическая модель, методика и алгоритм для оценки динамического поведения высотных сооружений с динамическим гасителем колебаний с учетом нелинейных свойств материала при реальном характере работы сооружения. Для учета внутренней диссипации в материале сооружения используется нелинейная наследственная модель вязкоупругости Больцмана-Вольтерра и упругопластические свойства на основе билинейной диаграммы, характеризуемая петлей гистерезиса, описывающей зависимость реакции сооружения от деформации, представленной в виде параллелограмма. Результаты. Исследованы вынужденные колебания высотных сооружений вблизи резонансного режима с учетом линейно, нелинейно упругих, вязкоупругих и упругопластических свойств материала сооружения с динамическим гасителем колебаний при различных кинематических воздействиях в основании. Достоверность методики проверялась тестовым примером с рассмотрением реакции упругопластической рамы как системы с одной степенью свободы при заданной нагрузке. Выявлен эффект гашения колебаний высотного сооружении при учете нелинейно вязкоупругих и упругопластических свойств материала сооружения совместно с вязкоупругим динамическим гасителем колебаний. Заключение. Установлено влияние диссипативных свойств материала на колебания сооружения. Предложены рекомендации для оптимизации работы сооружения с учетом динамического гасителя колебаний. Выявлена эффективность гашения колебаний высотного сооружения при учете нелинейно вязкоупругих и упругопластических свойств материала сооружения совместно с вязкоупругим динамическим гасителем колебаний.
Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика. 2025;33(6):804-822
804-822
Модуляционная неустойчивость и формирование солитонов при взаимодействии электромагнитной волны с потоком невозбужденных неизохронных электронов–осцилляторов
Аннотация
В работе развивается теория модуляционной неустойчивости (МН) при взаимодействии электромагнитной волны со встречным потоком невозбужденных электронов-осцилляторов в условиях циклотронного резонанса. Цель настоящего исследования состоит в установлении картины возможных режимов распространения волны в такой системе. Методы. Теоретический анализ проводится на основе нелинейного уравнения Шрёдингера, которое позволяет установить условия возникновения МН и получить простое аналитическое выражение для границы перехода МН от абсолютной к конвективной на плоскости параметров частота – амплитуда волны. Теоретические выводы о возможных режимах распространения волны верифицируются прямым 3-D моделированием электронно-волнового взаимодействия методом «частиц в ячейке» (particle-in-cell, PIC). Результаты. Показано, что выше границы полосы циклотронного поглощения имеют место нестационарные режимы автомодуляции, связанные с развитием МН абсолютного характера, которые могут приводить к формированию последовательностей солитоноподобных импульсов. При повышении частоты входного сигнала автомодуляция сменяется стационарным одночастотным прохождением сигнала, что обусловлено сменой характера МН с абсолютного на конвективный. Результаты прямого 3-D PIC моделирования согласуются с выводами, полученными на основе анализа системы усредненных уравнений. При увеличении частоты входного сигнала наблюдается одна и та же последовательность переходов между различными динамическими режимами. Заключение. Проведённое 3-D PIC моделирование позволило исследовать ситуацию, близкую к условиям возможного эксперимента. Продемонстрирована возможность преобразования сигнала с частотой 241.3 ГГц в последовательность наносекундных импульсов, которая близка к периодической. Такой эффект представляет интерес для генерации частотных гребёнок в микроволновом диапазоне.
Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика. 2025;33(6):823-842
823-842
Моделирование глобальных процессов. Нелинейная динамика и гуманитарные науки
Пространственно-временные сценарии мультистабильности для системы трех конкурирующих видов
Аннотация
Цель настоящей работы – определение условий, при которых возможна мультистабильность в системе трех конкурирующих видов, описываемой уравнениями реакции–диффузии–адвекции. Методы. С использованием теории косимметрии и концепции идеального свободного распределения устанавливаются соотношения на коэффициенты локального взаимодействия, диффузии и направленной миграции, при которых возможны непрерывные семейства решений. Компактная схема метода конечных разностей применяется для дискретизации задачи о распределении видов на одномерном пространственном ареале с условиями периодичности. Результаты. Найдены соотношения на параметры, при которых получаются пропорциональные ресурсу стационарные решения, отвечающие идеальному свободному распределению (ИСР). Изучены условия, при которых существуют двухпараметрические семейства стационарных распределений. Для параметров, отвечающих ИСР, в вычислительном эксперименте получено семейство периодических режимов. Заключение. Полученные результаты демонстрируют варианты мультистабильности видов на неоднородном по ресурсу ареале и далее послужат основой для анализа систем взаимодействующих популяций.
Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика. 2025;33(6):843-859
843-859
Новое в прикладной физике
О планарных моделях резистивного усилителя (теория и моделирование)
Аннотация
Цель настоящей работы – исследование планарного резистивного усилителя с метаматериалом и обоснование применимости его простых моделей для первичных оценок. Методы. Рассматривается две двумерные модели. Первая модель: ленточный пучок, бесконечно широкий по одной из осей, в сильном продольном магнитном поле летит между слоями метаматериала, плоскость симметрии проходит по середине пучка, параллельно ему; над и под метаматериалом через вакуумный промежуток располагаются металлические пластины, которые являются границами электродинамической системы. Вторая: периодическая структура из тонких ленточных пучков, бесконечно широких по одной из осей, разделенных толстыми слоями метаматериала. В обоих случаях частотные свойства метаматериала учитываются по модели Друде. Выводятся дисперсионные уравнения для этих моделей. Показан предельный переход к одномерной линейной теории. Проводится анализ и сравнение результатов линейной теории и численного моделирования в CST Particle Studio для каждой модели. В численных экспериментах проводится модуляция пучка по плотности. В линейном режиме оценивается коэффициент усиления по отношению максимумов амплитуд Фурье-преобразования тока на коллекторе к току эмиссии. Результаты и заключение. Полученные теоретические результаты показывают чувствительность модели к геометрическим размерам и свойствам среды. Показано, что за счет использования метаматериала можно получить существенное увеличение переменного тока. Показано качественное соответствие результатов планарной линейной теории и численного эксперимента для обеих моделей. Сформулирована иерархия моделей.
Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика. 2025;33(6):860-872
860-872
Нелинейная динамика и нейронаука
Нелинейные свойства тета-ритма головного мозга
Аннотация
Цель настоящего исследования — выявить возможные нелинейные свойства сигналов локальных потенциалов мозга при тета-ритме. Методы. Нелинейность в сигнале проявляется в синхронном поведении основной частоты и её высших гармоник, для диагностики чего использовались скелетоны в разных частотных диапазонах, рассчитывался коэффициент фазовой синхронизации и кросспектральный анализ. Результаты. По многочасовым записям у 14 животных были выделены основная частота и вторая гармоника в спектре во время тета-ритма. На основании построенных по этим записям скелетонов была диагностирована частотная синхронизация между основной частотой и второй гармоникой в отношении 2:1 на промежутках до 10 с в обоих симметричных отведениях. Также в ряде записей была диагностирована и фазовая синхронизация, но на более коротких промежутках – порядка 2–4 с. Заключение. Исследование доказало, что наблюдаемая при тета-ритме у здоровых лабораторных животных в спектре сигналов локальных потенциалов мозга компонента на частотах порядка удвоенной основной частоты ритма – действительно вторая гармоника основной частоты ритма. Таким образом, тета-ритм часто является существенно нелинейным сигналом.
Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика. 2025;33(6):873-897
873-897
Влияние внутреннего шума на точность работы свёрточной нейронной сети
Аннотация
Цель настоящего исследования – установить особенности распространения и накопления шумов в свёрточной нейронной сети. В данной статье рассматривается, как меняется точность работы обученной свёрточной сети в зависимости от типа шумового воздействия и его интенсивности. Методы. В качестве источников шумов рассматриваются источники белого гауссовского шума. В зависимости от способа воздействия шума на искусственные нейроны использовалось аддитивное и мультипликативное шумовое воздействие, а в зависимости от влияния на слой нейронов рассматривалось коррелированное и некоррелированное воздействие. Результаты. Было показано, что аддитивные шумы (как коррелированный, так и некоррелированный) в сетях со свёрточным слоем накапливаются сильнее, чем в сети без него. Зависимости точности работы сети от интенсивности мультипликативного коррелированного шума выглядят одинаково для сетей со свёрточным слоем и без, а аналогичные зависимости для мультипликативного некоррелированного шума выглядят гораздо лучше для сети со свёрточным слоем. Также были рассмотрены слои дискретизации с MaxPooling и MeanPooling. Их использование позволяет существенно поднять точность при наличии аддитивного шума в свёрточном слое. Спадание точности при увеличении интенсивности мультипликативного коррелированного шума практически одинаковое для сетей со слоем субдискретизации и без него. Что же касается некоррелированного мультипликативного шума, то сети с MaxPooling менее устойчивы к его воздействию. Заключение. Показано, что аддитивный шум сильно ухудшает работу сети при наличии свёрточного слоя, однако его негативное воздействие можно уменьшить при наличии слоя субдискретизации сразу после слоя свёртки. Для мультипликативного шума выводы не такие однозначные. В большинстве случаев его влияние одинаково независимо от наличия слоев свёртки и субдискретизации. Однако использование MaxPooling в слое субдискретизации делает сеть менее устойчивой к мультипликативному некоррелированному шумовому воздействию.
Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика. 2025;33(6):898-916
898-916
Модифицированный осциллятор ФитцХью-Нагумо со спайковой активностью, зависящей от длительности внешнего импульсного воздействия
Аннотация
Цель работы – разработка и исследование модифицированного осциллятора ФитцХью-Нагумо, спайковая активность которого определяется не только амплитудой, но и длительностью внешнего импульсного сигнала, поступающего на вход осциллятора. Методы. В систему известных уравнений, описывающих динамику осциллятора ФитцХью-Нагумо с постоянным значением порогового параметра, добавлено уравнение, которое описывает изменение порогового параметра во времени под действием внешних импульсных сигналов. При различных значениях параметров внешних импульсов проведено численное исследование динамики предложенного осциллятора, находящегося в состоянии равновесия в отсутствие внешнего воздействия. Результаты. Показано, что в отличие от классического осциллятора ФитцХью-Нагумо модифицированный осциллятор способен демонстрировать последовательность из нескольких спайков в ответ на одиночное внешнее импульсное воздействие, причем динамика осциллятора зависит как от амплитуды, так и от длительности внешних импульсов. Кроме того, предложенный осциллятор может возбуждаться последовательностью импульсов, имеющих амплитуду ниже пороговой. Заключение. Предложенный модифицированный осциллятор ФитцХью-Нагумо может быть использован для построения спайковых нейронных сетей. Обучение таких сетей можно реализовать с помощью изменения синаптических связей за счет настройки весов синапсов, соответствующих длительности внешних импульсных сигналов. Предложенная модификация осциллятора ФитцХью-Нагумо может быть достаточно просто реализована в радиофизическом эксперименте с использованием аналоговых электронных элементов и цифровых схем, регулирующих длительности входных импульсов.
Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика. 2025;33(6):917-928
917-928
Нелинейные волны. Солитоны. Автоволны. Самоорганизация
Обращение степенных рядов и точные решения уравнений нелинейной математической физики
Аннотация
Цель. Разработка нового метода нахождения точных решений уравнений нелинейной математической физики. Методы. Частичная сумма ряда метода возмущений, записанная для исходного нелинейного уравнения, представляется в форме степенного ряда по степеням экспоненциальной функции, являющейся решением линеаризованного уравнения. Рациональная производящая функция последовательности коэффициентов степенного ряда представляет собой точное решение исходного уравнения. Метод основан на использовании свойства, состоящего в том, что обращенные степенные ряды для солитоноподобных решений обрываются, начиная со степени, не менее чем на единицу превосходящей порядок полюса решения. Результаты. Эффективность метода продемонстрирована при построении точных локализованных решений неинтегрируемого уравнения Кортевега–де Вриза–Бюргерса, а также нелинейных интегрируемых дифференциально-разностных уравнений. Заключение. Предложенный метод применим для решения интегрируемых и неинтегрируемых дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, а также интегрируемых дифференциально-разностных уравнений.
Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика. 2025;33(6):929-942
929-942