Том 59, № 11 (2023)

Рассмотрена модель взаимодействия вируса иммунодефицита человека с иммунной системой человека. Проанализированы положения равновесия в фазовом пространстве системы и их устойчивость, построены итоговые (предельные) границы траекторий. Доказано, что локальная асимптотическая устойчивость положения равновесия, соответствующего отсутствию болезни, равносильна его глобальной асимптотической устойчивости. Показано, что потеря устойчивости вызвана транскритической бифуркацией.

Рассмотрена первая смешанная задача для системы Власова—Пуассона с внешним магнитным полем в области с кусочно-гладкой границей. Эта задача описывает кинетику двухкомпонентной высокотемпературной плазмы под действием самосогласованного электрического поля и внешнего магнитного поля. Доказано существование глобальных слабых решений. В случае цилиндрической области получены достаточные условия существования глобальных слабых решений с носителями в строго внутреннем цилиндре, что соответствует удержанию высокотемпературной плазмы в пробочной ловушке.

Рассматривается задача оптимального управления динамической системой, движение которой описывается дифференциальным уравнением с дробной производной Капуто, на минимум терминального показателя качества. Изучается связь между необходимым условием оптимальности в форме принципа максимума Понтрягина и уравнением Гамильтона--Якоби--Беллмана с так называемыми дробными коинвариантными производными. Доказывается, что сопряжённая переменная из принципа максимума Понтрягина совпадает с точностью до знака с дробным коинвариантным градиентом функционала оптимального результата, вычисленным вдоль оптимального движения.

Рассматривается линейно-выпуклая управляемая система, задаваемая совокупностью дифференциальных уравнений, с непрерывными матричными коэффициентами. В системе могут быть управляющие параметры, а также неопределённости (помехи), на возможные значения которых наложены жёсткие поточечные ограничения. Для данной системы на конечном отрезке времени с учётом ограничений исследуется задача гарантированного попадания на целевое множество из заданной начальной позиции, несмотря на действие помехи. Основным этапом решения задачи является построение альтернированного интеграла и множества разрешимости. Для построения последнего наибольшую вычислительную сложность представляет вычисление геометрической разности целевого множества и множества, определяемого помехой. Рассматривается двумерный пример указанной задачи, для которого предлагается способ нахождения множества разрешимости без необходимости овыпукления разности опорных функций множеств.

Рассмотрена дискретная стационарная система с мультипликативными шумами с реализацией в пространстве состояний. Внешнее возмущение выбрано из класса стационарных эргодических последовательностей ненулевой цветности. Уровень средней анизотропии внешнего возмущения считаем ограниченным известным значением. Получены условия ограниченности анизотропийной нормы заданным числом в терминах решения матричной системы неравенств с выпуклым ограничением специального вида. Продемонстрировано, как на основе полученных условий построить статическое управление по состоянию, обеспечивающее минимальное значение анизотропийной нормы замкнутой этим управлением системы.

Исследуется модель системы хищник-жертва с возможной инфекцией жертв в виде трёхмерной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. С помощью метода локализации инвариантных компактов доказывается существование аттрактора и находится компактное положительно инвариантное множество, оценивающее его положение. Находятся условия вымирания популяций и существования положений равновесия. Предлагается численный метод нахождения бифуркации Хопфа пространственного положения равновесия и приводится пример возникающего устойчивого предельного цикла.