Том 61, № 1 (2025)

Исследован вопрос существования классического решения начальной задачи в полосе с неполными данными на одной её границе для гиперболического дифференциально-разностного уравнения, содержащего суперпозицию дифференциального оператора и оператора сдвига по пространственной переменной, изменяющейся на всей вещественной оси. Решение задачи получено в явном виде с помощью операционной схемы Гельфанда–Шилова.

Исследована краевая задача для уравнения диффузии с кусочно-постоянными аргументами. Установлены условия существования бесконечного числа решений (найдены их явные формулы) или отсутствия решения для дифференциального уравнения, полученного после разделения переменных. Приведены примеры, иллюстрирующие полученные результаты.

Для двумерного волнового уравнения в цилиндрической области изучена первая граничная задача, установлен критерий единственности её решения, которое построено в виде суммы ортогонального ряда. При обосновании сходимости ряда решена проблема малых знаменателей от двух натуральных аргументов. Установлена оценка об отделимости от нуля с соответствующей асимптотикой, что позволило доказать сходимость ряда в классе регулярных решений и устойчивость решения задачи.

Исследованы вопросы существования и единственности непрерывного ограниченного и положительного решения системы нелинейных многомерных интегральных уравнений, скалярный аналог которой при различных представлениях соответствующего матричного ядра и нелинейностей имеет важное прикладное значение в ряде задач физики и биологии. Предложен специальный итерационный подход для построения положительного непрерывного и ограниченного решения исследуемой системы. Показано, что соответствующие итерации равномерно сходятся к непрерывному решению указанной системы. С использованием некоторых априорных оценок для функций со строго вогнутыми графиками доказана единственность решения в достаточно широком подклассе непрерывных ограниченных и покоординатно неотрицательных вектор-функций. В случае когда интеграл матричного ядра имеет единичный спектральный радиус, установлено, что в определённом подклассе непрерывных ограниченных и покоординатно неотрицательных вектор-функций данная система имеет только тривиальное решение, являющееся собственным вектором матрицы интегрального ядра.

Рассматриваются задачи динамической реконструкции входных воздействий системы обыкновенных дифференциальных уравнений, а также отслеживания траекторией одной системы траектории другой, подверженной влиянию неизвестного входного воздействия. Предполагается, что входное воздействие является неограниченной функцией, а именно — элементом пространства функций, суммируемых с квадратом евклидовой нормы. Предлагаются два устойчивых к информационным помехам и погрешностям вычислений алгоритма решения указанных задач, ориентированных на компьютерную реализацию. Устанавливаются оценки сверху скоростей их сходимости. Алгоритмы основаны на конструкциях теории управления по принципу обратной связи и функционируют в условиях измерения (с ошибками) в дискретные моменты времени фазовых состояний заданных систем.

Исследована задача о назначении желаемого характеристического полинома линейной стационарной динамической системы с одним входом и динамической обратной связью по выходу в виде динамического компенсатора первого порядка. Получены необходимые и достаточные условия существования решения задачи и явная формула для параметров компенсатора, аналогичная формуле Басса–Гура для системы с обратной связью по состоянию.