Том 60, № 5 (2024)

Рассматривается связанная система, описывающая взаимодействие нелинейной дифференциальной подсистемы с нелинейностями секторного типа и линейной разностной подсистемы. Предполагается, что система является позитивной. Строится диагональный функционал Ляпунова–Красовского и определяются условия, при выполнении которых с помощью такого функционала можно доказать абсолютную устойчивость изучаемой системы. В случае нелинейностей степенного вида выводятся оценки скорости стремления решений к началу координат. Проводится анализ устойчивости соответствующей системы с переключениями параметров. Находятся достаточные условия, гарантирующие асимптотическую устойчивость нулевого решения при любом допустимом законе переключения.

Под стохастической дифференциально-разностной гибридной системой понимается система взаимосвязанных переменных, в которой динамика одних переменных описывается при помощи стохастических дифференциальных уравнений, а других — посредством разностных уравнений. Рассматриваются системы с разностными уравнениями двух видов: уравнением, описывающим процесс наблюдения с мультипликативным винеровским шумом, и уравнением с запаздыванием. Доказаны теоремы существования и единственности решений каждой из систем. Основные условия на параметры систем — локальные условия Липшица и линейный порядок роста.

Обоснованы формальные асимптотики, описывающие типичные провальные особенности сборки квазиклассических приближений к решениям двух вариантов интегрируемого нелинейного уравнения Шрёдингера −𝑖𝜀Ψ′𝑡=𝜀2Ψ′′𝑥𝑥±2|Ψ|2Ψ, где 𝜀 — малый параметр. При этом использованы идеология и факты математической теории катастроф, а также часть теоремы Ю.Ф. Коробейника, касающаяся аналитических при ℎ→0 решений 𝐺(ℎ, 𝑢) линейного уравнения смешанного типа ℎ𝐺′′ℎℎ = 𝐺′′𝑢𝑢, которому эквивалентны образы годографа обоих вариантов систем уравнений таких квазиклассических приближений.

Исследуется двухпараметрическая задача мультипликативного управления для модели электронно-индуцированной зарядки неоднородного полярного диэлектрика. Выводятся точные оценки локальной устойчивости её оптимальных решений относительно малых возмущений как функционалов качества, так и заданной функции краевой задачи. Для одного из управлений устанавливается свойство релейности или принцип bang–bang.

Рассмотрена нелинейная по фазовым переменным система обыкновенных дифференциальных уравнений с управляющими параметрами, на возможные значения которых наложены поточечные ограничения. Необходимо решить задачу о переводе траектории системы из произвольной начальной позиции в наименьшую возможную окрестность заданного целевого множества на фиксированном отрезке времени за счёт выбора соответствующего позиционного управления. Для её решения построена непрерывная кусочно-кубическая функция специального вида. Множества уровней этой функции задают внутренние оценки для множеств разрешимости исследуемой системы. Используя указанную функцию, можно также построить синтез управлений, решающий задачу целевого управления на конечном отрезке времени. Предложены формулы для расчёта значений кусочно-кубической функции, исследованы её свойства, рассмотрен алгоритм поиска задающих эту функцию параметров.

Предложена новая симметричная вариационная функционально-алгебраическая постановка задачи на собственные значения в гильбертовом пространстве с линейной зависимостью от спектрального параметра для класса математических моделей тонкостенных конструкций с присоединённым осциллятором. Установлено существование собственных значений и собственных векторов. Построена симметричная аппроксимация задачи в конечномерном подпространстве с линейной зависимостью от спектрального параметра. Получены оценки погрешности приближённых собственных значений и собственных векторов. Теоретические результаты иллюстрируются на примере задачи механики конструкций.