Email this article TYPICAL DROPPING ASYMPTOTICS OF QUASICLASSICAL APPROXIMATIONS TO SOLUTIONS OF THE NONLINEAR SCHRÖDINGER EQUATION
- Authors: Melikhov S.N.1,2, Suleimanov B.I.3, Shavlukov A.M.3
-
Affiliations:
- Southern Federal University
- Southern Mathematical Institute of VSC of RAS
- Institute of Mathematics with Computing Centre — Subdivision of the Ufa Federal Research Centre of RAS
- Issue: Vol 60, No 5 (2024)
- Pages: 618–631
- Section: PARTIAL DERIVATIVE EQUATIONS
- URL: https://journals.rcsi.science/0374-0641/article/view/259933
- DOI: https://doi.org/10.31857/S0374064124050048
- EDN: https://elibrary.ru/LBMSHZ
- ID: 259933
Cite item
Open Access
Access granted
Subscription Access
Abstract
Formal asymptotics are substantiated that describe typical dropping cusp singularity of quasiclassical approximations to solutions of two cases of the integrable nonlinear Schr¨odinger equation −𝑖𝜀Ψ′𝑡=𝜀2Ψ′′𝑥𝑥±2|Ψ|2Ψ, where 𝜀 is a small parameter. The substantiation uses the ideology and facts of the mathematical catastrophe theory and the part of the theorem of Yu.F. Korobeinik, concerning analytical as ℎ → 0 solutions 𝐺(ℎ, 𝑢) of the mixed type linear equation ℎ𝐺′′ℎℎ = 𝐺′′𝑢𝑢 to which the hodograph images of both cases of the systems of equations of these quasiclassical approximations are equivalent.
About the authors
S. N. Melikhov
Southern Federal University; Southern Mathematical Institute of VSC of RAS
Email: snmelihov@yandex.ru
Rostov-on-Don, Russia; Vladikavkaz, Russia
B. I. Suleimanov
Institute of Mathematics with Computing Centre — Subdivision of the Ufa Federal Research Centre of RAS
Email: bisul@mail.ru
Russia
A. M. Shavlukov
Institute of Mathematics with Computing Centre — Subdivision of the Ufa Federal Research Centre of RAS
Email: aza3727@yandex.ru
Russia
References
- Ильин, А.М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач / А.М. Ильин. — М. : Наука, 1989. — 336 c.
- Гуревич, А.В. Нелинейная теория распространения радиоволн в ионосфере / А.В. Гуревич, А.Б. Шварцбург. — М. : Наука, 1973. — 272 c.
- Шварцбург, А.Б. Геометрическая оптика в нелинейной теории волн / А.Б. Шварцбург. — М. : Наука, 1976. — 119 c.
- Жданов, С.Л. Квазигазовые неустойчивые среды / С.Л. Жданов, А.Б. Трубников. — М. : Наука, 1991. — 174 c.
- Кудашев, В.Р. Особенности некоторых типичных процессов самопроизвольного падения интенсивности в неустойчивых средах / В.Р. Кудашев, Б.И. Сулейманов // Письма в журн. эксп. и теор. физики. — 1995. — Т. 65, № 4. — С. 358–363.
- Кудашев, В.Р. Влияние малой диссипации на процессы зарождения одномерных ударных волн / В.Р. Кудашев, Б.И. Сулейманов // Прикл. математика и механика. — 2001. — Т. 3, № 3. — С. 456–466.
- Гарифуллин, Р.Н. От слабых разрывов к бездиссипативным ударным волнам / Р.Н. Гарифуллин, Б.И. Сулейманов // Журн. эксп. и теор. физики. — 2010. — Т. 137, № 1. — С. 149–164.
- Dubrovin, B. On universality of critical behaviour in the critical behaviour in the focusing nonlinear Schr¨odinger equation, elliptic umbilic catstrophe and the tritonque to the Painlev´e-I equation / B. Dubrovin, T. Grava, С. Klein // J. Nonlinear Sci. — 2009. — V. 19, № 1. — P. 57–94.
- Konopelchenko, B.G. Quasi-classical approximation in vortex filament dynamics. Integrable systems, gradient catastrophe, and flutter / B.G. Konopelchenko, G. Ortenzi // Stud. Appl. Math. — 2013. — V. 130, № 2. — P. 167–199.
- Konopelchenko, B.G. Jordan form, parabolicity and other features of change of type transition for hydrodynamic type systems / B.G. Konopelchenko, G. Ortenzi // J. Phys. A. — 2017. — V. 50, № 21. — Art. 215205.
- Богаевский, И.А. Особенности многозначных решений квазилинейных гиперболических систем / И.А. Богаевский, Д.В. Туницкий // Тр. Мат. ин-та им. В.А. Стеклова. — 2020. — Т. 308. — С. 76–87.
- Сулейманов, Б.И. Типичная провальная особенность сборки решений уравнений движения одномерного изоэнтропического газа / Б.И. Сулейманов, А.М. Шавлуков // Изв. РАН. Сер. физ. — 2020. — Т. 84, № 5. — С. 664–666.
- Сулейманов, Б.И. О наследовании решениями уравнений движения изоэнтропического газа типичных особенностей решений линейного волнового уравнения / Б.И. Сулейманов, А.М. Шавлуков // Мат. заметки. — 2022. — Т. 112, № 4. — С. 625–640.
- Рахимов, А.Х. Особенности римановых инвариантов / А.Х. Рахимов // Функц. анализ и его приложения. — 1993. — Т. 27, № 1. — С. 46–59.
- Брёкер, Т. Дифференцируемые ростки и катастрофы / Т. Брёкер, Л. Ландер ; пер. с англ. А.Г. Кушниренко. — М. : Мир, 1977. — 208 c.
- Постон, Т. Теория катастроф и ее приложения / Т. Постон, И. Стюарт ; пер. с англ. А.В. Чернавского. — М. : Мир, 1980. — 617 c.
- Арнольд, В.И. Особенности дифференцируемых отображений. Т. 1. Классификация критических точек, каустик и волновых фронтов / В.И. Арнольд, А.Н. Варченко, С.М. Гусейн-Заде. — М. : Наука, 1982. — 304 c.
- Гилмор, Р. Прикладная теория катастроф. Кн. 1 / Р. Гилмор ; пер. с англ. под ред. Ю.П. Гупало, А.А. Пионтковского. — М. : Мир, 1984. — 349 c.
- Алексеев, Ю.К. Введение в теорию катастроф / Ю.К. Алексеев, В.П. Сухоруков; — М. : Изд-во Моск. ун-та, 2000. — 182 c.
- Седых, В.Д. Математические методы теории катастроф / В.Д. Седых. — М. : МЦНМО, 2021. — 224 c.
- Коробейник, Ю.Ф. Об аналитических решениях одного класса уравнений в частных производных / Ю.Ф. Коробейник// Докл. АН СССР. — 1961. — Т. 140, № 6. — С. 1248–1251.
- Янушаускас, А.И. Структурные свойства решений некоторых аналитических уравнений с частными производными / А.И. Янушаускас // Дифференц. уравнения. — 1981. — Т. 17, № 1. — С. 182–194.
- Янушаускас, А.И. Аналитические и гармонические функции многих переменных / А.И. Янушаускас. — Новосибирск : Наука, 1981. — 183 c.
