Том 60, № 10 (2024)

Рассмотрена теплоэлектрическая (1+1)-мерная модель нагрева полупроводника в электрическом поле. Для соответствующей задачи Коши доказано существование непродолжаемого во времени классического решения, получена глобальная во времени априорная оценка, обосновано отсутствие даже локального во времени классического решения.

Рассматривается задача Коши для параболической системы второго порядка с коэффициентами и правой частью, принадлежащими анизотропному пространству Зигмунда. Построена шкала гладкости решений задачи в анизотропных пространствах Зигмунда. Получена априорная оценка решений равномерно-эллиптических систем в изотропных пространствах Зигмунда.

Для нелинейного дифференциального уравнения с частными производными, обобщающего уравнение Буссинеска шестого порядка с двойной дисперсией и уравнение поперечных колебаний вязкоупругой балки Фойхта–Кельвина, находящейся под действием внешнего и внутреннего трений, деформация которой рассматривается с учётом поправки от инерции поворота сечений, найдены достаточные условия существования и экспоненциального убывания глобального решения задачи Коши.

Рассмотрена многомерная управляемая система с постоянной матрицей, существенной нелинейностью типа двухпозиционного реле с гистерезисом в качестве управления и непрерывной периодической функцией возмущения. Матрица системы имеет простые вещественные ненулевые собственные значения, среди которых одно значение может быть положительным. Установлены условия на параметры системы, в том числе на нелинейности, при выполнении которых существует единственное двухточечно-колебательное периодическое решение с периодом, соизмеримым с периодом функции возмущения, в случае специального вида вектора обратной связи. Доказана асимптотическая устойчивость решения с помощью метода фазовой плоскости. Полученные для трёхмерных систем результаты проиллюстрированы на примерах.

Для гибридных линейных автономных непрерывно-дискретных систем предложены методы проектирования регуляторов двух видов, обеспечивающих их финитную стабилизацию. Построение регулятора финитной стабилизации по состоянию (первый вид) основано на известных значениях решения системы управления в дискретные моменты времени, кратные шагу квантования. Найден наблюдатель, позволяющий в режиме реального времени с нулевой ошибкой получить необходимые значения решения по данным наблюдаемого выходного сигнала. Регулятор финитной стабилизации по выходу (второй вид) использует в качестве обратной связи наблюдаемый выходной сигнал; его конструкция представляет собой модификацию регулятора финитной стабилизации по состоянию путём включения в его контур указанного наблюдателя.

Получены функциональное тождество и оценки, выполняющиеся для мер отклонений от точных решений задачи с препятствием для оператора 𝑝-Лапласа для любых функций из соответствующего (энергетического) функционального класса, который содержит обобщённое решение задачи. При этом не были использованы какие-либо специальные свойства аппроксимаций или численных процедур, а также информация о точной конфигурации коинцидентного множества. Правые части тождества и оценок содержат только известные функции и могут быть явно вычислены, а левые части представляют собой определённую меру отклонения приближённого решения от точного. Найденные функциональные соотношения позволяют оценивать погрешность любых аппроксимаций задачи независимо от способа их получения. Кроме того, они позволяют сравнивать точные решения задач с различными данными, что даёт возможность оценивать ошибки математических моделей, например тех, что возникают при упрощении коэффициентов дифференциального уравнения.

Исследована слабая разрешимость начально-краевой задачи, описывающей движение слабо концентрированных водных растворов полимеров с учётом памяти среды вдоль траектории движения частиц, определяемой полем скоростей. При доказательстве разрешимости использованы аппроксимационно-топологический подход и теория регулярных лагранжевых потоков.

Установлены оценки параметра и нормы разрывного нелинейного оператора для уравнения, рассматриваемого в вещественном рефлексивном банаховом пространстве. Данные оценки уточняют полученные ранее аналогичные оценки в задачах с параметром для уравнений эллиптического типа и обыкновенных дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями.