Том 214, № 2 (2023)

В работе изучена топология слоений Лиувилля интегрируемых магнитных топологических биллиардов – систем движения шара по кусочно гладким двумерным поверхностям в постоянном магнитном поле. Вычислены инварианты Фоменко–Цишанга лиувиллевой эквивалентности возникающих гамильтоновых систем, а также изучена топология трехмерных инвариантных многообразий – изоинтегральных и изоэнергетических. Также обнаружена лиувиллева эквивалентность таких биллиардов с уже известными гамильтоновыми системами, такими как геодезические потоки на двумерных поверхностях и системы динамики твердого тела. В частности, обнаружены интересные седловые особенности с разным направлением особых окружностей, которые также встречались ранее в механических системах с магнитным полем на поверхностях вращения, гомеоморфных двумерной сфере.Библиография: 13 названий.

Для всякой $\mathbb{A}^1$-инвариантной теории когомологий, удовлетворяющей вырезанию Нисневича на категории гладких схем над полем $k$, доказана точность комплекса Кузeна на дополнении $U-D$ к дивизору $D$ со строго нормальными пересечениями в локальной существенно гладкой схеме $U$, а также на схемах $(X-D)\times(\mathbb{A}^1_k-Z_0)\times…\times(\mathbb{A}^1_k-Z_l)$ для конечного множества замкнутых подмножеств $Z_0,…,Z_l$ в аффинной прямой над $k$.Библиография: 32 названия.

Рассматривается вопрос: каким свойством должно обладать пространство $X$ с обобщенным расстоянием $\rho_X$, чтобы для действующих в нем отображений были справедливы утверждения типа теорем Банаха и Надлера о неподвижной точке и утверждения типа теоремы Арутюнова о точках совпадения? Показано, что таким свойством является сходимость любой геометрической прогрессии со знаменателем, меньшим $1$, – последовательности $\{ x_i\}\subset X$, удовлетворяющей при некотором $\gamma < 1$ условию $\rho_X(x_{i+1},x_i)\leq \gamma \rho_X(x_i,x_{i-1})$, $ i=1,2,…$ . Приведены примеры пространств, обладающих и не обладающих данным свойством. В частности, показано, что требуемое свойство имеет место в полном $f$-квазиметрическом пространстве $X$, если в нем расстояние $\rho_X$ при некотором $\eta\in (0,1)$ удовлетворяет неравенству $\rho_X(x,z) \leq \rho_X(x,y)+(\rho_X(y,z))^\eta$, $x,y,z \in X$, т.е. когда функция $f\colon\mathbb{R}_+^{2} \to \mathbb{R}_+$ задана формулой $f(r_1,r_2)=r_1 + r_2^{\eta}$. А если $f(r_1,r_2)=\max\{ r_1^{\eta}, r_2^{\eta} \}$, где $\eta \in (0,2^{-1}]$, то для любого $\gamma > 0$ существует $f$-квазиметрическое пространство, содержащее геометрическую прогрессию со знаменателем $\gamma$, не являющуюся фундаментальной. Обсуждается справедливость в $f$-квазиметрических пространствах “правила $0$ или $1$”, означающего, что либо любая геометрическая прогрессия со знаменателем, меньшим $1$, является фундаментальной, либо для произвольного $\gamma\in (0,1)$ существует геометрическая прогрессия со знаменателем $\gamma$, не являющаяся фундаментальной.Библиография: 29 названий.