Открытый доступ
Доступ предоставлен
Только для подписчиков
Том 216, № 5 (2025)
- Год: 2025
- Статей: 9
- URL: https://journals.rcsi.science/0368-8666/issue/view/20348
Анатолий Тимофеевич Фоменко (поздравление)
3-4
Геодезически эквивалентные метрики и геометрия Нийенхейса
Аннотация
Цель работы – продемонстрировать, как понятия, методы и результаты из геометрии Нийенхейса могут быть использованы для изучения геодезически эквивалентных метрик. Мы предлагаем новый способ изложения и доказательства многих фактов классической теории геодезически эквивалентных метрик, а также разрабатываем методы для ее дальнейшего развития.Библиография: 33 названия.
5-32
Полиномы пространственных полных графов и полиномы Джонса связанных с ними зацеплений
Аннотация
Вложение полного графа $\mathbb K_n$ с $n$ вершинами в $3$-сферу $S^3$ будем называть пространственным $\mathbb K_n$-графом. Узлы в пространственном $\mathbb K_n$-графе, соответствующие циклам графа $\mathbb K_n$, называются составными узлами. Мы рассматриваем случай $n=4$. Край ориентируемой ленточной поверхности, построенной по пространственному $\mathbb K_4$-графу и имеющей нулевую форму Зейферта, является 4-компонентным зацеплением, которое называется ассоциированным зацеплением. В работе получены формулы, связывающие нормированные полиномы Ямады и Егера пространственных $\mathbb K_4$-графов, их $\theta$-подграфов и циклических подграфов с полиномами Джонса составных узлов и ассоциированных зацеплений. Библиография: 25 названий.
33-63
Если биллиард Минковского является проективным, то он есть стандартный биллиард
Аннотация
В недавней работе [5] было доказано, что если биллиард в выпуклой области в $\mathbb{R}^n$ является одновременно проективным биллиардом и биллиардом Минковского, то он является стандартным евклидовым биллиардом в подходящей евклидовой структуре. Приведенное доказательство достаточно сложно и предполагает гладкость высоких порядков. Здесь мы даем прямое и простое доказательство этого результата, которое работает в предположении $C^1$-гладкости. Дополнительно мы приводим доказательство полулокальной и локальной версий данного результата.Библиография: 15 названий.
64-82
Магические биллиарды: случай эллиптических границ
Аннотация
Введено новое “зонтичное” понятие магического биллиарда, объединяющее несколько известных обобщений математических биллиардов. Изучаются свойства магических биллиардов в случае эллиптических границ. Приведены явные условия периодичности в алгебро-геометрической, аналитической и полиномиальной формах. Топологическое описание магических биллиардов выполнено с применением графов Фоменко.Библиография: 45 названий.
83-105
Нормализация рационально интегрируемых систем
Аннотация
Хорошо известно, что любое аналитическое векторное поле вблизи особой точки допускает нормализацию Пуанкаре–Биркгофа, однако эта нормализация в общем случае является лишь формальной, а задача о ее сходимости сложна. В [26], [27] мы предложили новый подход к нормализации векторных полей через внутренние ассоциированные действия тора: аналитическое векторное поле аналитически нормализуемо вблизи особой точки в том и только том случае, когда его ассоциированное действие аналитично (а не просто формально). Затем мы показали, что если векторное поле аналитически интегрируемо, то его ассоциированное действие тора аналитично, поэтому такое векторное поле аналитически нормализуемо [26], [27]. В настоящей работе мы обобщили этот результат (об аналитической нормализации) на случай рационально интегрируемых систем, первые интегралы и коммутирующие векторные поля которых не обязательно являются аналитическими, а являются только рациональными (т.е. отношениями аналитических функций или покомпонентными отношениями аналитических векторных полей). Например, любое векторное поле вида $X=fY$, где $Y$ – аналитически диагонализуемое векторное поле, а $f$ – аналитическая функция такая, что $Y(f)=0$, является рационально интегрируемым, но не обязательно аналитически интегрируемым.Библиография: 31 название.
106-122
Контактные линейные расслоения, слоения и интегрируемость
Аннотация
Сформулировано определение некоммутативной интегрируемости контактных систем на контактном многообразии $(M,\mathcal H)$ с помощью структуры Якоби на пространстве сечений $\Gamma(L)$ контактного линейного расслоения $L$. В коориентированном случае, если линейное расслоение тривиально и $\mathcal H$ является ядром глобально определенной контактной формы $\alpha$, структура Якоби на пространстве сечений сводится к стандартной структуре Якоби на контактном многообразии $(M,\alpha)$.Таким образом, в статье рассмотрены контактные системы как на коориентированных, так и на некоориентированных контактных многообразиях. В частности, это позволяет работать с диссипативными гамильтоновыми системами, для которых гамильтониан системы может не оставаться векторным полем Риба.Библиография: 32 названия.
123-150
Принцип Мопертюи для систем с линейным по скоростям лагранжианом
Аннотация
Обсуждается вариационный принцип Мопертюи для лагранжевых систем с линейным по обобщенным скоростям лагранжианом. В частности, сюда относятся гамильтоновы системы в представлении Пуанкаре–Гельмгольца. Развиваемый подход позволяет указать новый вариационный принцип для лагранжевых систем с вырожденным по скоростям лагранжианом. При выводе этого вариационного принципа используется обобщенный гамильтонов формализм Дирака.Библиография: 15 названий.
151-160
Вероятностные морфизмы и байесовское обучение с учителем
Аннотация
Развивается теория категорий для марковских ядер с целью изучения категориальных аспектов байесовских инверсий. В результате представлена единая модель для байесовского обучения с учителем, включающая байесовскую оценку плотности. Эта модель иллюстрируется с помощью регрессии гауссовского процесса.Библиография: 20 названий.
161-180