Том 215, № 5 (2024)

Обнаружены и вычисляются траекторные инварианты интегрируемых топологических биллиардов с двумя степенями свободы при условии постоянства энергии системы. Инварианты (векторы вращения) вычисляются через функции вращения на однопараметрических семействах $2$-торов Лиувилля. Доказан аналог теоремы Лиувилля в окрестности регулярных слоев для кусочно гладких биллиардов. Введены переменные действие-угол. Получена общая формула для функций вращения. Гипотеза А. Т. Фоменко предполагала, что функции вращения топологических биллиардов монотонны. Для многих важных систем гипотеза подтвердилась, но обнаружились интересные биллиарды с немонотонными функциями вращения. В частности, вычислены траекторные инварианты биллиардов-книжек, реализующих (с точностью до лиувиллевой эквивалентности) линейно интегрируемые геодезические потоки двумерных поверхностей. При надлежащем изменении параметров потоков эти функции вращения становятся монотонными.Библиография: 45 названий.

Получены нижние и верхние оценки минимального числа ребер в индуцированных подграфах с $l$ вершинами графа $G(n,3,1)$, где $l \sim cn^2$. Полученные результаты улучшают ранее доказанные оценки этой величины в данном режиме.Библиография: 16 названий.

Рассматривается вполне интегрируемая по Лиувиллю модель гамильтоновой механики с двумя степенями свободы, которая описывает движение двух точечных вихрей при наличии третьего вихря, закрепленного в начале координат. Система обобщает движение гидродинамических вихрей в безграничной идеальной жидкости и магнитных вихрей в ферромагнитной среде. В работе исследуется топология слоения Лиувилля данной системы при помощи бифуркационной диаграммы отображения момента. Доказан ряд утверждений относительно общего вида бифуркационной диаграммы и свойств критических траекторий в прообразе бифуркационных кривых. Этиутверждения позволяют доказать наличие двух важных бифуркаций торов Лиувилля, проходящих через особый слой вида$\mathbb S^1 \times (\mathbb S^1  \dot{\cup}  \mathbb S^1  \dot{\cup}  \mathbb S^1)$. В первом случае при прохождении через особый слой один тор Лиувилля перестраивается в три тора. Во втором случае два тора перестраиваются в два тора.Библиография: 46 названий.