Orbital invariants of billiards and linearly integrable geodesic flows

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

Обнаружены и вычисляются траекторные инварианты интегрируемых топологических биллиардов с двумя степенями свободы при условии постоянства энергии системы. Инварианты (векторы вращения) вычисляются через функции вращения на однопараметрических семействах $2$-торов Лиувилля. Доказан аналог теоремы Лиувилля в окрестности регулярных слоев для кусочно гладких биллиардов. Введены переменные действие-угол. Получена общая формула для функций вращения. Гипотеза А. Т. Фоменко предполагала, что функции вращения топологических биллиардов монотонны. Для многих важных систем гипотеза подтвердилась, но обнаружились интересные биллиарды с немонотонными функциями вращения. В частности, вычислены траекторные инварианты биллиардов-книжек, реализующих (с точностью до лиувиллевой эквивалентности) линейно интегрируемые геодезические потоки двумерных поверхностей. При надлежащем изменении параметров потоков эти функции вращения становятся монотонными.Библиография: 45 названий.

About the authors

Gleb Vladimirovich Belozerov

Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics

Anatoly Timofeevich Fomenko

Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics; Moscow Center for Fundamental and Applied Mathematics

Email: fomenko@mech.math.msu.su
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

References

  1. А. Т. Фоменко, “Биллиарды переменной конфигурации в гамильтоновой геометрии и топологии”, Международная конференция “Лобачевские чтения”. Сборник трудов (Казань, 2022), Труды Математического центра имени Н. И. Лобачевского, 62, Изд-во КФУ, Казань, 2022, 112–115
  2. А. Т. Фоменко, “Биллиарды переменной конфигурации и биллиарды с проскальзыванием в гамильтоновой геометрии и топологии”, Математика и теоретические компьютерные науки, 1:1 (2023), 49–68
  3. А. Т. Фоменко, В. В. Ведюшкина, “Биллиарды и интегрируемые системы”, УМН, 78:5(473) (2023), 93–176
  4. А. Т. Фоменко, В. В. Ведюшкина, “Эволюционные силовые биллиарды”, Изв. РАН. Сер. матем., 86:5 (2022), 116–156
  5. A. T. Fomenko, V. A. Kibkalo, “Topology of Liouville foliations of integrable billiards on table-complexes”, Eur. J. Math., 8:4 (2022), 1392–1423
  6. В. А. Кибкало, А. Т. Фоменко, И. С. Харчева, “Реализация интегрируемых гамильтоновых систем биллиардными книжками”, Тр. ММО, 82, № 1, МЦНМО, М., 2021, 45–78
  7. V. Dragovic, M. Radnovic, “Bifurcations of Liouville tori in elliptical billiards”, Regul. Chaotic Dyn., 14:4-5 (2009), 479–494
  8. В. Драгович, М. Раднович, Интегрируемые биллиарды, квадрики и многомерные поризмы Понселе, НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, М.–Ижевск, 2010, 338 с.
  9. V. Dragovic, S. Gasiorek, M. Radnovic, “Billiard ordered games and books”, Regul. Chaotic Dyn., 27:2 (2022), 132–150
  10. В. В. Фокичева, “Описание особенностей системы “биллиард в эллипсе” ”, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех., 2012, № 5, 31–34
  11. В. В. Фокичева, “Классификация биллиардных движений в областях, ограниченных софокусными параболами”, Матем. сб., 205:8 (2014), 139–160
  12. В. В. Фокичева, “Описание особенностей системы бильярда в областях, ограниченных софокусными эллипсами или гиперболами”, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех., 2014, № 4, 18–27
  13. В. В. Фокичева, “Топологическая классификация биллиардов в локально плоских областях, ограниченных дугами софокусных квадрик”, Матем. сб., 206:10 (2015), 127–176
  14. В. В. Ведюшкина, “Слоение Лиувилля невыпуклых топологических биллиардов”, Докл. РАН, 478:1 (2018), 7–11
  15. В. В. Ведюшкина, “Инварианты Фоменко–Цишанга топологических бильярдов, ограниченных софокусными параболами”, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех., 2018, № 4, 22–28
  16. В. В. Ведюшкина, “Инварианты Фоменко–Цишанга невыпуклых топологических биллиардов”, Матем. сб., 210:3 (2019), 17–74
  17. В. А. Кибкало, “Топология аналога случая интегрируемости Ковалевской на алгебре Ли $operatorname{so}(4)$ при нулевой постоянной площадей”, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех., 2016, № 3, 46–50
  18. В. А. Кибкало, “Топологическая классификация слоений Лиувилля для интегрируемого случая Ковалевской на алгебре Ли $operatorname{so}(4)$”, Матем. сб., 210:5 (2019), 3–40
  19. В. В. Ведюшкина, И. С. Харчева, “Биллиардные книжки моделируют все трехмерные бифуркации интегрируемых гамильтоновых систем”, Матем. сб., 209:12 (2018), 17–56
  20. И. Ф. Кобцев, “Геодезический поток двумерного эллипсоида в поле упругой силы: топологическая классификация решений”, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех., 2018, № 2, 27–33
  21. С. Е. Пустовойтов, “Топологический анализ биллиарда в эллиптическом кольце в потенциальном поле”, Фундамент. и прикл. матем., 22:6 (2019), 201–225
  22. Г. В. Белозеров, “Топологическая классификация интегрируемых геодезических биллиардов на квадриках в трeхмерном евклидовом пространстве”, Матем. сб., 211:11 (2020), 3–40
  23. В. В. Ведюшкина, В. Н. Завьялов, “Реализация геодезических потоков с линейным интегралом биллиардами с проскальзыванием”, Матем. сб., 213:12 (2022), 31–52
  24. В. Н. Завьялов, “Биллиард с проскальзыванием на любой рациональный угол”, Матем. сб., 214:9 (2023), 3–26
  25. Е. Е. Каргинова, “Слоение Лиувилля топологических биллиардов на плоскости Минковского”, Фундамент. и прикл. матем., 22:6 (2019), 123–150
  26. Е. Е. Каргинова, “Биллиарды, ограниченные дугами софокусных квадрик на плоскости Минковского”, Матем. сб., 211:1 (2020), 3–31
  27. Дж. Д. Биркгоф, Динамические системы, Изд. дом “Удмуртский университет”, Ижевск, 1999, 408 с.
  28. В. В. Козлов, Д. В. Трещев, Биллиарды. Генетическое введение в динамику систем с ударами, Изд-во Моск. ун-та, М., 1991, 168 с.
  29. С. Е. Пустовойтов, “Топологический анализ эллиптического бильярда в потенциальном поле четвертого порядка”, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех., 2021, № 5, 8–19
  30. С. Е. Пустовойтов, “Топологический анализ биллиарда, ограниченного софокусными квадриками, в потенциальном поле”, Матем. сб., 212:2 (2021), 81–105
  31. В. В. Ведюшкина, С. Е. Пустовойтов, “Классификация слоений Лиувилля интегрируемых топологических биллиардов в магнитном поле”, Матем. сб., 214:2 (2023), 23–57
  32. Г. В. Белозеров, “Топологическая классификация биллиардов в трехмерном евклидовом пространстве, ограниченных софокусными квадриками”, Матем. сб., 213:2 (2022), 3–36
  33. Г. В. Белозеров, “Топология изоэнергетических $5$-поверхностей трехмерного бильярда внутри трехосного эллипсоида с потенциалом Гука”, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех., 2022, № 6, 21–31
  34. А. Т. Фоменко, В. В. Ведюшкина, “Бильярды и интегрируемость в геометрии и физике. Новый взгляд и новые возможности”, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех., 2019, № 3, 15–25
  35. В. В. Ведюшкина, А. Т. Фоменко, И. С. Харчева, “Моделирование невырожденных бифуркаций замыканий решений интегрируемых систем с двумя степенями свободы интегрируемыми топологическими биллиардами”, Докл. РАН, 479:6 (2018), 607–610
  36. А. В. Болсинов, А. Т. Фоменко, Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия, топология, классификация, т. 1, 2, Изд. дом “Удмуртский университет”, Ижевск, 1999, 444 с., 447 с.
  37. В. В. Ведюшкина, “Траекторные инварианты плоских бильярдов, ограниченных дугами софокусных квадрик и содержащих фокусы”, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех., 2021, № 4, 48–51
  38. В. В. Ведюшкина (Фокичева), А. Т. Фоменко, “Интегрируемые топологические биллиарды и эквивалентные динамические системы”, Изв. РАН. Сер. матем., 81:4 (2017), 20–67
  39. V. F. Lazutkin, KAM theory and semiclassical approximations to eigenfunctions, Ergeb. Math. Grenzgeb. (3), 24, Springer-Verlag, Berlin, 1993, x+387 pp.
  40. Е. А. Кудрявцева, “Интегрируемые по Лиувиллю обобщенные биллиардные потоки и теоремы типа Понселе”, Фундамент. и прикл. матем., 20:3 (2015), 113–152
  41. А. Т. Фоменко, Х. Цишанг, “Топологический инвариант и критерий эквивалентности интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 54:3 (1990), 546–575
  42. V. Dragovic, M. Radnovic, “Minkowski plane, confocal conics, and billiards”, Publ. Inst. Math. (Beograd) (N.S.), 94:108 (2013), 17–30
  43. V. Dragovic, M. Radnovic, “Bicentennial of the Great Poncelet Theorem (1813–2013): current advances”, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.), 51:3 (2014), 373–445
  44. V. Dragovic, M. Radnovic, “Periods of pseudo-integrable billiards”, Arnold Math. J., 1:1 (2015), 69–73
  45. В. В. Ведюшкина (Фокичева), А. Т. Фоменко, “Интегрируемые геодезические потоки на ориентируемых двумерных поверхностях и топологические биллиарды”, Изв. РАН. Сер. матем., 83:6 (2019), 63–103

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2024 Белозеров Г.V., Фоменко А.T.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».