Открытый доступ
Доступ предоставлен
Только для подписчиков
Том 215, № 10 (2024)
Модули полустабильных пучков ранга $2$ на рациональных трехмерных многообразиях Фано основной серии
Аннотация
В статье исследуются пространства модулей полустабильных когерентных пучков ранга $2$ на проективном пространстве $\mathbb{P}^3$ и следующих за ним рациональных многообразиях Фано основной серии – трехмерной квадрике $X_2$, пересечении двух четырехмерных квадрик $X_4$ и многообразии Фано $X_5$ степени $5$. Для квадрики $X_2$ доказана ограниченность третьего класса Черна $c_3$ полустабильных объектов ранга $2$, в том числе пучков, из $\mathrm{D}^b(X_2)$. Дано явное описание всех пространств модулей полустабильных пучков ранга $2$ на $X_2$, в том числе рефлексивных, с максимальным третьим классом Черна $c_3\ge0$. Эти пространства оказываются неприводимыми гладкими рациональными многообразиями во всех случаях, за исключением следующих двух: $(c_1,c_2,c_3)=(0,2,2)$ либо $(0,4,8)$. Найден первый пример несвязного пространства модулей полустабильных пучков ранга $2$ с фиксированными классами Черна на гладком проективном многообразии – это второй из указанных исключительных случаев $(c_1,c_2,c_3)= (0,4,8)$ на квадрике $X_2$. Построен ряд новых бесконечных серий рациональных компонент пространств модулей полустабильных пучков ранга $2$ на $\mathbb{P}^3$, $X_2$, $X_4$ и $X_5$, а также новая бесконечная серия нерациональных компонент на $X_4$. Доказана ограниченность класса $c_3$ при $c_1=0$ и любом $c_2>0$ для стабильных рефлексивных пучков основного типа на многообразиях $X_4$ и $X_5$.Библиография: 30 названий.
Математический сборник. 2024;215(10):3-57
3-57
Некоторые функционалы для случайных блужданий и критические ветвящиеся процессы в экстремально неблагоприятной среде
Аннотация
Пусть $\{S_{n}, n\geqslant 0\}$ – случайное блуждание, распределение шага которого принадлежит без центрировки области притяжения устойчивого распределения индекса $\alpha $, т.е. существует такая нормирующая последовательность констант $a_{n}$, что последовательность $S_{n}/a_{n}$, $n=1,2,…$, слабо сходится при $n\to \infty $ к случайной величине, имеющей устойчивое распределение индекса $\alpha $. Пусть $S_{0}=0$,$$L_{n}:=\min (S_{1},…,S_{n}),\qquad\tau _{n}:=\min \{ 0\leqslant k\leqslant n\colon S_{k}=\min (0,L_{n})\} .$$В предположении, что $S_{n}\leqslant h(n)$, где функция $h(n)$ имеет порядок $o(a_{n})$ при $n\to\infty$ и $\lim_{n\to \infty }h(n)\in [ -\infty,+\infty ]$ существует, доказан ряд предельных теорем, описывающих асимптотическое поведение функционалов вида$$\mathbf{E}[ e^{\lambda S_{\tau _{n}}}; S_{n}\leqslant h(n)], \qquad \lambda>0,$$при $n\to \infty $. Полученные результаты используются при исследовании вероятности невырождения критического ветвящегося процесса, эволюционирующего в экстремально неблагоприятной среде.Библиография: 15 названий.
Математический сборник. 2024;215(10):58-88
58-88
О связности группы автоморфизмов аффинного торического многообразия
Аннотация
Найден критерий связности группы автоморфизмов аффинного торического многообразия в комбинаторных терминах и в терминах группы классов дивизоров многообразия. Описана группа компонент группы автоморфизмов невырожденного аффинного торического многообразия. В частности, доказано, что для таких многообразий число компонент связности группы автоморфизмов конечно.Библиография: 12 названий.
Математический сборник. 2024;215(10):89-113
89-113
114-145
Разреженное восстановление в некоторых функциональных классах в интегральных нормах
Аннотация
Эта работа является прямым продолжением недавних работ автора. В этой работе мы продолжаем анализировать свойства аппроксимации и восстановления по системам, удовлетворяющим условию универсальной дискретизации по значениям в точках и специальному условию безусловности. Кроме того, мы предполагаем, что подпространство, натянутое на нашу систему, удовлетворяет некоторым неравенствам Никольского. В основном мы изучаем восстановление с ошибкой, измеренной в норме $L_p$ для $2\le p<\infty$. Мы применяем мощный нелинейный метод приближения – алгоритм слабого ортогонального преследования (АСОП) (Weak Orthogonal Matching Pursuit (WOMP)), который также известен под названием слабый ортогональный жадный алгоритм (СОЖА) (Weak Orthogonal Greedy Algorithm (WOGA)). Мы устанавливаем, что АСОП, основанный на точках, которые дают хорошую универсальную дискретизацию в $L_2$, обеспечивает хорошее восстановление в норме $L_p$ для $2\le p<\infty$. Для наших алгоритмов восстановления мы получаем как неравенства Лебега для индивидуальных функций, так и оценки ошибок для специальных функциональных классов функций многих переменных. В этой работе для того, чтобы получить новые результаты о восстановлении по выборке (по значениям в точках), мы одновременно используем два глубоких и мощных метода: неравенства типа Лебега для АСОП и теорию универсальной дискретизации по значениям в точках. Библиография: 19 названий.
Математический сборник. 2024;215(10):146-166
146-166
Симплектическая редукция и лагранжевы подмногообразия в $\operatorname{Gr}(1, n)$
Аннотация
В работе построены новые примеры лагранжевых подмногообразий комплексного грассманиана $\operatorname{Gr}(1, n)$, снабженного стандартной кэлеровой формой. Схема построения исходит из двух фактов: во-первых, мы предлагаем естественное соответствие между лагранжевыми подмногообразиями в симплектическом многообразии, являющимся результатом симплектической редукции, и лагранжевыми подмногообразиями большого симплектического многообразия с гамильтоновым действием группы, к которому применяется эта редукция; во-вторых, мы показываем, что при некотором подборе порождающих действия $\mathrm T^k$ при $k=2, …, n-1$ на $\operatorname{Gr}(1, n)$ и подходящих значениях отображений моментов имеется изоморфизм $\operatorname{Gr}(1, n)//\mathrm T^k \cong \operatorname{tot}(\mathbb{P}(\tau) \times …\times\mathbb{P}(\tau) \to \operatorname{Gr}(1, n-k))$, где справа стоит тотальное пространство прямого произведения $k$ копий проективизации тавтологического расслоения $\tau \to \operatorname{Gr}(1, n-k)$. Комбинируя эти два факта мы получаем нижнюю оценку на число топологически различных гладких лагранжевых подмногообразий в исходном грассманиане $\operatorname{Gr}(1, n)$.Библиография: 5 названий.
Математический сборник. 2024;215(10):167-182
167-182